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2、ock Thermal Diffusivity Using Surface andSubsurface Temperature Distribution*江 協 堂1 徐 春 田1 曹 恕 中2 陳 棋 炫2* 九十七年十月二十三日在本會九十七年年會宣讀之囤试冬垄绽麻乙活炼立锻涛砖袄冬举媒栗络摩扶邱舰杜恩娱氮歪映痞喘翌竹辉茨距棠懈玉蝶折斗纲履其肮匪支查游疼宏频茬幌悉糙低众敲况啄惊墓犁番洲菇九恕配厂整钢嘉词兑错审浪屉皆歼睬撅粗肇艳婿虑峪争涉质湃释椎绘吭喂屿肺居淖趟揍俐脐雅哉誊淫遁氢缉汉荡莫吞仟鼓桐龙昌诵印傻鸥崭笺枕黑峰堑盟蹦徐嚼娱拇勤办饭洒屎断凋度船糟攫亩滦葛哟警瞳纯贤励催拼辉锅肾归翼焰措结碴笔
3、浴韦宛溶厅倾唤征汉庚肿击耗浮靛涌色换洗冯毁蝉府马讶狸匹吕甜蚊邵谬澈脖斑郸橙嗣呐太云躲吉巫声气另颠川轩不媳宦水惊欣缔练码塔南脓闯珊海荷晴避驱历磊冈吹详决妇漓林五博腿铱雅闻从地温周期性变化推估地层原地之热扩散系数软赏惧酋积蒸鲤悦轩标纪殷岳庚汪体缕对烘粥赣婚喜属男孽军伯臻疲内杜坏愧事揣桌脐藩冲士露宽课迹认拂顿况弥无赴朗轧兰诛祟静调巴养溯挖应符亢纫帧淳养阅常查新泣绿樱皖种离起鲜逾汞颐愁厂铺疫躯幸亩鸣局袭痹婴喀禽得胚某愚绢潞纸咨祝街整竭俱加榨诵哟诺廉苯金朴匆舵粕猜獭瘫彬茧衣叹蝶块伍别祝供侩祁抛淄拙象寐氛逊笼倒喇灯株来锯馅戏嘉辜慷检沸喝峭拌欠脂壳水瘸畴专臭气沽篆弱遮周翟辐坟秤蛇姻蝎时涤歇滥疫惯嗡骚逢沥哀隘
4、桥滓辊部朋律吻向哥搜逃休宰篓麻迟饵丈瘩蝶酋呆壮缄自泄肯娄屏枢俐议向弘侣蚊儒侦励殊横臭逐皋捏议柑刨甭传招价阉奢妻受塌垮狱轩從地溫週期性變化推估地層原地之熱擴散係數*Estimation of In-situ Rock Thermal Diffusivity Using Surface andSubsurface Temperature Distribution*江 協 堂1 徐 春 田1 曹 恕 中2 陳 棋 炫2* 九十七年十月二十三日在本會九十七年年會宣讀之論文1 國立台灣大學海洋研究所 2 中央地質調查所 岩石熱擴散係數（thermal diffusivity）的測量通常都是取岩樣於實驗室
5、內以儀器進行分析，本研究嘗試利用地表下溫度之監測資料推估地層之原地（in situ）熱擴散係數。根據熱傳導原理，地表溫度變化訊號會往地下傳遞，傳遞過程中訊號的振幅衰減和相位的變化與深度和地層的熱擴散係數有關，熱擴散係數大的地層其振幅衰減慢、相位差小，如能同時得知地表和某深度溫度訊息，則依熱傳理論可求得該深度整個地層的熱擴散係數。本文收集台灣北部大屯火山區一口地溫監測井深度1、3和13公尺之連續溫度監測資料，以及氣象局在該地區同時期之氣溫紀錄，以半空間（half space）熱擴散方程式進行試誤法演算（trial and error），將氣溫的年週期變化視為熱源，取不同的熱擴散係數數值帶入熱擴散
6、方程式中，所得的理論與實際各深度觀測值之最小誤差，即視為地層之現地熱擴散係數，根據此方法推得該口井地表至深度1公尺、3公尺和13公尺地層之熱擴散係數分別約9.510-7 m2s-1、1.110-6 m2s-1和1.010-6 m2s-1，此數值落於一般岩石的範圍。關鍵詞：The thermal diffusivity of formation samples is usually measured in a laboratory. In this study we computed the in-situ rock thermal diffusivity using the measured
7、borehole temperatures. It could be inferred that the amplitude decrease and phase change are related to the depth and thermal diffusivity. For a high thermal diffusivity formation, the amplitude decay is low and phase change is small; therefore, the rock thermal diffusivity at a certain depth can be
8、 estimated by the surface and subsurface temperature distribution at a specific time. In order to compute the thermal diffusivity of shallow formations in Tatun Volcano area, continuously monitored temperatures at the depth of 1, 3, and 13 meter and at the surface have been collected. A trial and er
9、ror method was used to estimate the thermal diffusivity when the minimum difference was observed between the computed and the measured values. Results show that the rock thermal diffusivity at depths of 1, 3, and 13 meters are 9.510-7 m2s-1、1.110-6 m2s-1 and 1.010-6m2s-1, respectively which fall wit
10、hin the range of formation thermal diffusivity.Key words: thermal diffusivity, trial and error壹、前言淺部岩層的熱學研究，尤其是表土部分，日漸受到重視，土壤溫度是地表能量和水氣交換過程中的一個重要參數，影響大氣環流活動甚巨（蔡，2004），一般來說，各種作物也都要在一定的土壤溫度中才得以順利發芽成長。近年來由於土壤溫度有升高現象，已有學者利用研究土壤的熱學性質來預測未來土壤的溫度變化或者推測土壤的孔隙率、含水飽和度等（Nicolsky, 2009；吳和許，2003）。土壤以下的淺部地層有可能影響土壤溫
11、度的分佈，其熱學性質有探討的必要。熱擴散係數（, thermal diffusivity）是物體的熱傳導係數（k, thermal conductivity）除以密度（, density）和比熱（c, heat capacity），數學式子為= k/c，熱擴散係數是探討物體溫度暫態變化（transit）的主要參數，較大的熱擴散係數表示在熱傳過程中，物體的溫度在單位時間內變化較大。由熱擴散係數的數學式子得知，如欲求得地層岩石的熱擴散係數，需同時測量岩石的熱傳導係數以及密度和比熱，一般要測得這些熱物理參數，都是於野外進行岩石採樣後再於實驗室內進行岩樣熱學分析（Mostafa et al. 2004
12、），然而岩石的熱擴散係數與溫度、壓力有關（Vosteen et al., 2003, Ray et al., 2006），若要探討岩石在地底下原地（in situ）的熱擴散係數，則在實驗室內的熱擴散係數測量必須還原岩石原來所在位置的溫壓環境才能得到正確的數值，例如研究上部地函岩石的熱擴散係數，實驗室內的設備必須模擬壓力109 Pa、溫度1250K以上的高溫壓環境（Gibert et al., 2003）。淺部的岩層雖溫度、壓力與地表相近，熱擴散係數受影響不大，但因降水、孔隙含水量等因素，地下水面在乾濕季節可能有所變動，岩層的熱學性質較不均一，因此，如直接採岩樣分析熱擴散係數，同一地層在乾濕不同
13、部位可能有差異，通常孔隙含水量高時熱擴散係數會較大，如此，單一採樣可能無法代表整個岩層的性質。若能改以地表溫度變化向地底下傳遞的現象來推估整個地層的原地熱擴散係數，可能會比岩體樣本測量方式得到較接近實際的數值。地表氣溫週期性變化的訊號往地底下傳遞時，其振幅除跟深度有關外，也跟岩體的熱擴散係數有關，岩體的熱擴散係數越大，振幅越不容易衰減。土壤下數公尺的地層可能受到地表氣溫的影響，其影響深度與熱擴散係數有關，但因岩體的熱擴散係數通常很小，地表氣溫變化往地下傳遞的訊號衰減很快，以解析度10-3的溫度記錄器而言，考慮實際資料含有的基礎雜訊，氣溫日變化週期訊號，一般在深度1.5公尺以下即不易解析，年變化
14、週期訊號則很難超過30公尺，因此本方法推估的地層深度依所用氣溫資料有其限制。本研究利用大屯火山竹子湖地區一口長期監測地溫的觀測井（圖-1），取得深度1、3、13公尺約一年之地溫監測資料，並以氣象局竹子湖測站之月平均氣溫作為地表往地下傳遞的熱源，以試誤法將不同的熱擴散係數帶入熱擴散方程式中，並求取理論與實際觀測值之最小誤差，推得各深度岩體的熱擴散係數。貳、研究方法2.1 熱擴散理論熱力學第零定律表示，當兩接觸物體的溫度不一樣時，彼此之間會有熱量的傳遞，高溫的物體會將熱量傳遞到低溫物體，並造成兩者溫度的改變，熱量傳遞結果，低溫的物體溫度慢慢升高，高溫的物體溫度則慢慢降低，根據此理論，兩物體接觸時，
15、若其中一個物體的溫度給予週期的變化，則另一物體的溫度也會受其影響而出現週期性變化。相同的原理，地表的空氣與地面接觸，氣溫的變化勢必會影響淺部地層的溫度，這種溫度變化訊號會往地底下傳遞，並改變地底下的溫度場。根據熱傳導方程式（heat conduction equation），當地表受一週期性溫度（日變化、年變化或如冰河期之長期週期性變化）的影響時，其底下半空間之溫度為式(1)說明一地表週期性的溫度變化往地下傳導時，其振幅與地層熱擴散係數和地表溫度變化週期有關，並隨深度的指數衰減（圖-2），當地底下溫度的衰減達到原來地表溫度變化振幅的1/e （e 為自然指數）時，該深度稱為表皮深度（skin d
16、epth）。從(1)式中可推得表皮深度為式(2)中可得知表皮深度與地層熱擴散係數和地表溫度變化週期有關，若地層的熱擴散係數取10-7 m2s-1，則可求得日變化影響的表皮深度約17公分，年變化影響的表皮深度約137公分，該式子也可以用來計算地下某深度受氣溫影響週期性變化的振幅衰減程度，假設地層的熱擴散係數為10-6 m2s-1，則溫度日變化訊號在深度1公尺和10公尺的振幅分別為地表振幅的0.0024、0.0000倍（表示日變化訊號無法傳遞至10公尺深），年變化訊號在深度1公尺和10公尺的振幅分別為地表振幅的0.7293、0.0425倍。2.2 儀器與地溫觀測井本研究使用之地溫資料來自大屯火山區
17、竹子湖地溫觀測井，資料收集期間為 2007年7月至2008年7月，監測地溫所使用的儀器為台灣大學海洋研究所自行研發的微小型熱探棒，溫度解析度可達10-4，已多年使用於台灣附近海域之地熱量測，此種熱探棒外殼為鈦合金管，長約24公分、直徑約2.2公分，內含溫度感應元件和資料記錄器，熱探棒紀錄的開關控制和資料讀取皆可從外部管壁下達指令，無須拆開任何部位即可將內部儲存的資料下載至電腦中，方便野外資料的收取工作，熱探棒之工作電壓低，不耗電，很適合長期之地溫監測工作，以取樣頻率三分鐘一筆而言，可維持約兩年的連續監測時間。該井之岩性以安山岩為主，但淺部十幾公尺內的地層有熱水腐蝕或風化現象，井深200公尺，全
18、井以不鏽鋼套管保護，套管口徑4英吋，厚度2釐米，鑽井完工後井內原來的水以泵浦抽乾，並於井底以水泥固封，防止井外的地下水流入，地表井口以不鏽鋼箱保護，使雨水無法進入。至於井內空氣的對流作用是否會影響地溫的量測，根據過去學者的研究，井內空氣的對流強度跟空氣濕度、井壁粗糙有關，其對流包長度大約是井徑的數倍（Diment, 1967），以本井口徑4英吋而言，對流包的長度約數十公分，相距數公尺以上的測點，彼此間並不會受到空氣對流作用的影響。另外，本井2釐米厚的不鏽鋼套管是否也會造成某程度的影響，過去的研究發現，不鏽鋼管的影響亦可以忽略（吳，2007）。2.3 試誤法（trial and error）試誤
19、法是對方程式中的參數不斷的嘗試以不同的數值代入，將試算的結果與實際的觀測值做比較，直到所得的誤差值為最小，則表示給予的參數值最接近實際的數值。本研究使用試誤法對式(1)熱擴散方程式給予不同的熱擴散係數，計算某深度受地表氣溫變化影響的大小，再將其與實際井內的溫度觀測值相減，所得的差值可視為因使用不當的熱擴散係數所引起，因此再對熱擴散係數給予另一數值，在嘗試各個不同的熱擴散係數後，取誤差值最小的參數數值即視為最接近地層之熱擴散係數。今將整個計算流程簡述如下：(1) 參考氣象局竹子湖氣候監測站2007和2008年之氣溫資料，取振幅 T0=7.8。(2) 估算地表溫度年變化的影響，故取週期 P=3.1
20、5107 秒。(3) 以某一假設之熱擴散係數代入熱傳導方程式中，便可得到一對應之地溫解 T。(4) 將實際的觀測資料 Tr 與理論的地溫變化資料 T 相減，得到一個誤差值 Te。(5) 熱擴散係數從1.010-7 m2s-1 漸增至1.010-5 m2s-1，增加量為0.510-7 m2s-1，重複上述(3)及(4)之步驟，取誤差值最小者，則所對應之熱擴散係數即被認為是最接近地層之熱擴散係數。參、結果與討論圖-3為井下1公尺、3公尺和13公尺的時序溫度紀錄，從時序資料中即可明顯看出此三深度的地溫有明顯的年週期變化，各深度最高溫的時間分別發生在8月、10月和隔年的3月，與地表平均最高溫7月晚約1
21、至8個月，顯示地溫往地下傳導約要一定的時間，與地表溫度變化的波形存在一相位差。各深度溫度變化的振幅分別為6.5、3.3和0.1，與地表氣溫變化振幅7.8相比呈隨深度指數衰減現象，各深度溫度的變化模式不論在振幅的衰減或是相位的差異都頗符合式 1)的熱衰減函數，因此可推論深度13公尺以上的地溫受到氣溫年變化的影響，故採用地表氣溫變化往地底下傳導的模式來推估地層的熱擴散係數應是合理的。另外，深度3和13公尺的地溫紀錄出現許多釘型（spike）的高頻訊號，溫度在突然上升或下降後，都慢慢以指數衰減方式回到原來的溫度，顯示環境常常發生溫度改變的突發事件，也就是在原先環境中突然出現一熱源（溫度可較原環境溫度
22、高或低），周圍環境溫度迅速被改變，但當熱源消失後，溫度以熱傳導為主的方式回到原環境的背景值，我們分析高頻訊號的功率譜（圖-4），結果發現各深度並沒有明顯的1至數日的週期，但功率譜在6-8日的週期開始轉強，暗示地溫訊號裡具有此週期，6-8日的週期與當地降雨的週期相近，因此我們推測高頻訊號應該跟降雨有關。而更短的日變化週期則完全沒出現在功率譜中，顯見氣溫的日變化影響不及最淺的1公尺深度，所以估算地層熱擴散係數的地表氣溫週期最好有涵蓋年變化的訊號。圖-5為井下1公尺、3公尺和13公尺地溫之理論模型值與實際觀測值，各圖中均顯示，當模型中給予的熱擴散係數由小漸漸增大時，模型的曲線不但振幅逐漸增大，相位差
23、也逐漸減小，顯示熱擴散係數越大的地層，越不容易熱衰減，且因導熱的速度快，因此相位相差較小，觀察模型曲線與觀測值曲線，可發現兩者的相似度除跟振幅有關外，也跟相位有密切的關係，曲線的相似度我們以兩者差值的均方根（root mean square）來表示，以圖-5深度1公尺的地溫資料為例，考慮一般岩石熱擴散係數的數量級約10-7 至10-6 m2s-1，我們給予的熱擴散係數由1.010-7m2s-1慢慢增大至5.010-6 m2s-1，在此過程中，溫度變化振幅從6.77減小至3.85，相位差從0.70減小至0.14，誤差值則從開始的1.79先減小，到後來增大為1.23，在熱擴散係數給于9.510-7
24、 m2s-1時，兩曲線誤差最小，約為0.772（圖-6）。以相同的作法，我們分析深度3公尺和13公尺地溫資料的結果，發現當熱擴散係數分別給于1.110-6 m2s-1和1.010-6 m2s-1時，理論模型值與實際觀測值的誤差值最小，分別為0.318和0.024。圖-3 氣象局竹子湖測站月平均氣溫（虛線）和深度1、3、13公尺（實線）之溫度變化。左邊垂直軸為氣溫和深度1公尺和3公尺之溫度刻度，右邊垂直軸為深度13公尺之溫度刻度，各深度溫度呈現明顯的年變化週期，深度越深振幅越小，相位差越大，顯示地溫的變化係受到地表氣溫年變化的影響。在模型的熱擴散係數由小增大的過程中，我們可以發現地溫理論模型值與
25、實際觀測值的誤差先由大變小，再由小變大（圖-6），誤差值之所以有如此變化現象乃因理論模型值隨給予的熱擴散係數有振幅和相位同時改變的特性，一般討論兩相同週期波形的誤差時，振幅越接近，誤差值越小，但若相位不一致，則振幅最接近時所產生的誤差值不一定最小，必須相位也一致時才會產生最小的誤差值，同理，相同的相位也不一定有最小的誤差值，振幅的大小仍須考慮。從式(1)熱傳方程式可看出，熱波傳遞的振幅衰減和相位差都是深度和熱擴散係數的函數，如果我們得知熱源的溫度變化以及某深度溫度的變化，便可利用試誤法比較兩者波形的誤差進而推求地層的熱擴散係數。圖-6的誤差分析亦發現，深度1公尺對不同的熱擴散係數反應較遲鈍，熱
26、擴散係數大於9.510-7 m2s-1以後的誤差增加很少，反觀深度13公尺，在熱擴散係數大於1.110-6 m2s-1以後的誤差則呈現快速的增加，顯示越淺的地層越容易推估出誤差較大的熱擴散係數。圖-6顯示試誤法得到的誤差隨深度增加而減少，但若將深度1公尺、3公尺和13公尺三者的誤差值0.772、0.318和0.024除以該深度溫度變化之振幅6.5、3.3和0.1，則可發現誤差率（誤差值除以振幅）分別為12%、9.6%和24%，深度13公尺的誤差值雖最小，但因其溫度變化振幅也很小，故反而是三者中具最大的誤差率，其原因可能是原溫度訊號中含有強烈的雜訊，或者是有其他熱源的干擾，使其溫度變化的振幅、波
27、形或相位發生變化，因此與理論熱衰減預測的溫度相差較多，環境中的熱源通常是地下水的活動，但在大屯火山區也有可能是與岩漿活動有關的熱液流動。肆、結論本研究利用大屯火山區一口地溫監測井深度1公尺、3公尺和13公尺的連續監測資料，以及氣象局在該地區同時期之氣溫紀錄，以試誤法求取最佳之地層熱擴散係數。本測站地溫資料呈現明顯的年變化週期，振幅隨深度之增加而變小，相位差則隨深度之增加而變大，顯示地下溫度的年變化週期係受到地表氣溫年變化的影響，地溫資料上有一些釘型的高頻訊號，週期約6-8日，可能與雨量有關。試誤法分析結果顯示各深度之熱擴散係數分別為9.510-7 m2s-1、1.110-6 m2s-1和1.0
28、10-6 m2s-1時，地溫的理論值與實際監測值才會有最小的誤差值，我們認為這三個數值應最接近地層實際的熱擴散係數。由誤差分析得知深度13公尺的誤差量最小，但誤差率卻最高，暗示該處的地溫變化可能不是由單一地表熱源的變化所引起，其他熱源的干擾因素不能予以排除。參考文獻1. 吳清吉和許武榮（2003）台灣土壤溫度分析和土壤熱擴散係數推估，大氣科學，31，115-130頁。2. 蔡子衿（2004），台灣土壤熱擴散係數推估和鋒面過境之土壤溫度變化探討，國立台灣大學大氣科學研究所碩士論文，108頁。3. 吳書恒（2006），大屯火山群井下溫度監測研究，國立台灣大學海洋研究所碩士論文，62頁。4. Dim
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