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1、31 力对点之矩32 力对轴之矩33 力偶与力偶矩,第三章 力偶系,主要介绍:力对点之矩的概念、力对轴之矩的概念、力偶的概念、力偶的的性质、平面力偶系的合成、平面力偶系的平衡。,31 力对点之矩,一、平面中力对点之矩,实例:用扳手拧螺母。,定义:设平面刚体内一点 O 为矩心,,称 F h 为力 对O点之矩,记为:,规定:力 使刚体绕O点逆时针转动时,力对点之矩取“+”号,,在平面问题中,力对点之矩为代数量。,O到力 作用线的距离 h 为力臂,,反之,力对点之矩取“”号。,单位:Nm(牛顿米),kNm(千牛米)。,由图知:,力对点之矩特点:,1)O 点不同,力对点之矩不同;,2)沿作用线移动时,
2、力对点之矩不变;,3)h=0时,,h,转动效应。,即为 2 倍 DOAB 面积。,力对物体可以产生,移动效应取决于力的大小、方向,转动效应取决于力矩的大小、方向,2.合力矩定理,各力对矩心 O 点之矩为:,合力矩定理:平面汇交力系合力对平面内任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。,即:,设平面汇交力系为:,力系合力为,对矩心 O 点之矩为:,例1 已知:如图 F=500N,l=0.2mm,a=30。,解:图 a),图 b),用力对点之矩的定义,有:,应用合力矩定理:,求:对插入端B点之矩。,F,则:,图a),图b),例2 水平梁AB受均匀分布的载荷作用,如图所示。载荷集度 为q,梁长l。试
3、求合力作用线的位置。,解:,在梁上距A端为x的微段dx上,作用力的大小为qdx,,因此分布载荷的合力大小为,设合力F 的作用线距A端的距离为h,根据合力矩定理,有,将F 的值代入上式,得,32 力对轴之矩,一、力对轴之矩的概念,平面内力对点之矩使平面绕O 点转动,即为平面绕过 O 点的垂直轴 z 转动,,有力对轴之矩:,若力 不在平面内:,A,B,O,h,当力 与 z 轴平行时,不会发生转动效应,,即:,当力 不与 z 轴平行时,将 分解:,z 轴,,在 xy 平面上,作用线到 O 点的距离为h,,规定:,O,A,从 z 轴正向看,逆时针转向的力对轴之矩为正,反之为负。,或用右手螺旋法则确定符
4、号。,力对轴之矩为代数量,单位:Nm,B,定义:,O,A,是用来表示力对刚体产生的绕 z 轴转动效应的度量。,可知:,力 对 z 轴之矩等于 在垂直于 z 轴的 xy平面内的投影对 z 轴与平面的交点 O 点之矩。,B,b,(1)当 z 轴时,,(2)当 与 z 轴相交时,h=0,,(3)当 沿其作用线移动,不变。,当力与 z 轴在同一平面时,力对 z 轴之矩为零。,同理,可得力 对 x、y 轴之矩的概念。,O,z,x,y,A,a,B,b,z,x,y,二、力对坐标轴之矩,同理,得:,例3 手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F,如图所示,位 于垂直于 y 轴的平面内,偏离铅直线的角度为
5、a。若CD=b,杆BC平行于x 轴,杆CE平行于y 轴,AB和BC的长度都等于l。试求力 F 对 x,y 和 z 三轴的矩。,力F 沿坐标轴的投影分别为:,解:,方法1:应用合力矩定理求解。,由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零,则有,方法2:应用对轴的矩之解析 表达式求解。,则有:,力F 沿坐标轴的投影分别为:,力作用点 D 的坐标为:,实例:汽车驾驶员转动方向盘;,33 力偶与力偶矩,一、平面力偶概念,电动机转子;,钳工用丝锥攻螺纹等。,实例:汽车驾驶员转动方向盘;,33 力偶与力偶矩,一、平面力偶概念,实例:汽车驾驶员转动方向盘;电动机转子;钳工用丝锥攻螺纹等。,作用在汽车方向盘、电机
6、转子上、丝锥手柄上的两个力大小相等,方向相反,作用线平行,作用效果是使物体转动。,力偶两个力所在的平面称为力偶作用面;,实践表明,力偶只能使刚体产生转动效应,是常见的一种特殊力系。,定义:大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的力系 称为力偶。记为,作用于刚体上的一群力偶称为力偶系。,力偶两个力作用线间的距离 d 称为力偶臂。,说明:,1)力偶无合力,对物体不产生移动效应;,2)力偶使物体产生转动,不满足二力平衡条件;,不能用一个力代替,不能用一个力平衡。,力偶两个力所在的平面称为力偶作用面;,实践表明,力偶只能使刚体产生转动效应,是常见的一种特殊力系。,定义:大小相等、方向相反、作用线平
7、行的两个力组成的力系 称为力偶。记为,作用于刚体上的一群力偶称为力偶系。,力偶两个力作用线间的距离 d 称为力偶臂。,说明:,1)力偶无合力,对物体不产生移动效应;,2)力偶使物体产生转动,不满足二力平衡条件;,不能用一个力代替,不能用一个力平衡。,3)力偶对其作用面内任一点之矩与 O 点位置无关,只与 F、d 和转向有关。,定义:称 M=Fd 为力偶矩。,规定:,力偶使物体逆时针转动时,力偶矩取“+”,反之取“”。,平面力偶对物体的转动效应取决于:,1)力偶矩的大小;,2)力偶在作用平面内的转向。,平面问题中,力偶矩为代数量。,力偶矩单位:Nm,kNm。,二、平面内力偶的等效条件,在同平面内
8、的两个力偶,如果力偶矩相等,则两力偶彼此等效。,力偶的性质:,1)力偶可在其作用面内任意转移,或移到另一平行平面,而 不改变它对刚体的效应;,二、同平面内力偶的等效条件,在同平面内的两个力偶,如果力偶矩相等,则两力偶彼此等效。,力偶的性质:,1)力偶可在其作用面内任意转移,或移到另一平行平面,而 不改变它对刚体的效应;,2)只要保持力偶转向和力偶矩的大小不变,可以同时改变力偶 中力的大小和力偶臂的长短,而不改变力偶对刚体的效应。,力偶的表示:,=,=,三、平面力偶系的合成,平面力偶系:作用面相同的几个力偶组成的系统。,合力偶:与平面力偶系等效的一个力偶。,合成法则:平面力偶系可以合成为一个合力
9、偶,合力偶的力偶 矩等于各力偶矩的代数和。,即:MR=M1+M2+Mn=SMi,四、平面力偶系的平衡条件,当 MR=0 时,平面力偶系一定平衡;,若要力偶系平衡,MR 必须为 0。,平面力偶系的平衡条件为:,力偶系中所有各力偶矩的代数和为零。,即:S Mi=0,可用来解决平面力偶系的平衡问题,只能求解一个未知量。,例4 一简支梁作用一矩为 M 的力偶,不计梁重,AB=d。求二支座的约束力。,梁上除作用有力偶 M 外,还有约束力 FA,FB。,解:取梁为研究对象。,因为力偶只能与力偶平衡,所以 FA=FB。,由 Mi=0 M FAd=0,d,M,B,A,所以 FA=FB=M/d,例5 如图所示的
10、工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的力 偶矩分别为:M1=M2=10 N.m,M3=20 N.m;固定螺柱A 和B的距离 l=200mm。求两个光滑螺柱所受的水平力。,选工件为研究对象,因为力偶只能与力偶平衡,所以,力FA与FB构成一力偶,故FA=FB。,B,l,A,解:,SMi=0 FAl M1 M2 M3=0,解得,列平衡方程:,例6 横梁AB长 l,A端用铰链杆支撑,B 端为铰支座。梁上受 到一力偶的作用,其力偶矩为 M,如图所示。不计梁和支杆的自重,求 A 和 B 端的约束力。,解:,取梁 AB 为研究对象。,解得,列平衡方程:,梁所受的主动力为一力偶,AD 是二力杆,因此 A 端的约
11、束力必沿 AD 杆。,梁AB受力如图。,SMi=0 M FAlcos45=0,根据力偶只能与力偶平衡的性质,可以判断A与B 端的约束力FA 和FB 构成一力偶,因此有:FA=FB。,例7 如图所示的铰接四连杆机构OABD,在杆OA和BD上分别作 用着矩为M1和M2的力偶,而使机构在图示位置处于平衡。已知 OA=r,DB=2r,a=30,不计杆重。试求 M1 和 M2 间的关系。,解:,因为杆 AB 为二力杆,故其反力 FAB 和FBA 只能沿 A、B 的连线方向。,分别取杆 OA 和 DB 为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡,所以支座O 和D 的约束力 FO 和 FD 只能分别平行于FAB 和
12、 FBA,且与其方向相反。,写出杆 OA 和 DB 的平衡方程:,因为 FAB=FBA,所以求得,SMi=0 M1 FAB r cosa=0 M2+2FBArcosa=0,例8 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆 BC 上 的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶,力偶矩为 M1=2 kNm,OA=r=0.5 m。图示位置时OA 与OB 垂直,角 a=30o,且 系统平衡。求作用于摇杆BC 上的力偶的矩M2 及铰链 O、B 处的约束力。,B,O,r,A,C,M2,M1,a,再取摇杆BC为研究对象。,先取圆轮为研究对象。,解得,其中 FA=FA,解得 M2=4M1=8 kNm,解:,S Mi=
13、0 M1+FA r sin a=0,因为力偶只能与力偶平衡,所以力 FA 与 FO 构成一力偶,故 FA=FO。,例9 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的 孔,每个钻头的力偶矩为 M1=M2=M3=M4=15 Nm。求工件的总切削力偶矩和 A、B 端的约束力。,解:各力偶的合力偶矩为,由平面力偶系平衡方程有:,由力偶只能与力偶平衡的性质,约束力 FA 与力 FB 组成一力偶。,MR=M1+M2+M3+M4=4(15)=60 Nm。,FB0.2 M1 M2 M3 M4=0,FA=FB=300N,五、力偶矩矢,空间力偶的作用平面可以平行移动而不改变对刚体的效应。,M、M使刚体产生的
14、绕 x 轴转动的效应;,当力偶的作用平面改变时,其对刚体的效应将改变。,如平面与平面平行,平面与平面垂直,,M=M=M,M使刚体产生的绕 y 轴转动的效应;,两者效应不同。,力偶对刚体的效应取决于:,1)力偶矩的大小,2)力偶作用面的方位,称为力偶的三要素,可用一个矢量表示:力偶矩矢,3)力偶在作用面内的转向,A,B,力偶矩矢大小:线段长度,,力偶对刚体的作用效应完全由力偶矩矢 所决定。,力偶矩矢,力偶作用面方位:矢的方位与力偶作用面法线相同,力偶的转向:右手螺旋法则,注意:对刚体,力偶矩矢为一自由矢量。,即力偶对空间任一点的矩矢都等于力偶矩矢,与矩心位置无关。,A,B,取坐标系:Oxyz,力
15、偶矩矢 的解析式为:,Mx,My,Mz 为力偶矩矢在坐标轴上的投影。,34 力偶的等效条件和性质,一、力偶的等效条件,两个力偶,如果力偶矩矢相等,则两力偶彼此等效。,二、力偶的性质,1)力偶可在其作用面内任意转移,或移到另一平行平面,而 不改变它对刚体的效应;,2)只要保持力偶转向和力偶矩的大小不变,可以同时改变力偶 中力的大小和力偶臂的长短,而不改变力偶对刚体的效应。,35 力偶系的合成,合成法则:力偶系可以合成为一个合力偶,合力偶的力偶矩矢 等于各力偶矩矢的矢量和。,即:,合成法则的解析式为:,36 力偶系的平衡条件,即:,投影式为:,力偶系的平衡条件为:,力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和为零。,力偶系平衡的解析条件:,力偶系各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别为零。,力偶系各力偶矩矢在 x 轴上投影的代数和为零;,力偶系各力偶矩矢在 y 轴上投影的代数和为零;,力偶系各力偶矩矢在 z 轴上投影的代数和为零。,上式称为力偶系的平衡方程,可求解 3 个未知量。,