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1、8.8 多元函数的极值,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,问题的提出,播放,8.8.1 多元函数的极值概念和极值的必要条件,1、二元函数极值的定义,例1,例,例,2、多元函数取得极值的必要条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点（或者临界点）.,8.8.2 极值的充分条件,注：对一阶或二阶偏导不存在的极值可疑点，
2、按 极值定义判定之.,解,例4 讨论函数,及,是否取得极值.,解:显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此 z(0,0)不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在(0,0)都有,可能为,求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点及不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用多元函数的极值来求多元函数的最大值和最小值.,8.8.3.多元函数的最大值、最小值问题,解,如图,解,由,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.,例7 用一块面积为 12 平方米的
3、铁皮制作一个无盖的长方体形状的水柜,问其长、宽、高各为多少时可使水柜的容积最大?,解：设水柜的长、宽、高分别为x，y，z，则,因此，长、宽、高分别为2,2,1时容积最大，最大容积为4。,条件极值：,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,8.8.4 条件极值与拉格朗日乘数法,一般地，求函数(目标函数),在条件(约束条件)下的极值问题称为条件极值问题.,条件极值：
4、,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,例:,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法1 所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,故,故有,引入辅助函数,辅助函数L称为拉格朗日函数,极值点必满足,则极值点满足:,拉格朗日乘数法,实数 称为拉格朗日乘数.,则极值点满足:,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,推广:,例8 求函数f(x,y)=x2+2y2在条件x2+y2=1下的最值.,解,目标函数：,约束条件：x2+y2=1,例9 求椭圆抛物
5、面 z=x2+2y2 与平面 3x+6y+2z=27 的交线上与xOy平面的最短的距离.,解,解,则,解,可得,由,数学模型,多元函数的极值,求条件极值的拉格朗日乘数法,（取得无条件极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,小 结,思考题,思考题解答,练 习 题,练习题答案,8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件,8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件,8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件,8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件,8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件,8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件,8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件,8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件,8.8.1多元函数的极值概念和极值的必要条件,
