《土力学第三章土体中的应力计算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《土力学第三章土体中的应力计算.docx（25页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第五章土体中的应力计算本章学习要点:起的.由于产生条件不本章内容是地基基础设计和施工的基础知识，也是下章讨论地基变形的前提，因此应很好地掌握。地基中的应力 包括自重应力和附加应力，前者是土受的重力作用而产生的，后者是由于基础等外部荷载所引同，因此两者的分布规律和计算方法也不同。要学会自重应力的计算方法和分布规律，及常用的典型规则的均布荷载 下地基附加应力的计算方法，并掌握基础底面应力计算和分布特点。要求明确有效应力的概念，这对全书的理解大有 好处。第一节概述大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基。由天然土层直接支承建 筑物的称天然地基，软弱土层经加固后支承建筑物的称人
2、工地基，而与地基相接触的建筑物底部称为基 础。地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。如果 地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之，土体就要发生破坏，并 能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。地基中的应力，按照其因可以分为自重应 力和附加应力两种：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。一般而言，土体在自重作用下，在漫长 的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。附加应力：由于外荷（静的或动的）在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地基失去稳定和 产生变形的主要
3、原因。附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况。一、应力应变关系的假定真实土的应力应变关系是非常复杂的，目前在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体， 即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。1、关于连续介质问题弹性理论要求：受力体是连续介质。而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。2、关于线弹性体问题理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是呈非线性的
4、和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完 全恢复。为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，但对沉降有特殊 要求的建筑物，这种假设误差过大。3、关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体。而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。为此进行假设，天然地基作为均质的各向同性体。二、地基中的几种应力状态计算地基应力时，一般将地基当作半无限空间弹性体来考虑；即把地基看作是一个具有水平界面、 深度和广度都无限大的空间弹性体。（见教材P66图3-2）常见的地基中的应力状态有如下三种：1、三维应力状态荷载作用下，地基中的应力状态均属三维应力状态。每一点的应力都是x、y、
5、z的函数，每一点的应力状态都有9个应力分量。b q q ,t ,t具,t ,t ,t，写成矩阵形式则为：XX yy zz xy yx yz zy bTTXXXyTbTyxyyTTb-zyxzyz，bij根据剪应力互等原理zz有 Txy=Tyx，Tyz=Tzy，Txz=Tzx，因此，该单元体只有6个应力分量，即oxxQyyQzz，TxyTxz, Tyz2、二维应变状态（平面应变状态）二维应变状态是指地基中的每一点应力分量只是两个坐标（x,z）的函数，因为天然地面可看作一个 平面，并且沿y方向的应变 y=0，由于对称性，t双二匚尖二，这时，每一点的应力状态有5个应力分 量：b q q ,t ,t
6、。应力矩阵可表示为：XX yy zz xz zxb0tXXXzb 二0b0ijyyt0bzXzz3、侧限应力状态侧限应力状态是指侧向应变为零的一种应力状态；土体只发生竖直向的变形。由于任何竖直面都是对称面，故在任何竖直面和水平面上都不会有剪应力存在，（P67图3-5），即 t =t =t = 0，应力矩阵为：b 00 -xx。0 ? b01zz 二由 二 = 0nb =b，并与b成正比。三、土力学中应力符号的规定在进行土中应力计算时：应力符号的规定法则与弹性力学相同，但正负与弹性力学相反；即当某 一截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面称正面；正面上的应力分量以沿坐标轴正方向为负， 沿负
7、方向为正。用摩尔圆进行应力状态分析时，法向应力仍以压应力为正，剪应力方向以逆时针方向为正。（P67 图 3-6）第二节地基中的自重应力计算在计算地基中的自重应力时，一般将地基作为半无限弹性体来考虑。由半无限弹性体的边界条件可 知，其内部任一与地面平行的平面或垂直的平面上，仅作用着竖向应力b戏和水平向应力bx=by，而 剪应力T = 0。1、竖直自重应力bsz设地基中某单元体离地面的距离z，土的容重为y，则单元体上竖直向自重应力等于单位面积上的土 柱有效重量，即b =y z （3-1）kpa 或 kN/m2可见，土的竖向自重应力随着深度直线增大，呈三角形分布。注：（1）若计算点在地下水位以下，由
8、于水对土体有浮力作用，则水下部分土柱的有效重量应采用土的 浮容重y 或饱和容重y计算；a：当位于地下水位以下的土为砂土时，土中水为自由水，计算时用y。b：当位于地下水位以下的土为坚硬粘土时，在饱和坚硬粘土中只含有结合水，计算自重应力时应采 用饱和容重。C：水下粘土，当IlN1时，用y。d：如果是介乎砂土和坚硬粘土之间的土，则要按具体情况分析选用适当的容重。例如下图中的B点，其竖向自重应力为b =yh +yh =yh + (y -y )h（2）若地基是由多层土组成，如图3-7 （a）（见教材P68）,设各土层的厚度为H1、H2、Hn, 相应的容重分别为y 1, y 2,y ，则地基中的第n层底面
9、处的竖向自重应力为：b =y H +y H +y H +y Hsz 112233n n=Y y H （3-2）i=12、水平向自重应力b ,b在半无限体内，由侧限条件可知，土不可能发生侧向变形Wx= = 0 ），因此，该单元体上两个水 平向应力相等并按下式计算：b =b = K b = K yz （3-3）式中K0土的侧压力系，它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直有效应力之比，可由试验测 定，K 0 =台,是土的泊松比。第三节地基中的附加应力在求解地基中的附加应力时，一般假定地基土是连续、均匀、各向同性的弹性体，然后根据弹性理 论的基本公式进行计算。另外，按照问题的性质，将应力划分为空间（三
10、维）问题和平面问题两大类型。 矩形、圆形等基础（L/BEx；X Z ZX（2） 当 x=0 时，o =t =0，而 o =0 一应力集中一EzEx；（3）oz值离Z轴愈述；其值越小；水平位置越深，应力也愈小一一地基土中应力的扩散现象。（二）条形基底受竖直均布荷载作用时的附加应力如图3-23所示（教材P81），当基底上作用着强度为p的竖直均布荷载时，首先利用公式（3-12） 求出微分宽度d&上作用着的线荷载dP = p此在任意点M所引起的竖向附加应力如=手X二:zJ （3-15）再将上式沿宽度B积分，即可得到条形基底受均布荷载作用时的竖向附加应力为:c2ppz3 d&X & )2 + z 2p
11、, m m 1、. mnn(m 1) arctan() arctan() +兀nnn 2 + m 2n 2 + (m 1)2=Ksp (3_16)z式中：Ks 条形基底受竖直均布荷载作用时的竖向附加应力分别系数，由 P83表3-5查， zm = x , n - z，B为基底的宽度。B B条形均布荷载在地基内部引起的水平向应力b和剪应力t也可以根据式(3-13)和式(3-14)积 xxz分求得，并简化为b = Ksp (3-17)t = Ks p (3-18)式中：Ks 条形面积受竖直均布荷载作用时的水平向应力分布系数Ks 条形面积受竖直均布荷载作用时的剪应力分布系数 xzKs，Ks也可由P83
12、表3-5查得。 xxz(三) 条形基底受竖直三角形分布荷载作用时的附加应力如图3-6 (教材P85)所示，当条形基底上受最大强度为pT的三角形分布荷载作用时，同样可利用 基本公式b广专(x2二少，先求出微分宽d&上作用的线荷载dp =毋甄，再计算点M所引起的 竖向附加应力，然后沿宽度B积分，即可得到整个三角形分布荷载对M点引起的竖向附加应力为:m , m1、(一)arctan()nn(3-19)n(m 1)” =Kt p n 2 + (m 1)2 J z T式中：Kt 条形基底受三角形分布荷载作用时的竖向附加应力分布系数，按m=B ,n =；，查 P86 表 37。(四) 条形基底受水平均布荷
13、载作用时的附加应力图3-6 (教材P85)所示，当基底作用着强度为ph的水平均布荷载时，同样可以利用弹性理论求水 平线荷载对任意点M所引起的竖向附加应力为：z 冗(m 1)2 + n 2 m 2 + n 2=Khp(3-20)式中：Kh 条形基底受水平均布荷载作用时的竖向应力分布系数，可由m =三,n = %，查P87 表 3 8。注意：1、在条形基础下求地基内的附加应力时，坐标系统的选择应分别符合图3-23,表3-6所 示要求。2、倾斜偏心荷载时的基底压力合力既倾斜又偏心其基底竖直压力呈梯形分布，而水平荷载一般假定均匀分布。求解方法：应将梯形分布的竖直荷载分解成均布荷载和三角形分布荷载，然后
14、分别求出由于竖直荷 载、竖直三角形分布荷载以及水平均布荷载所引起底附加应力，再进行叠加。3、基础有埋深时的基底压力分布基底尽压力(或沉降计算压力)p = p 7D式中：Y一一土的容重D基础埋置深度P建筑物荷载（包括基础自重在内）在基底产生的压力归一一基坑开挖，在基础底面处减少的压力。因为未修建基础以前，土体中已有自重压力yD，修建基础时将这部分土挖除后再建造基础，在基底增加的压力实际为p -yD。三、土坝（堤）坝身的自重应力和坝基中的附加应力1、土坝的自重压力不论是均质的或是非均质的土坝，其坝身任意点的自重应力，均假定等于单位面积上该点以上土柱 的有效重量，仍可按公式（3 2）b =y h +
15、y h +y h + y hsz 112233n n此时，均质坝坝身的自重应力为三角形分布。2、坝基中的附加应力：因为，土坝坝身能够适应坝基的变形，属柔性基础，故其基底压力为梯形分布。土坝对地基中任意一点引起的附加应力，可将梯形分布压力分解为两个三角形分布压力和一个均布压力，利用公式：b = Kp （均布压力），b = KTp （三角形）来计算。然后再进行叠加：b = （b ） + （b ） + （b ）z z I z II z III对于图3 26 （P84）中所示的梯形分布压力下任意点的竖向附加应力，可按b = KLp计算。zz式中：Kl竖向附加应力分布系数，是a/z和b/z的函数，可从（
16、P84图3 26）中查取。a，b分别为三角形分布压力和均布压力的特征尺寸z为计算点至压力作用面的垂直距离p为梯形分布压力的最大强度四、感应图法求附加应力当遇到不规则的基础形状，而又无法划分成矩形面积时，“角点法”的应用就受到限制。这时若利用 感应图法来求解是比较方便的。感应图法是以圆形基础竖直均布压力作用时，其中心点下竖向附加应力计算为基础的。1、圆形基底受均布压力作用时其中心点下的竖向附加应力如图328所示（教材P87），当圆形基底受到均布压力作用时，其中心点下任意深度处M点的竖向附加应力，可由公式b = 3p三（空间）求出z 2 兀 R 5微分面积dA = pdpdO上的集中力dp = p
17、pdpdO在该点（M）所引起的附加应力为：加=3z3 ppdpdOz2rR5将R 2 =p 2 + z 2代入，并沿整个圆形面积积分，可得M点的竖向附加应力为：b = jf r 3 pz 3pdpdO0 0 2 (P + z )=K pz 0(3 21)式中：K = 1 -I 一1一 I圆形基底受均布压力作用时的应力分布系数，可查P88表39得;”A（X圆形基础得半径p均质荷载强度2、感应图的原理及应用感应图是N.M.Newmark首先提出得，如图3 29所示（教材P89），它由9个同心圆和十二根等分 得径向射线组成。设9个同心圆的半径分别为r ,r，r ,它们与某一长度AB成下列关系129二
18、=0.268AB, r2 = 0.400AB, r = 0.518 AB,r = 1.908AB,若选取AB恰好等于计算点的深度z,则从式（321） a广K 0p或表3 9可知：b = 0.1 p，a = 0.2p，a = 0.3p，a = 0.9p （第一个圆上的均布压力p在圆心以下Z处的附加应力a ）z1任意相邻两圆之间的均布压力p对圆心以下Z深处所引起的附加应力是相同的，均为Aa z = 0.1p。每一个圆环又被20根径向射线划分为二十个面积相等的小块；显然每一小块的压力对圆心以下Z深处所引起的附加压力也是相等的，均为0.1p/20=0.005p。称这一小块为感应面积”，“0.005 ”
19、称之为感应应量”。因此，如果有N块“感应面积”，其上作用着相同的均布压力p，则在圆心下z深处将引起0.005Np 的附加应力。3、应用要点：以AB =z （试题所要求的深度）作为比例尺，在透明纸上绘制基础平面图; 将所求点D移在感应图上与圆心重合 数“感应面积”的块数N 得到z处深D点的附加应力为（a = 0.005Np （均布压力）第四节基底压力计算建筑物的荷载是通过它的基础传给地基的。因此，基底压力的大小和分布状况，将对地基内部的附 加应力有着十分重要的影响；而基底压力的大小和分布状况，又与荷载的大小和分布，基础的刚度，基 础的埋置深度以及土的性质等多种因素有关。对于刚性很小的基础和柔性基
20、础，其基底压力大小和分布状况与作用在基础上的荷载大小和分布 状况相同。（因为刚度很小，在垂直荷载作用下几乎无抗弯能力，而随地基一起变形）。对于刚性基础：其基底压力分布将随上部荷载的大小，基础的埋置深度和土的性质而异。如：砂土地基表面上的条形刚性基础，由于受到中心荷载作用时，基底压力分布呈抛物线（如图见 教材P93），随着荷载增加，基底压力分布的抛物线的曲率增大。这主要是散状砂土颗粒的侧向移动导致 边缘的压力向中部转移而形成的。又如粘性土表面上的条形基础，其基底压力分布呈中间小边缘大的马鞍形（如图），随荷载增加，基 底压力分布变化呈中间大边缘小的形状。根据经验，当基础的宽度不太大，而荷载较小的情
21、况下，基底压力分布近似地按直线变化的假定（弹 性理论中的圣维达原理），所引起的误差是允许的，也是工程中经常采用的简化计算方法。一.竖直中心荷载作用下的基底压力如图所示（教材P94图3-38），若矩形基础地长度为L，宽度为B，其上作用着竖直中心荷载P，当 假定基底压力为均匀分布时，其值为：P Pp = 单位：kpa 或 kN/m2（3-22）A A x B若基础为长条形（L/BN10），则在长度方向截取1m进行计算，此时基底压力为：Pp = 单位：kN/m（3-23）B竖直偏心荷载作用下的基底压力如图所示（教材P95图3-40）:当矩形基础上作用着竖直偏心荷载P时，则任意点的基底压力，可按材料力
22、学偏心受压的公式进行 计算：（尤）=P + 竺.竺.x.（3-24）A Ix Iy式中：p（x.y）任意点（坐标为x.y）的基底压力Mx=p.e 一偏心荷载对xx轴的力矩（e为偏心荷载对xx轴的力臂）My=p.e：一偏心荷载对yy轴的力矩（e：为偏心荷载对yy轴的力臂）Ix =竺一基础底面积对xx轴底惯距12Iy =二二一基础底面积对yy轴底惯距12若荷载作用在主轴上例如xx轴上如图，此时e。则Mx=。令ee,并将打=牛,x = 1 B代入（3-24）,得：P =也1 + x，即可得到矩形基础，在竖直偏心荷载作用下，基底两侧2A L B 2的最大和最小压力的计算公式为：P 6e、P =一（1土
23、 竺）（3-25）max A B min对于条形基础，如图（c），基底两侧最大和最小压力为：P 6eP = -（1 竺）（3-26）max B B min讨论：当e=0时，基底压力为矩形；当合力偏力矩0e B时，则Pmin0，意味着基底一侧出现拉应力。但基础与地基之间不能受拉，故该侧将出 现基础与地基的脱离，接触面积有所减少，而出现应力重分布现象。此时不能再按叠加原理，求最大应 力值。其最大应力值为:P max =（例如：高耸结构物下得基底压力）一般而言，工程上不允许基底出现拉力，因此，在设计基础尺寸时，应使合力偏心矩满足e -的6条件，以策安全；或：为了减少因地基应力不均匀而引起过大的不均匀
24、沉降，通常要求：PmaX 1.5 3.0 ；对压缩P min性大的粘性土应采取小值；对压缩性小的无粘性土，可用大值。三.倾斜偏心荷载作用下的基底压力如图所示（教材P95图3-41）当基础受到倾斜荷载作用时，可先将偏心荷载R分解为竖向分量Pv 和水平分量Ph，其中P Rcosp ,Ph=Rsinp，由公式（325）和公式（326）计算。由竖直偏心荷载 Pv所引起的基底压力。VP 6e 一.疽%（1 土言）（矩形）minP 6e 一，p = （1 土 b）（条形）min水平基底压力（假定为均匀分布）：P = P h A（矩形）(3 27)P = Ph B（条形）(3 28)例题：有一挡土墙，其基础
25、宽度为6m，埋置在地面下1.5m处，在离基础前缘A点3.2m处作用着竖直 线载荷P2400KN/m。墙背受到水平推力H400 KN/m，其作用点距基底面为2.4m，如图所示（见教 材）。设地基土的容量r=19KN/m3,试求：基础中心点下深度Z7.2m M处点的附加应力（不考虑墙后 填土引起的附加应力）解：（1）求偏心距e设合力作用点离基底前缘A点的水平距离为x，将合力及分力分别对A点求矩并令其相等，即： 2400x = 2400 x 3.2 - 400 x 2.4 得 x = 2.8m1. 合力偏心距 e = B x = 3 2.8 = 0.2m2（2）求基底压力由公式：Pnax = （1土
26、晋）得基底竖直压力为 minKN / m 2,2400 6 x 0.2、480=(1 +)=max 66320min基底水平荷载假定为均匀分布，由公式P = H，得水平基底压力 h BP = 400 = 66.7KN / m 2h6（3）求M点的附加应力首先将梯度分布的竖直荷载分解成强度为P0=320KN/m2的竖直均布压力，和最大强度为Pt=160 KN/m2的竖直三角形分布压力。由于基底埋置深度D=1.5m，所以基底尽压力为：P = P r - D = 320 19 x 1.5 = 291.5KN/m2各种压力对M点所引起的附加应力系数由表（35），（37）和（38）查得，列于下表压力形式
27、x(m)z(m)B(m)x/Bz/B应力分布系数K Z-竖直均匀分布3.07.26.00.51.20.478 (Kzs)竖直三角形分布3.07.26.00.51.20.239 (K)水平均匀分布3.07.26.00.51.20 (Kzh)于是M点得竖向附加应力为5 = KsP + KtP + KhP = 0.478 x 291.5 + 0.239 x 160 + 0 x 66.7 = 177.6 kN/m2第五节有效应力原理一、有效应力原理的基本概念（一）有效应力和孔隙压力在土中某点任取一截面，截面体为A，截面上作用的法向应力称为总应力。，如图342（教材P96 图3-43）。总应力是土的重力
28、、外荷载p所产生的压力以及静水压力组成，是土体单位面积上的平均应 力。截面总应力的一部分由土颗粒间的接触面承担和传递，称为有效应力；另一部分由孔隙中的水和气 体承担，称为孔隙压力u （包括孔隙水压力：与孔隙气压力七）。如图aa截面是沿土颗粒间接触面截取的微波状平面；截面上土颗粒间接触面积为A ,接触面平均法向应力为p，孔隙水面积为A，孔隙水压力为u，气体面积为A，孔隙气压力为u。swwAa将p分解为竖直向和水平向两个分力，设竖直向分力为p，则aa截面的竖向力平衡为:svbA = Z p + u A + uA，两边除以A得:w w a A=立 + u . 4 + u AaA w A a A(32
29、9)为有效应力定义（b）.,式(329)变为b=b+u - Aw + u - Aa w A a A(329)1、对于非饱和土取 X = -w，AA ，一 Eishop与Eldin （1950）根据粒状土的试验认为工很小（0.03）代入（329）得: X +u A As Aw ( A = A + A + A ) w a As w AAb = b + xu + u u xub =b +u=b +xu + u xu可得非饱和土有效应力原理表达式:b =b +u x(u u )(3 30)2、对于饱和土气=0,气R人，即x=1，孔隙水压力为u表示，则公式（3 29）可改写为：。=。+ （3 31）式（
30、3 31 ）即为饱和土有效应力原理的表达式。3、对于干土,A 20，x = 0, A A.式（329）可改写为：A0=0 +U A- a AO =O+U （3 32）a式（3 32）为干土有效应力原理的表达式（二）有效应力原理要点（1）土中总应力O等于有效应力o 与孔隙压力u之和。艮即 0=0 +U（2）土中有效应力控制土的体积和强度的变化。注：孔隙水压力u起浮力作用，忽略其对土粒产生的变形效果，故又称中性压力。二、饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算有效应力o 是作用在土骨架的颗粒之间，很难直接求得；通常都是在求得总应力o和孔隙水压力u 之后，利用0=0+u计算得出。总应力0可用前面介绍的土中
31、应力计算方法算出；孔隙水压力u可以实测，也可以通过计算得出。（一）自重应力情况1、静水位条件下如图345 （教材P98），作用在A点水平面上的总应力0，应等于该点以上的单位土柱和水柱的总 重量：0 =y H +y H孔隙水压力应等于该点的静水压强，即：u = y - H根据有效应力原理，A点处竖直有效应力0应为：0 =0 -u =y H +y H -y H =y H + （y -y ）H0=y H +yH可见0就是A点的自重应力（有效自重应力）。当地下水位以上某个高度七范围内出现毛细饱和区时，（如图3-46a教材P99），毛细区内的水呈张拉 状态，故孔隙水压力是负值。毛细水压力分布与静水压力分
32、布一致，任一点uc =-y wz ; z为该点至地下水位的垂直距离。孔隙水 压力分布如图（346b）。由于u是负值，根据有效应力原理，毛细饱和区的有效应力0 将会比总应力增大，即0 =0 一 （-u） =0 + u。有效应力0与总应力0分布如图（346c），实线为0分布，虚线为0分布。例题 3-4,P99.2、稳定性渗流条件下（1）向上渗流时，如图（348a教材P100） 取土水整体为隔离体。A点的总应力就是A点处单位面积上土柱的土水总重量，故0 =y H（3-33a）A点的孔隙水压力u为：旦=y H +y Ah （3-33b）故A点的有效应力b为：b=b-u =y -H-y H-y Ah=H
33、（y -y ）-y Ah=yH -y Ah （3-33c）可见与静水条件下的b、u相比，在发生向上渗流时，孔隙水压力u增加了y Ah，有效应力b则相 应减少了 y Ah。y Ah 渗透压力（2）当向下渗流时（仍取土水整体为隔离体）如图（3-48b）A点的总应力不变，仍为：b =y H （3-34a）A点的孔隙压力：u =y H -y Ah （3-34b）则A点的有效应力b=b-u =y H-y H +y Ahb=yH +y Ah （3-34c）与静水条件下的b相比，向下渗流将使有效应力增加，产生渗流压密。这是抽取地下水引起的地面 沉降的一个主要原因。当向上渗流时，若有效应力b = 0，则土处于悬浮状（流土条件）。由（3-33c）得：y H -y Ah = 0H=或七工（临界水力坡降公式）（关于取土骨架为隔离体，自修） （二）附加应力情况一一孔压系数概念实际工程中的变形和稳定情况，往往是土体在外荷载作用后产生的，从而产生孔隙
