电磁学电子教案.ppt

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1、电磁学电子教案,使用教材：赵凯华、陈熙谋编的第二版,主讲人：陈绍英、王启文、石鹏、李艳华,呼伦贝尔学院物理系普通物理教研室 电磁学课题组,2006年9月制作,第二章 静电场中的导体和电介质,2.1 静电场中的导体2.2 电容和电容器2.3 电介质2.4 电场的能量和能量密度,2.1.1 导体的静电平衡条件,当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场分布不随时间变化时，我们就说该带电体系达到了静电平衡。导体的特点是其体内存在着自由电荷，它们在电场的作用下可以移动，从而改变电荷的分布；反过来，电荷分布的改变又会影响到电场分布。由此可见，有导体存在时，电荷有分布和电场的分布相互影响、相互制约，并不是电荷

2、和电场的任何一种分布都是静电平衡分布。必须满足一定的条件，导体才能达到静电平衡分布。均匀导体的静电平衡条件就是其内场强处处为0。所谓“均匀”，指其质料均匀，温度均匀。这个平衡条件可论证如下：如果导体内的电场不处处为0，则在不为0的地方自由电荷将会移动，亦即导体没有达到静电平衡。换言之，当导体达到静电平衡时，其内部的场强必定处处为0。下面举例说明导体从非平衡态趋于平衡态的过程。(如下页图a所示)，把一个不带电的导体放在均匀电场 中。在导体所占据的那部分空间里本来是有电场的，各处电位不相等。在电场的作用下，导体中的自由电荷将发生移动，结果使导体的一端带上正电，另一端带上负电，这就是我们熟知的静电感

3、应现象。然而，这样的过程会不会持续进行,2.1.1 导体的静电平衡条件,下去呢？不会的。因为当导体两端积累了正、负电荷之后，它们就产生一个附加电场，与 叠加的结果，使导体内、外的电场都发生重新分布。在导体内部 的方向是与外加电场 相反的（见右图b示)。当导体两端的正、负电荷积累到一定程度时，的数值就会大到足以把 完全抵消。此时导体内部的总电场 处处为0时，自由电荷便不再移动，导体两端正、负电荷不再增加，于是达到了静电平衡。很明显，如果导体内的总电场 不处处为0，那么在 不为0 的地方，自由电荷仍将继续移动，直到 处处为0为止。从上述导体静电平衡条件出发，还可直接导出以下几点推论：（1）导体是个

4、等到位体，导体表面是个等到位面。因导体内任意两点、之间的电位差为，若 处处为0，则导体内部,2.1.1 导体的静电平衡条件,所有各点的电位相等，从而其表面是个等位面。（2）导体以外靠近其表面地方的场强处处与表面垂直。因为电力线处处与等位面正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直。我们知道，静电场的分布是遵从一定的规律的（高斯定理和环路定理），因此空间各点的场强和电位必定存在着内在联系。在静电场中引入导体后，附近空间里原来的电力线和等位面就会发生畸变和调整，以保证新形成的电力线和等位面与导体的表面成为一个等位面这一点相适应。静电场的边值问题的唯一性定理表明，当带电体系中各个导体的形状、大小、相对位

5、置和电位或带电量确定了之后，它们上面的电荷分布以及空间各点的电场分布都会唯一确定下来。由此可以说，导体对电场的分布能够起到调整和控制的作用。其应用之一为静电透镜。如右图所示，平面电极K的电位为120伏，在它的前面放置一块中央带有圆孔的平行金属板。并将它的电位控制在30伏。这样一来，空间各处等位面的形状被这控制电极调整后如右图所示，在圆孔上等位面向右侧凸起。现在我们来分析一下电力线发生的变化。在带圆孔的金属板G引入之后，在孔附近电力线将,2.1.1 导体的静电平衡条件,不再是平行线，因为它们处处与凸起了的等位面正交而向四周发散，或者说这里场强具有垂直于中心线（Z轴）而向外辐射的分量Er。我们设想

6、从金属电极K的中心发射出一束电子。因为电子带负电，当它们经过圆孔后，电场的Er分量就使电子受到向Z轴集中的电场力、结果使电子束在某点F会聚起来。这个带孔金属板对电子束的作用，就象一个凸透镜对光束的作用一样，可以达到聚焦的目的。这种方法叫做静电聚焦，带孔金属板G可以叫做静电透镜。在第一章中，基本上都是在给定电荷分布的前提下求场强或电位分布。在本章，由于引入导体后，由于电荷与电场的分布相互影响、相互制约，它们最终达到的平衡分布都是不能预先判知的，因而第一章中的方法对于许多实际需要往往不能适用。本节处理问题的方法不是去分析电场、电荷在相互作用下怎样达到平衡分布的复杂过程，而是假定这种平衡分布已经达到

7、，以上述平衡条件为出发点，结合静电场的普遍规律（如高斯定理、环路定理等）支进一步分析问题。,2.1.2 电荷分布,（1）体内无电荷 在达到静电平衡时,导体内部处处没有未抵消的净电荷（即电荷的体度密），电荷只分布在导体的表面。证明这个结论需要用高斯定理。假定导体内部某处有未被抵消的净电荷q，则可取一个完全在导体内部的闭合高斯面S将它包围起来（右图），根据高斯定理，通过S的电通量为，是一个非零值。这就是说，在S面上至少有些点的场强E不等于0，S面上场强不为0的这些地方就达不到静电平衡，电荷就会重新分布，直至场强处处为0，体内净电荷完全抵消为止。所以根据平衡条件的要求，在达到平衡状态以后，导体内部必

8、定处处没有未抵消的净电荷，电荷只能分布在导体的表面上。（2）面电荷密度与场强的关系 在静电平衡状态下，导体表面之外附近空间的场强与该处导体表面的面电荷密度有如下关系：（2.1）,2.1.2 电荷分布,式(2.1)证明如下:如右图示,P点是导体表面之外附近空间的点,在P点附近的导体表面取一面元。这面元取得足够小，使得其上的面电荷密度 可认为是均匀的。作如右图中所示的扁圆柱形高斯面，使圆柱侧面与 垂直，圆的上底通过P点。下底在导体内部，两底都与 平行，并无限靠近它，因此它们的面积都是，通过高斯面的电通量为由于导体内部场强处处为0，所以第二项积分为0。另外，由于导体表面附近的场强与导体表面垂直，故第

9、三项积分中，从而这项积分也是0。在第一项沿上底的积分中上，又由于 很小，其上场强可认为都与P点的场强E相等，所以有,2.1.2 电荷分布,在高斯面内包围的电荷为，根据高斯定理，消去 后即可得到式（2.1）。由公式看出：导体表面电荷密度大的地方场强大；而面电荷密度小的地方场强小。（3）表面曲率的影响 尖端放电 式(2.1)只给出导体表面上每一点的电荷密度和附近场强之间的对应关系，它并不能告诉我们在导体表面上电荷究竟怎样分布。定量地研究这个问题是比较复杂的，这不仅与这个导体的形状有关还和它附近有什么样的带电体有关。但是对于孤立的带电体来说，电荷的分布有如下定性的规律。大致说来，在一个孤立导体上面电

10、荷密度的大小与表面的曲率有关。导体表面凸出而尖锐的地方（曲率较大），电荷就比较密集，即面电荷密度较大；表面较平坦的地方（曲率较小），面电荷密度较小；表面凹进去的地方（曲率为负），面电荷密度更小。但应注意，孤立导体表面的电荷密度与曲率之间并不存在单一的函数关系。,2.1.2 电荷分布,以上规律可利用右图所示的实验演示出来。带电导体A表面P点特别尖锐，而Q点凹进去。以带有绝缘柄的金属球B接触尖端P后，再与验电器C接触，则金箔张开较显著。用手接触小球B和验电器C以除去其上的电荷后，使B与导体的凹进处Q附近接触，再接触验电器C，这时，发现验电器C几乎不张开。这表明Q处电荷比P处少得多。式(2.1)表明

11、，导体附近的场强E与面电荷密度 成正比，所以孤立导体表面附近的场强分布也有同样的规律，即尖端的附近场强大，平坦的地方次之，凹进的地方最弱(见右上图b 中电力线的疏密程）。导体尖端附近的电场特别强，它将会导致一个重要的后果，就是尖端放电。如右下图示，在一个导体尖端附近放一根点燃的蜡烛。当我们不断地给导体充电时，火焰就好象被风吹一样,2.1.2 电荷分布,朝背离尖端的方向偏斜。这就是尖端放电引起的后果。因为在尖端附近强电场的作用下，空气中残留的离子会发生激烈的运动。在激烈运动的过程中它们和空气分子相碰时，会使空气分子电离，从而产生了大量新的离子，这就使空气变得易于导电。与尖端上电荷 异号的离子受到

12、吸引而趋向尖端，最后与尖端上的电荷中和。与尖端上电荷同号的离子受到排斥而飞向远方，蜡烛火焰的偏斜就是受到这种离子流形成的“电风”吹动的结果。上述实验中，不断地给导体充电，就是为了防止尖端上的电荷因不断与异号离子中和而逐渐消失，使得“电风”持续一段时间，便于观察。尖端放电时，在它周围往往隐隐地笼罩着一层光晕，叫做电晕，在黑暗中看得特别明显。在夜间高压输电线附近往往会看到这种现象。由于输电线附近的离子与空气分子碰撞时会使分子处于激发状态，,2.1.2 静电场中的导体,从而产生光辐射，形成电晕。高压输电线附近的电晕放电浪费了很多电能，把电能消耗在气体分子的电离和发光过程中，这是应当尽量避免的，为此高

13、压输电线表面应当做得极光滑，其半径也不能过小。此外一些高压设备的电极常常作成光滑的球面也是为了避免尖端放电漏电，以维持高电压。尖端放电也有可以利用的一面。最典型的就是避雷针。当带电的云层接近地表面时，由于静电感应使地面上物体带异号电荷，这些电荷比较集中地分布在突出的物体（如高大建筑物、烟囱、大树）上。当电荷积累到一定程度，就会在云层和这些物体之间发生强大的火花放电。这就是雷击现象。为了避免雷击，如右图所示，可在高大建筑物上安装尖端导体（避雷针），用粗铜缆将避雷针通地，通地的一端埋在几尺深的潮湿泥土里或接到埋在地下的金属板（或金属管）上，以保持避雷针与大地电接触良好。当带电的云层接近时，放电就通

14、过避雷针和通地粗铜导体这条最易于导电的通路局部持续不断地进行以免损坏建筑物。,2.1.3 导体壳(腔内无带电体的情形),（1）基本性质 当导体壳内没有其它带电体时，在静电平衡下，导体壳的内表面上处处没有电荷，电荷只分布在外表面；空腔内没有电场，或者说，空腔内的电位处处相等。为了证明上述结论，在导体壳内、外表面之间取一闭合曲面S，将空腔包围起来（见右图）。由于闭合面S完全处于导体内部，其上场强处处为0，因此没有电通量穿过它。由高斯定理可知，在S内（即导体壳的内表面上）电荷的代数和为0。在此基础上还需证明，在导体壳的内表面上不仅电荷的代数和为0，而且各处的面电荷密度 也为0。利用反证法，假定内表面

15、上 并不处处为0，由于电荷的代数和为0，必然有些地方，有些地方，按照1.2节中的分析，的地方，的地方（这里法线矢量 是由壳内壁指向腔内的）。在第一章3里我们曾经论证，电力线只能从正电荷出发，到负电荷终止，不能在没有电荷的地方中断。由此，空腔,2.1.3 导体壳(腔内无带电体的情形),中没有电荷，所以从内表面 的地方发出的电力线，还会在腔内中断，只能终止在内表面 的地方。如果存在这样一根电力线，电场沿此电力线的积分必不为0。也就是说，这电力线的两端间有电位差。但这根电力线的两端都在同一导体上，静电平衡要求这两点的电位相等。因此上述结论与平衡条件相违背。由此可见，达到静电平衡时，导体壳内表面上 必

16、须处处为0。下面证明腔内没有电场。由于内表面附近，且电力线既不可能起、止于内表面，又不可能在腔内有端点或形成闭合线。所以腔内不可能有电力线和电场。没有电场就没有电位差，故腔内空间各点的电位处处相等。（2）法拉第圆筒 静电平衡时，导体壳内表面没有电荷的结论可以通过下页图所示的实验演示出来。图中A、B是两个验电器，把一个差不多封闭的空心金属圆筒C（圆筒内无带电体）固定在一个验电器B上。给圆筒和验电器B以一定的电荷，则金箔张开。取一个装有绝缘柄的小球D，使它和圆筒C外表面接触后再碰验电器A（图a），则A上金箔张开，如果重复若干次，我们就能使金属箔A张开的角度很显著，这证明圆筒C的外表面是带上了电的。

17、,2.1.3 导体壳(腔内无带电体的情形),如果把小球D插入圆筒上的小孔使之与圆筒的内表面相接触后，再用验电器A检查（图b）,则发现A的金属箔总不张开。这表明圆筒C的内表面不带电。这就从实验上证实了上述结论。这实验称为法拉第圆筒实验，实验中的圆筒C称为法拉第圆筒。根据静电平衡下导体壳的内表面处处没有电荷的性质，将带电导体与导体壳内表面接触时，带电导体上的电荷一定会全部转移到导体壳的外表面上去。因此，这是从一个带电体上吸取全部电荷的有效办法。测量电量时，要在静电计上安装法拉第圆筒并将带电体接触圆筒的内表面，就是这个道理。（3）库仑平方反比律的精确验证 电荷只分布在导体外表面上的结论，是建立在高斯

18、定理的基础上的，而高斯定理又是由库仑平方反比律推导出来的。相反，如果点电荷之间的相互作用力偏离了平方反比律，即,2.1.3 导体壳(腔内无带电体的情形),其中，则高斯定理将不成立，从而导体上的电荷也不完全分布在外表面上。用实验方法来研究导体内部是否确实没有电荷，可以比库仑扭秤实验远为精确地验证平方反比律。这类实验首先是卡文迪许在库仑于1785年建立平方反比律之前若干年（1773年）完成的。它的装置如右图所示，金属球1由绝缘支柱2支持。绝缘的金属球壳3套在金属球1的外边，它由两个半球组成，在其中之一的上面有一个小孔。一段导线条由绝缘丝线5悬挂，可探进小孔将球1与球壳3联接起来。这样，球1的表面就

19、成为球壳3 内表面的一部分，实验时，先使联接在一起的球1 和球壳3带电。然后将怀线抽出，将球壳3的两半分开并移去，再用静电计检验球1上的电荷。反复实验结果表明球1上总没有电荷。,2.1.3 导体壳(腔内无带电体的情形),由于电荷之间的相互作用力的规律具有原则意义的重大问题，后来许多人重复并改进了上述实验。目前在实验仪器灵敏度所允许的范围内可以肯定，与平方指数的偏离 即使有，也不会超过。（可参阅书中140页小字部分）这样，平方反比律便得到了十分精确的实验验证。（4）范德格喇夫起电机 利用导体壳的性质可以将电荷不断地由电位较低的导体一次一次地传递给另一电位较高的导体，使后者电位不断升高。如右图所示

20、，绝缘金属球A与电池的正极相联，电池负极接地，从而球A地之间保持一定的电位差。我们用一个带有绝缘柄的金属小球B与球A接触后又与一个具有小孔的金属球壳C的内壁接触，这时小球B上原来带的电荷全部传到金属球壳C的外表面上去。一次一次地重复这种接触过程，电荷可一次一次地被小球B传递到金,2.1.3 导体壳(腔内无带电体的情形),属壳C的外壁上去。范德格喇夫起电机就是利用这种原理作成的。右图是它的结构示意图。大金属壳1由绝缘支柱2支持着。3是橡胶布做成的传送带，由一对转轮4带动。传送带由联接电源一端的尖端导体5喷射电荷而带电。在尖端5的对面，传送带背后的接地导体板6的作用是加强由尖端5向传送带的电荷喷射

21、。当带电传送带经过另一尖端导体7的近旁时，尖端导体7便将电荷传送给与它相接的导体球壳1。这些电荷将全部分布到金属壳的外表面上去，使它相对于地的电位不断地提高。书中142页的图2-14为其外貌图。范德格喇夫起电机主要用于加速带电粒子。将离子源放在金属壳内，由于金属壳相对于外界具有高电位差，因此将离子引出球壳后进入加速管时，它就象位置很高的小球在重力场中下降时获得很大动能一样，在电场力的作用下将获得很大的动能。这种高速带电粒子可供原子核反应实验之用。,2.1.3 导体壳(腔内有带电体的情形),另外，近年来在晶体管和集成电路等半导体器件的制造工艺中新发展了一种离子注入技术。制作半导体器件时，需要在半

22、导体中掺入某些杂质元素（如硼或磷）的离子，过去全靠扩散的办法来完成。离子注入技术是利用加速器使离子经过电场加速后形成高速离子束，然后用这离子束轰击半导体晶片而注入其中，达到一定的掺杂要求。这种离子注入法比传统的扩散法优越之处在于掺杂的条件易于控制。在离子注入技术所需的离子能量范围内（例如速度在 米/秒的数量级），用范德格拉夫起电机来加速离子是比较便当的。2.1.3 导体壳（腔内有带电体的情形）（1）基本性质 当导体壳内有其它带电体时，在静电平衡状态下，导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为0。例如腔内有一物体带电,则内表面带电。证明：如右图所示，在导体壳内、外表面之间作一高斯面S（图中虚线

23、），由于高斯面处在导体内部，在静电平衡时场强处处为0，所以通过S的电通量为0。,2.1.3 导体壳(腔内有带电体的情形),根据高斯定理，S内，所以如果导体壳内有一带电体，则内表面必定带电【例题】如右图所示，金属球B被一同心的金属球壳A 所包围，分别给A、B两导体以电量+5微库仑和+3微库仑，问A球的外表面带电多少？【解】若先设A不带电，由于B带电+3微库仑，则A的内表面必带-3微库仑的电量，根据电荷守恒定律，在A的外表面必带+3微库仑的电量。再使A带+5微库仑的电量时，它将全部分布在外表面，故A的外表面共带电+8微库仑。（2）静电屏蔽 在静电平衡状态下，腔内无带电体的导体壳和实心导体一样，内部

24、无电场。只要达到了静电平衡状态，不管导体壳本身带电或是导体处于外界电场中，这一结论总是对的。这样，导体壳的表面就“保护”了它所包围的区域，使之不受导体壳外表面上的电荷或外界电场的影响，这个现象称为静电屏蔽（对内）。静电屏蔽现象在实际中有重要的应用。例如为了使一些精密的电磁测量仪器不受,2.1.3 导体壳（腔内有带电体的情形）,外界电场的干扰，通常在仪器外面加上金属罩。实际上金属外壳不一定要严格封闭，甚至用金属网作成的外罩就能起到相当好的屏蔽作用。工作中有时要使一个带电体不影响外界，例如对屋内的高压设备就要求这样。这时可以把这带电体放在接地的金属壳或金属网内。可由右图来说明其原理。为方便见，假定

25、带电体带正电。有了金属外壳之后，其内表面出现等量的负电荷。由内部带电体出发的电力线就会全部终止在外壳内表面等量的负电荷上，使电力线不能穿出导体壳。这样就把内部带电体对外界的影响全部隔绝了。实际上，应是外壳内表面的负电荷在导体壳外产生了一个电场，它和内部带电体在导体壳外产生的电场处处抵消。然而，如果外壳一接地，在它的外表面还有等量的感应电荷，它的电场将对外界产生影响（见图a），这样，内部带电体对外界的影响就全部消除了。,2.1.3 导体壳（腔内有带电体的情形）,（3）等电位高压带电作业 大家都知道,接触高压电是很危险的。怎样才能在不停电的条件下检修和维护高压线呢？原来对人体造成威胁的并不是由于电

26、位高造成的，而是电位梯度大造成的。近年来我国工人和工程技术人员经过多次科学实验和反复实践，摸索出一套等电位带电作业的方法。作业人员全身穿戴金属丝网制成的衣、帽、手套和鞋子。这种保护服叫做金属均压服。穿上均压服后，作业人员就可以用绝缘软梯和通过瓷瓶串逐渐进入电场区。当手与高压电线直接接触时，在手套与电线之间发生火花放电之后，人和高压线就等电位了，从而可以进行操作。均压服在带电作业中有以下作用：一是屏蔽和均压作用。均压服相当于一个空腔导体，对人体起到电屏蔽作用，它减弱达到人体的电场。二是分流作用。当作业人员经过电位不同的区域时，要承受一个幅值很大的脉冲电流，由于均压服与人体相比电阻很小，可以对此电

27、流进行分流，使绝大部分电流流经均压服。这样就保证了作业的安全。,作业：p150 1、3、5、6、10、12,2.2.1 孤立导体的电容,2.2.1 孤立导体的电容 所谓“孤立”导体，就是说在这导体的附近没有其它导体和带电体。设想使一个孤立导体带电,它将具有一定的电位（如右图示）。理论和实践证明，随着 的增加，将按比例地增加。这个比例关系可写成（2.2）式中 与导体的尺寸和形状有关,它是一个与、无关的常数，称之为该孤立导体的电容，其物理意义是使导体每升高单位电位所需的电量。电容的单位是库仑/伏特，专门名称法拉，简称法，用F表示：1法拉=1库仑/1伏特实际中嫌法拉这个单位太大，常用微法（记作）、沙

28、法（记作 或译作“皮法”）。,2.2.1 孤立导体的电容,为了便于理解电容的意义，可以打个比喻。右图表示三个盛水容器。当我们向各容器灌水时，容器内水面便升高。可以看到，对三个容器来说，为使它们的水面都增加一个单位的高度，需要灌入的水量是不同的。使容器中的水面每升高一个单位高度要灌入的水量是由容器本身的性质（即它的截面积）所决定的。导体的“电容”与此类似。若一个导体的电容比另一个大，就表示每升高一个单位电位时，该导体上面所需增加的电量比另一个多。【例题1】求半径为 的孤立导体球的电容。【解】因，故,2.2.2 电容器及其电容,2.2.2 电容器及其电容 如果在一个导体A的近旁有其它导体，则这导体

29、的电位 不仅与它自已所带电量的多少有关，还取决于其它导体的位置和形状。这是由于电量 使邻近导体的表面产生感应电荷，它们将影响着空间的电位分布和每个导体的电位。在这种情况下，我们不可能再用一个常数 来反映 和 之间的依赖关系了。要想消除其它导体的影响，可采用静电屏蔽的方法。如右图所示，用一个封闭的导体壳B把导体A包围起来，并将B接地（）。这样一来，壳外的导体C、D等就示会影响A的电位了。这时若使导体A带电，导体壳B的内表面将带电-。随着 的增加，将按比例地增大，因此我们仍可定义它的电容为,2.2.2 电容器及其电容,当然这时 已与导体壳B无关了。其实导体壳B也可不接地，则它的电位。虽然这时、都与

30、外界的导体有关，但电位差 仍不受外界的影响，且正比于，比值不变。这种导体壳B和其腔内的导体A组成的导体系，叫做电容器，比值（2.3）叫做它的电容。电容器的电容与导体的尺寸、形状和相对位置有关，与 和无关。组成电容器的两导体叫做电容器的极板。实际中对电容器屏蔽的要求并不象上面所述那么苛刻。如上页图所示那样，一对平行平面导体A、B的面积很大，而且靠得很近，集中在两导体相对的表面上的那部分电荷将是符号相反，数量相等的，它们产生的电力线集中在两表面之间狭窄的空间里。这时外界的干扰对电荷 与电位差 之比（即电容C）的影响实际上是可以忽略的。我们也可以把这种装置看成电容器（平行板电容器）。电容器在实际中（

31、主要在交流电路、电子电路中）有着广泛的应用。当你打开任何电子仪器或装置（如收音机、示波器等）的外壳时，就会看到线路里有各种各样的,2.2.2 电容器及其电容,元件，其中不少是电容器。实际的电容器种类繁多。（156页图2-23）通常在电容器两金属极板间还夹有一层绝缘介质（叫做电介质）。绝缘介质也可以是空气或真空。按两金属极板间所用的绝缘介质来分，有真空电容器、空气电容器、云母电容器、纸质电容器、油浸纸介电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、电解电容器、聚四氟乙烯电容器、钛酸钡电容器等；按其电容量的可变与否来分，有可变电容器、半可变或微调电容器、固定电容器等。但是，常用的各种类型的电容器的基本结构相同，

32、都由两片面积较大的金属导体极板中间夹一层绝缘介质组合而成。下面我们来推导电容器的电容公式，由此可以看出电容量的大小是由哪些因素决定的。在下面的计算中暂不考虑绝缘介质，即认为极板间是空气或真空。（1）平行板电容器 实际常用的绝大多数电容器可看成是由两块彼此靠得很近的平行金属板组成的平行板电容器。设它们的面积都是S，内表面间的间距是d（右图）。在极板面的线度远大于它们之间的距离,2.2.2 电容器及其电容,（或者说）的情况下，除边缘部分外，情况和两极板为无限大时差不多。这时两极板的内表面均匀带电，极板间的电场是均匀的。设两极板A、B的带电量分别为，则电荷的面密度分别为。根据式（2.1），场强为，电

33、位差为从而按照电容的定义（2.3），则有对于电容器的电容通常略去下标AB不写，而写为（2.4）这便是平行板电容器的电容公式。此式表明，正比于极板面积S，反比于极板间隔d。它指明了加大电容器电容量的途径：首先必须使电容器极板的间隔小，但是由于工艺,2.2.2 电容器及其电容,的困难，这是有一定的限度；其次要加大极板的面积，这势必要加大电容器的体积。为了体积小电容量大的电容器，需要选择适当的绝缘介质。（2）同心球形电容器 如右图示，电容器由两个同心球形导体A、B组成，设半径分别为 和（）。设A、B分别带电，利用高斯定理可知，两导体之间的电场强度，方向沿矢径。这时两球形电极A、B之间的电位差为于是电

34、容为,2.2.2 电容器及其电容,消去，整理后得同心球形电容器的电容公式为（2.5）（3）同轴柱形电容器 如右图示，电容器是由两个同轴柱形导体A、B组成，设其半径分别为 和（），长度为L。当 时，两端的边缘效应可以忽略，计算场强分布时可以把圆柱体看成是无限长的。利用高斯定理可知，两导体间的电场强度为其中 是每个电极在单位长度内电荷的绝对值，场的方向在垂直于轴的平面内沿着辐向。两柱形电极A、B间的电位差为,2.2.3 电容器的并联、串联,在柱形电容器每个电极上的总电荷为，故消去，整理后得同轴柱形电容器的电容公式为（2.6）从以上三例归纳起来，计算电容的步骤是：设电容器两极板上分别带电荷，计算电容

35、两极间的场强分布，从而计算出两极间的电位差 来；所得的 必然与 成正比，利用电容的定义 求出电容，它一定与此 无关，完全由电容器本身的性质（如几何尺寸，形状等）所决定。2.2.3 电容器的并联、串联 电容器的性能规格中有两个主要指标，一是它的电容量，一是它的耐压能力。使用电容器时，两极板所加的电压不能超过所规定的耐压值，否则电容器内的电介质有被击穿的危险，即电介质失去绝缘性质，电容器就损坏了。在实际工作中，当遇到单独一个电容器在电容的数值或耐压能力方面不能满足要求时，可以把几个电容器并联,2.2.3 电容器的并联、串联,或串联起来使用。（1）并联 如右图示，其中每个电容器有一个极板接到共同点A

36、，而另一极板则接到另一共同点B。接上电源后，每一个电容器两极板上的电位差（电压）都等于A、B两点间的电位差，设为。但是分配在每个电容器上的电量则不同，它们分别是，这表明，电容器并联时，电量与电容成正比地分配在各个电容器上（）。在所有电容器上的总电量为,2.2.3 电容器的并联、串联,因此，整个电容器系统总的电容C是（2.7）故电容器并联时，总电容等于各电容器电容之和。并联后总电容增加了。（2）串联 如右图示，其中每个电容器的一个极板只与另一电容器的一极板相连接，把电源接到这个电容器组合的两个极板上。当给第一个电容器左边的极板带上电荷量 时，其右边的极板上就由于静电感应产生电荷量，而在第二个电容

37、器左边的极板带上电荷量；这样依次感应。因此，串联的每一个电容器都带有相等的电荷量。每个电容器上的电压则为，,2.2.3 电容器的并联、串联,这表明，电容器串联时，电压与电容成反比地分配在各电容器上（）。整个串联电容器组两端的电压等于每一个电容器两极板上电压之和，即而整个电容器系统总电容，由此得出（2.8）即电容器串联后，总电容的倒数是各电容器电容的倒数之和，总电容C比每个电容器的电容都有小。例如两个电容相等的电容器串联后，总电容为每个电容器电容的一半，分配在每一电容器上的电压也为总电压的一半，因此，这个串联电容器组的耐压能力为每一个电容器的两倍。,作业：p168 3、4、5、7、10、13、1

38、4、20、24、31、34,2.3.1 电介质的极化,2.3.1 电介质的极化 电介质就是绝缘介质，它们是不导电的。前面介绍了导体在电场中的表现，电介质在外电场中又会表现出什么样的情况呢？先看演示实验，装置如下图示。将平行板电容器两极板接在静电计和地线之间，然后充上电。这时静电计指针有一偏角（图中蓝线位置）。而静电计指针的偏转角的大小反映了电容器两极板间电位差的大小。撤掉充电电源后，把一块玻璃板插入电容器两极板之间。这时静电计指针的偏转角减小（图中红线位置）。这表明电容器两极板的电位差减小了。由于电源已撤除，电容器极板是绝缘的，其上电荷量Q不变，故电位差U的减小意味着电容C=Q/U增大。即插入

39、电介质板可起到增大电容的作用。,2.3.1 电介质的极化,如果用导体板代替玻璃板插入电容器（当然不得使导体板与电容器极板接触)，我们同样可观察到类似的现象，但导体板增大电容的效果比玻璃板强得多。定性地说，使电容增大的原因是因为插入导体板之后两极板间电位差下降了。导体板在电场 的作用下产生了感应电荷，感应电荷在导体板内部产生的电场 总是与 方向相反（见下图），将它全部抵消。在电容器极板上电量不变的情形下，两极板间场强的任何削弱，都会导致电位差的下降。电介质使电容增大的原因也可作类似的解释。可以设想，把电介质插入电场中后，由于同号电荷相斥，异号电荷相吸的结果，介质表面也会出现类似右图所示的正负电荷

40、。我们把这种现象叫做电介质的极化，它表面上出现的这种电荷叫做极化电荷。电介质上的极化电荷与导体上的感应电荷一样，起着减弱电场、增大电容的作用。不同的是，导体上出现感应电荷，是其中自由电荷重新分布的结果；而介质上出现极化电荷，是其中束缚电荷的微小移动造成的宏观效果。由于束缚电荷的活动不能超出,2.3.2 极化的微观机制,原子的范围，因此电介质上的极化电荷比导体上的感应电荷在数量上要少得多。极化电荷在电介质内产生的电场 不能把外场 全部抵消，只能使总场有所削弱。综上所述，导体板引起电容增大的原因在于自由电荷的重新分布；电介质引起电容增大的原因在于束缚电荷的极化。2.3.2 极化的微观机制 任何物质

41、的分子或原子（以下统称分子）都是由带负电的电子和带正电的原子核组成的，整个分子中电荷的代数和为0。正、负电荷在分子中都不是集中于一点。但在离开分子的距离比分子的线度大得多的地方，分子中全部负电荷对于这些地方的影响将和一个单独的负点电荷等效。该等效负点电荷的位置称为这个分子的负电荷“重心”，例如一个电子绕核作匀速圆周运动时，它的“重心”就在圆心；同样，每个分子的正电荷也有一个正电荷“重心”。由此，电介质可以分成两类：在一类电介质中，当外电场不存在时，电介质分子的正、负电荷“重心”是重合的，这类分子叫做无极分子；在另一类电介质中，即使当外电场不存在时，电介质分子的正、负电荷“重心”也不重合，这样，

42、虽然分子中正负电量代数和仍然是0，但等量的正负电荷“重心”互相错开，形成一定的电偶极矩，叫做分子的固有极矩，这类分子称为有极分子。（见下页图）,2.3.2 极化的微观机制,（1）无极分子的位移极化，等分子都是无极分子，在没有外电场时整个分子没有电矩。加上外电场，在电场力作用下，每一分子的正负电荷“重心”错开了，形成一个电偶极子（下页图中a），分子电偶极矩的方向沿外电场方向。这种在外电场作用下产生的电偶极矩称为感生电矩。对于一块电介质整体来说，由于介质中每一分子形成了电偶极子，它们在介质中,2.3.2 极化的微观机制,情况可用图b表示。各个偶极子沿外电场方向排成一条条“链子”，链上相邻的偶极子间

43、正负电荷互相靠近，因而对于均匀电介质来说，其内部各处是电中性的；但在和外电场垂直的两个介质端面上就不同了。从图中看出，一端出现负电荷，另一端出现正电荷，这就是极化电荷。极化电荷与导体中的自由电荷不同，它们不能离开电介质而转移到其它带电体上，也不能在电介质内部自由运动。在外电场的作用下电介质出现极化电荷的现象，就是电介质的极化。由于电子的质量比原子核小得多，所以在外电场作用下主要是电子位移，因而无极分子介质的极化机制常称为电子位移极化。（2）有极分子的取向极化 在没有外电场时，虽然每一分子具有固有电矩，但由于分子的的不规则热运动，在任何一块电介质中，所有分子的固有电矩的矢量和，平均说来互相抵消，

44、即电矩的矢量和 为0，宏观上不产生电场。现在加上外电场，则每个分子电矩都受到力矩作用（如右图示），使分子电矩方向转向外电场方向，于是 不是0了。但由于分子热运动的缘故，这种转向并不完全，即所有分子偶极子不是很整齐地依照外,2.3.2 极化的微观机制,电场方向排列起来。当然，外电场越强。分子偶极子排列得越整齐。对于整个电介质来说，不管排列的整齐程度怎样，在垂直于电场方向的两个端面上也产生了极化电荷。如右图b所示，在外电场作用下，由于绝大多数分子电矩的方向都不同程度地指向右方，所以图中左端出现了未被抵消的负束缚电荷，右端出现正的束缚电荷。这种有极分子介质的极化机制称为取向极化。应当指出，电子位移极

45、化效应在任何电介质中都存在，而分子取向极化只是由有极分子构成的电介质所独有。但是，在有极分子构成的电介质中，取向极化的效应比位移极化强得多（约大一个数量级），因而其中取向极化是主要的。在无极分子构成的电介质中，位移极化则是唯一的极化机制。但在很高频率的电场作用下，由于分子的惯性较大，取向极化跟不上外电场的变化，所以这时无论哪种电介质只剩下电子位移极化机制仍起作用，因为其中只有惯性很小的电子，才能紧跟高频电场的变化产生位移极化。,2.3.3 极化强度矢量P,2.3.3 极化强度矢量P（1）定义 当电介质处于极化状态时，电介质的任一宏观小体元 内分子的电矩矢量之和不互相抵消，即（对 内各分子求和）

46、，而当介质没有被极化时，则将等于0。因此为了定量地描述电介质内各处极化的情况，我们引入矢量，它等于单位体积内的电矩矢量和，即（2.9）称为电极化强度矢量，它是量度电介质极化状态（包括极化的程度和方向）的物理量。它的单位是库仑/米2。如果在电介质中各点的极化验室强度大小和方向都相同，则称为均匀极化；否则极化是不均匀的。,2.3.3 极化强度矢量P,（2）极化电荷的分布与极化强度矢量的关系 当电介质处于极化状态时，一方面在它体内出现未被抵消的电偶极矩，这一点是通过极化强度矢量 来描述的；另一方面，在电介质的某些部位将出现未抵消的束缚电荷，即极化电荷。可以证明，对于均匀的电介质，极化电荷集中在它的表

47、面上。电介质产生的一切宏观后果都是通过极化电荷来体现的。为了方便，以位移极化为模型，设想介质极化时，每个分子中的正电“重心”相对负电“重心”有个位移。用q代表分子中正、负电荷的数量，则分子电矩。设单位体积内有 个分子，则按照定义，极化强度矢量。如右图示，在极化了的电介质内取一面元矢量，其中 为单位法线矢量。现考虑因极化而穿过此面元的极化电荷。穿过 的电荷所占据的体积是以 为底、长度为 的一个斜柱体。设 与 的夹角为，则此柱体的高为，体积为。因为单位体积内正极化电荷为，故在此柱体内极化电荷总量为，这也就是,2.3.3 极化强度矢量P,由于极化而穿过 的束缚电荷。现在取一任意闭合面，令 为它的外法

48、线矢量，则 通过整个闭合面 的通量 应等于因极化而穿出此面的束缚电荷总量。根据电荷守恒定律，这等于 面内净余的极化电荷 的负值，即（2.10）这公式表达了极化强度矢量 与极化电荷分布的一个普遍关系。若把闭合面 的面元 取在电介质体内，由于不前面的束缚电荷移出时后面还有束缚电荷补充进来（见右图），可以证明，如果介质是均匀的，其体内不会出现净余的束缚电荷，即极化电荷的体密度。对于非均匀电介质，体内是可能有极化电荷的。下面我们只考虑均匀电介质的情形。在电介质表面上，为锐角的地方出现一层正极化电,2.3.3 极化强度矢量P,荷（见右图a），为钝角的地方则出现一层负极化电荷（见右图b）。表面电荷层的厚度

49、是，故面元 上极化电荷为从而极化电荷的面密度为（2.11）这里 是 沿介质表面外法线 方向的投影。上式表明，为锐角的地方，；为钝角的地方，。这与前面分析的结论一致。式（2.11）是介质表面极化电荷面密度分布与极化强度矢量间的一个重要公式。【例题1】求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，已知极化强度为。【解】取球心O为原点、极轴与 平行的球坐标系。由于轴对称性，表面上任一点,2.3.3 极化强度矢量P,A的极化电荷面密度 只与 角有关。这个 也是A点外法线 与 的夹角，故这公式表明，在右半球 为正，在左半球 为负；在两半球的分界线（赤道线）上，在两极处 最大。【例题2】求沿轴均匀极化的电介

50、质圆棒上的极化电荷分布，已知极化强度为。（如右图示）【解】在右端面上；在左端面上；在侧面上。故正负电荷分别集中在两端面上。,2.3.4 退极化场,电介质极化时出现极化电荷，而极化电荷和自由电荷一样，在周围空间（无论介质内部或外部）产生附加的电场。因此根据场强叠加原理，在有介质存在时，空间任意的场强 是外电场 和极化电荷的电场 的矢量和：（2.12）一般说来，的大小和方向是逐点变化的。例如，我们把一个均匀的电介质球放在均匀外电场中极化（如图a示），介质球上的正、负极化电荷产生附加场（如图b示），它是一个不均匀的电场。与均匀外电场 叠加后，得到的总电场（如图c示），它也是不均匀的。在介质球外部，有