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1、,第四节 线性方程组解的结构,(1)n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件为其系数矩阵的秩 R(A)n.(2)n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b 有解的充分必要条件为系数矩阵A与增广矩阵B=(A|b)的秩相等,且当R(A)=R(B)=n时有唯一解;当R(A)=R(B)n时有无穷多解;,前面我们已经用初等变换的方法讨论了线性方程组的解法,并建立了两个重要定理:,一、齐次线性方程组的解,设有齐次线性方程组,若记,则上述方程组可写成向量方程,Ax=0.,若x1=11,x2=21,xn=n1为方程组Ax=0的解,则,称为方程组Ax=0的解向量.,(1)若x=1,x=2为Ax=0的解
2、,则 x=1+2也是Ax=0的解.,证明:因为 A1=0,A2=0,所以,A(1+2)=A1+A2=0,故 x=1+2也是Ax=0的解.,(2)若x=1为Ax=0的解,k为数,则 x=k1也是Ax=0的解.,证明:因为 A1=0,所以,A(k1)=kA1=k 0=0,故 x=k1也是Ax=0的解.,这两个性质表明,Ax=0的全体解向量所组成的集合对于加法和数乘运算是封闭的,因此构成一个向量空间,称此向量空间为齐次方程组 Ax=0 的解空间.,二、基础解系及其求法,称向量组1,2,t为齐次线性方程组Ax=0的基础解系,如果,(1)1,2,t 是Ax=0的解的一个最大无关组;(2)Ax=0的任一解
3、都可由1,2,t 线性表出.,如果向量组1,2,t 为齐次线性方程组Ax=0的一组基础解系,那么,Ax=0的通解可表示为:x=k11+k22+ktt其中k1,k2,kt为任意常数.,设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的前 r 个列向量线性无关,于是A可化为:,即有方程组,(1),现对(xr+1,xn)T 取下列 nr 组数(向量):,分别代入方程组(1)依次得:,从而求得原方程组的 nr个解:,定理1:当 n元齐次线性方程组 Amnx=0的系数矩阵的秩R(A)=r时,解集S的秩为 nr.,依据以上的讨论，还可推得,当R(A)=n时,方程组Ax=0只有零解,故没有基础解系(此时解空间只含一个零
4、向量,为0维向量空间).,当R(A)=r n时,方程组Ax=0必有含nr个向量的基础解系1,2,n-r.因此由最大无关组的性质可知，方程组Ax=0的任何nr个线性无关的解都可构成它的基础解系.并由此可知齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的,它的通解的形式也不是唯一的.,例1:求齐次线性方程组,的基础解系与通解.,有,解:对系数矩阵A作初等行变换,变为行最简矩阵,得,即得基础解系:,并由此得通解:,例2:设AmnBnl=Oml,证明R(A)+R(B)n.,证明:设B=(b1,b2,bl),则,AB=A(b1,b2,bl)=(0,0,0)=Oml,即,Abi=0(i=1,2,l),也就是说,B的每
5、个一列向量都是以A为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0的解向量.,R(B)=R(b1,b2,bl)nR(A).,R(A)+R(B)n.,性质知:方程组Ax=0的解向量组的秩为nR(A),由齐次线性方程组解的,因此,故,三、非齐次线性方程组的解,证明:因为 A1=b,A2=b,(1)设 x=1 及 x=2 都是方程组 Ax=b 的解,则 x=12为对应齐次方程组Ax=0的解.,所以,A(12)=A1A2=b b=0.,故,x=12为对应齐次方程组Ax=0的解.,(2)设 x=是方程组 Ax=b 的解,x=是方程组 Ax=0 的解,则 x=+仍为方程组 Ax=b 的解.,证明:因为 A=b,A=0,
6、所以,A(+)=A+A=0+b=b.,故,x=+为方程组 Ax=b 的解.,其中 k11+k22+kn-rn-r 为对应齐次线性方程组Ax=0的通解,*为非齐次线性方程组Ax=b的任意一个特解.,非齐次线性方程组Ax=b的通解为:,x=k11+k22+kn-rn-r+*.,例4:求解方程组,解:对增广矩阵B施行初等行变换:,可见R(A)=R(B)=2,故方程组有解,并有,取 x2=x4=0,则x1=x3=,即得方程组的一个解,取,即得对应的齐次线性方程组的基础解系为:,于是所求通解为:,一、向量空间的概念,说明,2 维向量的集合是一个向量空间,记作.,1集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,第五节 向量空间,定义1设 为 维向量的集合，如果集合 非空，且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合 为向量空间,例2 判别下列集合是否为向量空间.,解,解,试判断集合是否为向量空间.,三、向量空间的基与维数,定义2 设 是向量空间，如果 个向量，且满足,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.,
