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1、第6章 双变量线性回归模型的延伸,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,过原点回归尺度与测量单位标准化变量回归如何测度弹性半对数模型倒数模型函数模型的选择,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,6.1 过原点回归 在实践中，双变量PRF有时采取如下的形式：（）此模型的特点是没有截距项，因此被称为过原点回归（regression through the origin）。适用于这种模型的例子：M弗里德曼的持久收入假说（permanent income hypothesis）；资本资产定价模型（CAPM），等等。下面以资本资产定价模型为例来加以说明。CAPM：th
2、e capital Asset Pricing Model.（）这就是所谓风险溢价或升水（risk-premium）的形式。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,OLS法：对 求一阶条件：（2）（）下面求 的方差：将PRF：代入（）式得：,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,（5）（）将（5）式的右端展开，注意到 是非随机的，且无自相关。（2）式意味着：（7）总体方差 的估计式为：（）把上述公式和下面的有截距项的模型的公式比较一下：（）,202
3、3/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,（）可见：第一，对有截距项的模型来说，；对无截距项的模型，不一定成立，只有。第二，对有截距项的模型，判定系数；但是，对无截距模型来说，有时可能出现负值。这时，一般可以计算“粗”：而,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,对于有截距的模型：对于无截距的模型：于是有可能再现，RSS有可能大于TSS，所以，。但是，在截距项经过检验在统计上不显著时，用过原点回归模型将提高估计的准确性。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,2023/6/3,贵州财经大学经济研究
4、所 白万平 教授,（）把上述结果和第3章OLS估计量结果进行比较，可见：,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,（）结论：（1）当，即尺度因子相等时，斜率系数及其标准误不受尺度从（）到（）的影响。截距及其标准误却放大或缩小至 倍。（2）X尺度不变（），Y尺度因子 变化，那么，斜率和截距系数以及它们各自的标准误都要乘以同样的因子。（3）Y尺度不变（），而X尺度因子 变化，那么，斜率系数及其标准误都要乘以因子，而截距系数及其标准误不变。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,6.3 标准化变量回归,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,6.4
5、回归模型的函数形式我们将讨论以下的三种回归模型：1对数线性模型2半对数模型3倒数模型6.5 如何测度弹性：对数线性模型指数回归模型（exponential regression model）（）可化为：（）表示自然对数（natural log）。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,进一步可以写为：（）其中。这个模型对参数 和 为线性的，因而可以用OLS法来做回归分析。这种模型被称为对数一对数（log-log），双对数（double-log）或对数一线性（log-linear）模型。如果令，则（）式可以写成：（）这样以来，就可以直接使用OLS法做回归，所得的，分别是，的最佳
6、线性无偏估计量。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,双对数模型的一个最大的优点是，斜率 就是Y对X的弹性：如果Y代表商品需求量Q，X代表商品价格P，可见 就表示该商品的需求价格弹性。而弹性在经济学中具有广泛的运用：对数线性模型有两个特点：Y对X的弹性在整个研究范围内是常数，一直为，因此这种模型也称为不变弹性模型（constant elasticity model）。虽然 和 是无偏估计量，但是进入原始模型的参数 的估计值 却是有偏估计，（等于 的反对数）,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,6.6 半对数模型线性到对数与对数到线性模型一、怎样测量增长率
7、：线性到对数模型（The Log-Lin Model）表6-3列出了美国个人消费支出的分类数据。如何根据这些数据，求个人劳务消费支出的增长率？令Yt时期t的劳务实际支出 Y0劳务实际支出的初始值（为2002年第四季度末的值则有：（）其中r是Y的复合增长率（在时间轴上的增长率，类似于连续复利）。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,对上式取自然对数，得：（）再令：（）（）（）式变为：（）对应的计量模型为：（）注意：这里的回归元是时间，取值为1，2，3，形为（）这样的模型叫做半对数模型（semilog models）。只有回归子Y取对数的模型叫做线性到对数模型（log-lin
8、model）。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,（）由于解释变量X代表时间，所以这种模型描述了因变量Y的恒定相对增长率（如果）；或恒定相对衰减率（）。因此，（）式也叫恒定增长模型。P166例子瞬时增长率与复合增长率：瞬时增长率：在某一时点的增长率，如（）式中的 代表的就是瞬时增长率（instantaneous rate of growth）。复合增长率：compond rate of growth，指在某一时段的增长率。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,线性趋势模型：Y直接对时间t回归：（）这里的时间变量t被称为趋势变量（trend variab
9、le）。所谓“趋势”是指某种变量中有一种持续上升或下降的运动。注：（）和（）两模型的回归子不同，因而不能比较它们的r 2值。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,二、对数到线性模型 如果我们的目的是测量X的一个百分比变化时，Y的绝对变化量，则要用对数到线性模型（lin-log model）：（）如恩格尔系数。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,6.7 倒数模型（Reciprocal Model）（）就是一个倒数模型。它是一个线性模型吗？该模型的特点：时，。因此，（）式有一条内在的渐近线。P170 Figure 6.6（a）图适合于模拟平均固定成本（AF
10、C）曲线。（b）图适合于模拟菲利普斯曲线（Phillips curve）。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,图6.8的Phillips curve表明，在工资变化对失业水平的反应中存在一种不对称性：当失业率低于经济学家所称的自然失业率U N时，由失业的单位变化引起的工资上升，要快于当失业率高于自然水平时，由失业的同样变化引起的工资下降。则表示工资变化的渐近底限（asymptotic floor）。（c）图适于模拟恩格尔支出曲线（the Engel expenditure curve）。即表示消费者的总支出与总收入之间的关系的曲线。（c）图的特征是：收入上存在一个临界水平
11、（critical level）或门槛水平（threshold level），如图中的 处，当收入低于此水平，消费者就不会购买这种商品。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,消费上存在一个饱和水平（satiety level）：消费达到这一水平时，无论收入有多高，消费者都不会多购买一点。在图中，这一水平就是。此外，对数双曲线或对数倒数模型也是一种选择。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,作业：自己选题，收集数据做一元回归分析。要求：包括：参数估计、假设检验、区间估计、统计推断。用手动计算器或EXCEL做。选题越新颖越奇特越好。,2023/6/3,贵州财经大学经济研究所 白万平 教授,
