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1、1,第一章 矢量分析,2,本章内容1.1 矢量代数1.2 常用正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理,3,1.标量和矢量,矢量的大小或模：,矢量的单位矢量：,标量：一个只用大小描述的物理量。,矢量的代数表示：,1.1 矢量代数,矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。,矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示,注意：单位矢量不一定是常矢量。,常矢量：大小和方向均不变的矢量。,4,矢量用坐标分量表示,5,（1）矢量的加减法,两矢量的加
2、减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。,矢量的加减符合交换律和结合律,2.矢量的代数运算,在直角坐标系中两矢量的加法和减法：,结合律,交换律,6,（2）标量乘矢量,（3）矢量的标积（点积）,矢量的标积符合交换律,7,（4）矢量的矢积（叉积）,用坐标分量表示为,写成行列式形式为,若，则,若，则,8,（5）矢量的混合运算,分配律,分配律,标量三重积,矢量三重积,9,证明：,10,证明：,11,三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。,1.2 三种常用的正交坐标系,在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。,三条正交曲线组
3、成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。,12,1、直角坐标系,位置矢量,面元矢量,线元矢量,体积元,坐标变量,坐标单位矢量,13,2、圆柱面坐标系,坐标变量,坐标单位矢量,位置矢量,线元矢量,体积元,面元矢量,14,3、球面坐标系,球面坐标系,球坐标系中的线元、面元和体积元,坐标变量,坐标单位矢量,位置矢量,线元矢量,体积元,面元矢量,15,4、坐标单位矢量之间的关系,直角坐标与圆柱坐标系,圆柱坐标与球坐标系,直角坐标与球坐标系,o,q,r,z,单位圆,柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系,q,q,o,f,x,y,单位圆,直角
4、坐标系与柱坐标系之间,坐标单位矢量的关系,f,16,1.3 标量场的梯度,如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。,时变标量场和矢量场可分别表示为：,确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。,从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：,标量场和矢量场,静态标量场和矢量场可分别表示为：,17,标量场的等值面,标量场的等值线(面),等值面:标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。,等值面方程：,常数C 取一系列不同的值，就得到一
5、系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。,等值面的特点：,意义:形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。,18,2.方向导数,意义：方向性导数表示场沿某方向的空间变化率。,概念：,u(M)沿 方向增加；,u(M)沿 方向减小；,u(M)沿 方向无变化。,特点：方向性导数既与点M0有关，也与 方向有关。,问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？,19,证明：根据复合函数求导法则，,20,例题,例 求数量场 在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解：l方向的方向余弦为,而,21,22,梯度的表达式：,圆柱面
6、坐标系,球面坐标系,直角面坐标系,3、标量场的梯度（或）,意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向,概念：，其中 取得最大值的方向,23,标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。,梯度的性质：,梯度运算的基本公式：,标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）,24,例1.2.1 设一标量函数(x,y,z)=x2y2z 描述了空间标量场。试求：(1)该函数 在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；(2)求该函数 沿单位矢量 el=ex
7、 cos60ey cos45 ez cos60方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。,解(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为,25,表征其方向的单位矢量,(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为,对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为,26,而该点的梯度值为,显然，梯度 描述了P点处标量函数 的最大变化率，即最大的方向导数，故 恒成立。,27,例题：证明,证明：,28,29,1.4 矢量场的通量与散度,1、矢量线,意义：形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。,概念：矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了
8、该点矢量场 的方向。,30,2、矢量场的通量,问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。,通量的概念：,面积元的法向单位矢量；,穿过面积元 的通量；,如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：,31,通过闭合曲面有净的矢量线穿出,有净的矢量线进入,进入与穿出闭合曲面的矢量线相等,矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果,闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。,通量的物理意义,32,3、矢量场的散度,为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用
9、极限方法得到这一关系：,称为矢量场的散度。,散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。,33,柱面坐标系,球面坐标系,直角坐标系,散度的表达式：,散度的有关公式：,34,直角坐标系下散度表达式的推导,由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为,不失一般性，令包围P点的微体积V 为一直平行六面体，如图所示。则,35,根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为,同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为,36,例题：已知 求矢量 在R0处的散度解：根据散度的计算公式,37,4、散度定理（高斯定理）,从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任
10、意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即,散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。,证明,38,证明：,对于闭合面S包围的有限大体积V，可将其按图方式进行分割（dV1、dV2、dV3），计算每个体积元的小闭合面Si（i1，2）上穿出的通量，然后叠加。,39,1.5 矢量场的环流和旋度,矢量场的环流与旋涡源,不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。,40,如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无
11、旋场，又称为保守场。如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。,环流的概念,矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即,41,过点M 作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限,称为矢量场在点M 处沿方向n的环流面密度。,矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。,特点：其值与点M 处的方向n有关。,2、矢量场的旋度（）,（1）环流面密度,42,而,推导 的示意图如图
12、所示。,直角坐标系中、的表达式,43,于是,同理可得,故得,概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面 密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向，即,物理意义：旋涡源密度矢量。,性质：,（2）矢量场的旋度,44,旋度的计算公式:,45,旋度的有关公式：,46,3、Stokes定理,Stokes定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。,从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即,证明,47,证明：将曲面S划分成许多小面元，如图。对每一个小面元沿包围它的闭合路径取F的环流
13、，路径方向与C一致，并将这些积分相加。,对每一个小回路，有,48,例题：已知 求矢量 在R0处的旋度。解：根据旋度的计算公式,49,4、散度和旋度的区别,50,1、矢量场的源,散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；,旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。,1.6 无旋场与无散场,51,2、矢量场按源的分类,（1）无旋场,仅有散度源而无旋度
14、源的矢量场，,无旋场可以用标量场的梯度表示为,例如：静电场,证明,52,53,（2）无散场,仅有旋度源而无散度源的矢量场，即,性质：,无散场可以表示为另一个矢量场的旋度,例如，恒定磁场,证明,54,55,（3）无旋、无散场,（源在所讨论的区域之外）,（4）有散、有旋场,这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分,56,1.7 拉普拉斯运算与格林定理,1、拉普拉斯运算,标量拉普拉斯运算,概念：,拉普拉斯算符,直角坐标系,计算公式：,圆柱坐标系,球坐标系,57,矢量拉普拉斯运算,概念：,即,注意：对于非直角分量，,直角坐标系中：,如：,证明,58,59,2.格林定理,设任意两个标量场 及，若在
15、区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式。,式中S 为包围V 的闭合曲面，为标量场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏导数。,证明,60,令，其中 和 是体积V内两个任意标量的函数，则有,格林第一恒等式,61,基于上式还可获得下列两式：,上两式称为标量第二格林定理。,格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。,此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。,格林定理广泛地用于电磁理论。,62,亥姆霍兹定理:,若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为,式中：,亥姆霍兹定理说明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。,1.8 亥姆霍兹定理,63,在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。,亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。,
