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1、第三章 中值定理与导数的应用 3.1 中值定理3.2 罗必达法则3.3 函数单调性的判别法3.4 函数的极值3.5 函数的最大值和最小值3.6 曲线的凹凸与拐点3.7 函数图像的描绘3.8 曲率,下页,3.1 中值定理,1.罗尔（Rolle）定理,2.拉格朗日（Lagrange)定理,3.柯西（Cauchy）定理,首页,上页,下页,3.1 中值定理,1.罗尔（Rolle）定理,定理1,（罗尔定理）如果函数f(x)满足：,(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)f(a)=f(b),则在(a,b)内至少有一点,使得,首页,上页,下页,例1,验证函数,定理的条件，并求出使,
2、的,值.,解,所以，在,内，使得,的,有两个:,3.1 中值定理,上满足罗尔,首页,上页,下页,2.拉格朗日（Lagrange)定理,定理2,（拉格朗日定理）,如果函数f(x)满足：,(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；,则在(a,b)内至少有一点,使得,3.1 中值定理,首页,上页,下页,格朗日定理的条件，并求 的值.,例2,验证函数,在区间0，1上满足拉,解,拉格朗日定理,（舍）,3.1 中值定理,所以在区间0，1上连续；,首页,上页,下页,推论1,如果函数f(x)在区间(a,b)内的导数恒为,零，则f(x)在区间(a,b)内是一个常数.,推论2,如果函数f(x)和
3、g(x)在区间(a,b)内可导,且,则在区间(a,b)内两个函数至多相差一个常数，即,其中C为某个常数.,3.1 中值定理,（用拉格朗日定理证）,首页,上页,下页,则在(a,b)内至少有一点，使得,3.柯西（Cauchy）定理,定理3,（柯西定理）如果函数f(x)和g(x)满足:,(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导，且,3.1 中值定理,首页,上页,下页,1.未定式 型的极限求法,3.2 罗必达法则,2.未定式 型的极限求法,3.其他类型的未定式极限的求法,首页,上页,下页,可以除外），,(2)在点,的某邻域内（点,1.未定式 型的极限求法,3.2 罗必达法则,罗必达法
4、则1,如果函数f(x)和g(x)满足下述条件：,(1),均存在且,(3),存在（或为无穷大），则有,首页,上页,下页,例1,求,解,例2,求,解,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,例3,求,解,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,的某邻域内（点,可以除外），,2.未定式 型的极限求法,罗必达法则2,如果函数f(x)和g(x)满足下述条件：,(1),(2)在点,均存在且,(3),存在（或为无穷大），则有,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,例4,求,解,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,例5,求,解,例6,解,求,3.2 罗必达法则,注意 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它
5、求极限方法结合使用，效果更好.,首页,上页,下页,例7,求,解,例8,求,解,方法失效,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,3.其他类型的未定式极限的求法,例9 求,解,例10 求,解,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,例11,求,解,3.2 罗必达法则,首页,上页,下页,3.3 函数单调性判别法,设函数f(x)在区间(a,b)内可导.,定理,(1)如果在(a,b)内，,，则函数f(x)在(a,b)内单调增加;,(2)如果在(a,b)内，,，则函数f(x)在(a,b)内单调减少.,首页,上页,下页,证,应用拉氏定理,得,3.3 函数单调性判别法,首页,上页,下页,表中“”表示单调增加，“
6、”表示单调减少.,例1,判定函数,的单调性.,解,3.3 函数单调性判别法,首页,上页,下页,例2,求函数,的单调区间.,解,3.3 函数单调性判别法,首页,上页,下页,例3,求函数,的单调区间.,解,3.3 函数单调性判别法,首页,上页,下页,例4,求函数,的单调区间.,解,3.3 函数单调性判别法,首页,上页,下页,（2）求导数，并求使 或 不存在的点，得到各单调区间的分界点；,3.3 函数单调性判别法,综合以上几例，得到求函数单调区间的步骤如下：,（1）求函数的定义域；,（3）讨论 在各区间内的符号，判断函数 在各区间内的单调性.,注意 如果函数在某区间内，只有个别点的导数等于零或不存在
7、，但该区间内其余各点的导数均大于（或小于）零，则函数在这个区间内仍是单调增加（或减少）的.,首页,上页,下页,例5,证明:当,时，,证,令,所以,在,内是单调增加的且连续.,3.3 函数单调性判别法,首页,上页,下页,3.4 函数的极值,1.函数极值的定义,2.函数极值的判定和求法,首页,上页,下页,3.4 函数的极值,概念引入,首页,上页,下页,3.4 函数的极值,1.函数极值的定义,定义,设函数,在,的某个邻域内有定义.,（1）如果对于该邻域内的任意点,，都有,（2）如果对于该邻域内的任意点,，都有,函数的极大值与极小值统称为函数的极值，,使函数取得极值的点称为函数的极值点.,首页,上页,
8、下页,取得极值，则函数在点,可导，且在点,2.函数极值的判定和求法,定理1,（必要条件）,设函数,在点,的导数,使函数的导数为零的点叫作函数的驻点（或稳定点）,3.4 函数的极值,注意,首页,上页,下页,3.4 函数的极值,定理引入,首页,上页,下页,在点,的一个邻域内,定理2,（第一充分条件）,设函数,在点,连续且可导（但,可以不存在）.,（1）如果在,的邻域内，当,时，,当,时，,，则函数,取得极大值,（2）如果在,的去心邻域内，,时，,当,时，,，则函数,在点,取得极小值,3.4 函数的极值,（3）如果在,的邻域内，当,首页,上页,下页,（2）求导数;,3.4 函数的极值,综合上面两个定
9、理，得到求函数极值的一般步骤如下：,（1）求函数的定义域；,（3）求 的全部驻点或导数不存在的点；,（4）讨论各驻点或导数不存在的点是否为极值点，是极大值点还是极小值点；,（5）求各极值点的函数值，得到函数的全部极值.,首页,上页,下页,例1,求函数,的极值.,解,（1）函数的定义域为,（2）,（3）令,得驻点,3.4 函数的极值,（4）列表讨论如下:,首页,上页,下页,3.4 函数的极值,首页,上页,下页,例2,求函数,的极值.,（1）函数的定义域为,解,（2）,（3）令,得驻点,（4）列表讨论如下:,3.4 函数的极值,首页,上页,下页,由上表知，函数的极小值为,.驻点,不是极值点，如下图
10、所示.,3.4 函数的极值,首页,上页,下页,例3,求函数,的极值.,解,（1）函数的定义域为,（2）,（3）令,得驻点,当,时，导数不存在.,（4）列表讨论如下:,3.4 函数的极值,首页,上页,下页,由上表知，函数的极大值为,3.4 函数的极值,函数的极小值为,首页,上页,下页,取得极小值.,在点,定理3,（第二充分条件）,设函数,处具有二阶,导数且,（1）如果,，则函数,在点,（2）如果,，则函数,在点,取得极大值.,3.4 函数的极值,注意,充分条件来判定.,首页,上页,下页,3.4 函数的极值,例4,求函数,在区间,上的极值.,解,首页,上页,下页,（1）求函数 的导数，并求出所有的
11、驻点和导数不存在的点.,（3）比较上述各函数值的大小，其中最大的就是 在闭区间a，b上的最大值，最小的就是 在闭区间a，b上的最小值.,3.5 函数最大值和最小值,求函数 在闭区间a，b上的最大值与最小值的步骤为：,（2）求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值.,首页,上页,下页,3.5 函数最大值和最小值,例1,求函数,的最大值和,最小值.,解,令,所以最大值为,，最小值为,（2）求出区间端点及各驻点的函数值分别是,（1）求函数的导数，得,首页,上页,下页,例2,用一块边长为24cm的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，做成无盖的铁盒，问截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒
12、容积最大？,解,设截去的小正方形边长为xcm，铁盒容积为Vcm3得,3.5 函数最大值和最小值,首页,上页,下页,令,得,又由问题得实际意义知，函数V的最大值在（0，12）内取得，所以当x4时，函数V取得最大值，即当所截去的正方形边长为4cm时，铁盒的容积最大。,3.5 函数最大值和最小值,首页,上页,下页,例3,在一条河的同旁有甲乙两城，甲的城位于河岸边，乙城离岸40km，乙城到岸的垂足与甲城相距50km，两城在此河边合建一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每公里3万元和5万元，问此水厂应设在河边的何处才能使水管费用最省？,3.5 函数最大值和最小值,解,设水厂离甲城xkm，水管总
13、费用为y万元，则,首页,上页,下页,例4,已知电源电压为E，内阻为r，求负载电阻R为多大时，输出功率最大？,解,令,得,所以当,时，输出功率最大.,3.5 函数最大值和最小值,首页,上页,下页,例5,每单位产品的价格是134元，求使利润最大的产量.,解,生产x个单位利润为,3.5 函数最大值和最小值,某产品生产x单位的总成本为,首页,上页,下页,因为,所以,在,有极大值;,又因为,所以,在,有极小值.,因此L(36)=996是L(X)的最大值.所以,生产36个单位时,有最大利润996元.,3.5 函数最大值和最小值,首页,上页,下页,),设曲线弧的方程为y=f(x)，且曲线弧上的每一点都有切线
14、，如果在某区间内，该曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凹的；如果该曲线弧位于其上任一点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凸的。,3.6 曲线的凹凸与拐点,定义,),),首页,上页,下页,定理,设函数f(x)在(a,b)内有二阶导数.,（1）如果在(a,b)内，,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的;,（2）如果在(a,b)内，,则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的.,例1,判定曲线,的凹凸性.,解,函数的定义域为,所以曲线在,内是凸的,在,内是凹的.,3.6 曲线的凹凸与拐点,首页,上页,下页,连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点叫作曲线的拐点.,3.6 曲线的凹
15、凸与拐点,首页,上页,下页,例2,求曲线,凹凸区间和拐点.,解,函数的定义域为,令,得,3.6 曲线的凹凸与拐点,首页,上页,下页,例3,求曲线,凹凸区间和拐点.,解,函数的定义域为,3.6 曲线的凹凸与拐点,首页,上页,下页,例4,判断曲线,是否有拐点?,解,函数的定义域为,令,得,时，恒有,因此点,不是曲线得拐点，所以曲线没有拐点.,3.6 曲线的凹凸与拐点,首页,上页,下页,3.7 函数图像的描绘,1.曲线的水平渐近线和铅直渐进线,2.函数图像的描绘,首页,上页,下页,3.7 函数图像的描绘,1.曲线的水平渐近线和铅直渐进线,一般地,则直线y=A叫作曲线y=f(x)的水平渐进线.,则直线
16、x=x0叫作曲线y=f(x)的铅直渐进线.,首页,上页,下页,例1,求曲线,的渐进线.,解,是曲线的水平渐进线.,例2,求曲线,的渐进线.,解,是曲线的铅直渐进线.,是曲线的水平渐进线.,3.7 函数图像的描绘,首页,上页,下页,3.7 函数图像的描绘,2.函数图像的描绘,利用导数描绘函数的图像的一般步骤是：,（1）确定函数 的定义域，并讨论函数的奇偶性；,（2）求出，解出 在函数定义域内的全部实根，并求出所有使一阶导数 二阶导数 不存在的点；,（3）把函数的定义域分为几个部分区间，列表讨论函数的单调性与极值、曲线的凹凸性与拐点；,（4）确定曲线的渐近线；,（5）结合极值点、拐点以及必要的辅助
17、点，把它们连成光滑的曲线，从而得到函数 的图像.,首页,上页,下页,例3,作函数,的图像.,（1）函数的定义域为,解,3.7 函数图像的描绘,所以,是奇函数，它的图像关于原点对称.,首页,上页,下页,（3）列表讨论如下:,3.7 函数图像的描绘,首页,上页,下页,3.7 函数图像的描绘,首页,上页,下页,例4,作函数,的图像.,(1)函数的定义域为,解,所以,是偶函数，它的图像关于y轴对称.,3.7 函数图像的描绘,(2),首页,上页,下页,(3)列表讨论如下:,3.7 函数图像的描绘,直线y=0为水平渐进线.,首页,上页,下页,3.7 函数图像的描绘,首页,上页,下页,例5,作函数,的图像.
18、,解,(1)函数的定义域为,令,得,令,得,(3)列表讨论如下:,3.7 函数图像的描绘,(2),首页,上页,下页,3.7 函数图像的描绘,首页,上页,下页,所以直线y=1为水平渐进线，x=-3为铅直渐进线.,(5)综上所述得图像,3.7 函数图像的描绘,(4),首页,上页,下页,3.8 曲率,1.弧微分,2.曲率及其计算公式,3.曲率圆和曲率半径,首页,上页,下页,3.8 曲率,1.弧微分,首页,上页,下页,3.8 曲率,弧微分,就是曲线上点M处的切线段|MT|.,通常把直角三角形MRT叫作曲线在点M的微分三角形.,弧微分公式,s=s(x)是x的单调增加函数，从而根号前应取正号，,首页,上页
19、,下页,例1,求正弦曲线,的弧微分.,解,例2,求圆,的弧微分.,解,3.8 曲率,首页,上页,下页,2.曲率及其计算公式,平均曲率,曲率,3.8 曲率,首页,上页,下页,例3,解,已知圆的半径为R,求：（1）圆上任意一段的平均曲率；（2）圆上任意一点的曲率.,（1）,（2）圆上任一点的曲率,3.8 曲率,首页,上页,下页,3.8 曲率,弧MN的平均曲率为,在点M(x,y)的曲率为,首页,上页,下页,例4,求等边双曲线xy=1在点(1,1)处的曲率.,解,代入曲率的计算公式得,3.8 曲率,曲率的计算公式,(2)与(3)代入(1)得,首页,上页,下页,3.8 曲率,例5,求抛物线 上曲率最大的
20、点.,解,当x=0时，分母最小.,所以，在顶点（0，0）处抛物线的曲率最大.,首页,上页,下页,3.曲率圆和曲率半径,圆C与曲线y=f(x)有以下关系：,(1)在点M有公共的切线；,(2)在点M有公共的凹向；,(3)在点M有相同的曲率.,我们把同时满足以上三个条件的圆叫作曲线在点M的曲率圆.曲率圆的圆心C叫作曲线在M点的曲率中心，曲率圆的半径R叫作曲线在点M的曲率半径.,3.8 曲率,首页,上页,下页,曲率半径的计算公式,例6,求等边双曲线xy1在点(1,1)的曲率半径.,解,该点在点(1,1)的曲率,所求曲率半径为,3.8 曲率,首页,上页,下页,设工件内表面的截线为抛物线.现在要用砂轮磨削其内表面，问直径多大的砂轮比较合适？,3.8 曲率,例7,解,问题成为求抛物线在顶点处的曲率半径.,所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过2.50单位长.,首页,上页,下页,
