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1、Company Logo,主讲教师:张恩路,线性代数,Linear Algebra,第一章 行列式,1.牢记行列式的6条性质；,2.会利用行列式的性质计算行列式的值；,3.掌握余子式和代数余子式的定义及按行（列）展开定理；,4.会利用按行（列）展开定理计算行列式的值；,n 阶行列式的性质,性质1:行列式与它的转置行列式相等,即DT=D.性质2:互换行列式的两行(列),行列式变号.推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.性质3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.推论:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.性质4:行列式中
2、如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零 性质5:若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,则该行列式等于两个行列式之和.性质6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变.,定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,综上所述，有,同理可得,第二章 矩阵及其运算,1.掌握矩阵的运算性质，会求矩阵的加法、数乘 及矩阵与矩阵的运算；,3.会利用伴随矩阵求逆矩阵，会解矩阵方程；,4.会利用分块矩阵的性质计算矩阵的逆矩阵。,2.掌握矩阵的
3、转置性质、方阵的行列式性质及 逆矩阵的性质；,转置矩阵的运算性质,方阵的行列式,定义：由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵 A 的行列式，记作|A|或detA.,运算性质,如果 n 阶方阵A、B可逆，那么、与AB 也可逆，且,逆矩阵的性质,分块对角矩阵的性质,|A|=|A1|A2|As|若|As|0，则|A|0，并且,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,1.掌握矩阵的三种初等变换，行阶梯形矩阵、行最简形矩阵；,5.掌握矩阵秩的一些最基本的性质；,7.会讨论线性方程组系数矩阵的待定系数来判定线性方程组是否有解情况。,2.会用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵；,3.会用初等行
4、变换求逆矩阵及矩阵方程；,4.会用初等行变换求矩阵的秩；,6.掌握线性方程组有解的判定条件；,定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：,对调两行，记作；,以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作；,某一行加上另一行的 k 倍，记作.,行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.,行最简形矩阵：行阶梯型矩阵若满足：1.非零行的首个非零元为1;2.这些非零元所在的列的其它元素都为零.,（一）初等变换与矩阵乘法的关系,定理1 设A,B是一个 mn 矩阵，则(1)的充要条件是存在 可逆矩阵P，使得P A=B；(2)的充要条件是存在 可逆矩
5、阵Q，使得 A Q=B；(3)的充要条件是存在 可逆矩阵P 和Q，使得P A Q=B；,推论1 方阵 A 可逆的充要条件是.,推论2 方阵 A 可逆的充要条件是.,推论3 方阵 A 可逆的充要条件是.,初等行变换,（二）初等变换法求逆矩阵,（三）初等变换的其他应用,初等行变换,矩阵的秩的性质,若 A 为 mn 矩阵，则 0R(A)min(m,n)R(AT)=R(A)若 A B，则 R(A)=R(B)若 P、Q 可逆，则 R(PAQ)=R(A)maxR(A),R(B)R(A,B)R(A)R(B)特别地，当 B=b 为非零列向量时，有R(A)R(A,b)R(A)1 R(AB)R(A)R(B)R(A
6、B)minR(A),R(B)若 Amn Bnl=O，则 R(A)R(B)n,定理1 n 元线性方程组 AX=b 无解的充分必要条件是 R(A)R(A,b)；有唯一解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)=n；有无限多解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b)n,定理3 n 元齐次线性方程组 AX=0 只有零解的充分必要条件是R(A)=n；有非零解的充分必要条件是 R(A)n,定理2 线性方程组 AX=b 有解的充分必要条件是 R(A)=R(A,b),无解,否,是,无限多个解,否,是,唯一解,包含 n-R(A)个自由变量的通解,写出增广矩阵B=（,）,行最简形矩阵,求解线性方程组的步骤,其中n
7、 为线性方程组未知数的个数,齐次线性方程组,无穷多个解,否,是,唯一解,包含 n-R(A)个自由变量的通解,第四章 向量组的线性相关性,1.掌握向量组线性表示概念，会判定向量组的线性相关性；,2.会求向量组的秩及向量组的最大无关组；,3.掌握线性方程组的解的结构，会利用解的结构 判定方程组的解；,4.会求齐次线性方程组的基础解系；,5.会利用矩阵的秩求方程组的解空间维数；,6.会利用基变换公式与坐标变换公式及过度矩阵求解相关问题。,向量组的线性组合 定义2：给定向量组 A：a1,a2,am，对于任何一组实数 k1,k2,km，表达式k1a1+k2a2+kmam称为向量组 A 的一个线性组合k1
8、,k2,km 称为这个线性组合的系数 给定向量组 A：a1,a2,am 和向量 b，如果存在一组实数 l1,l2,lm，使得b=l1a1+l2a2+lmam则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示,向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组 A：a1,a2,am 线性相关存在不全为零的实数 k1,k2,km，使得k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）m 元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解矩阵A=(a1,a2,am)的秩小于向量的个数 m 向量组 A 中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性表示,线性相关性的判定,向量组线性无关性的判定（重点、难点）
9、向量组 A：a1,a2,am 线性无关如果 k1a1+k2a2+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=km=0 m 元齐次线性方程组 Ax=0 只有零解矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于向量的个数 m 向量组 A 中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线性表示,相关结论(1)若向量组 A：a1,a2,am 线性相关，则向量组 B：a1,a2,am,am+1 也线性相关（部分相关，整体相关）其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关（整体无关，部分无关）,最大无关组的求法:将向量组 a1,a2,am 通过初等行变换化成行阶梯形，找到矩阵 A 的一个最高阶非零子式
10、Dr 则Dr 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个最大无关组，Dr 所在的 r 行是 A 的行向量组的一个最大无关组注 1.最大无关组一般选取行阶梯形矩阵中首个非零元所在的列.2.向量组的最大无关组一般是不唯一的 3.向量组 A 和它自己的最大无关组 A0是等价的,齐次线性方程组的解的性质,性质1：若 x=x1，x=x2 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则 x=x1+x2 还是 Ax=0 的解性质2：若 x=x 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，k 为实数，则 x=kx 还是 Ax=0 的解结论：若 x=x1,x=x2,.,x=xt 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则 x=k1x1+k2
11、x2+ktxt 还是 Ax=0 的解.,性质3：若 x=h1，x=h2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，则 x=h1 h2 是对应的齐次线性方程组 Ax=0（导出组）的解性质4：若 x=h 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，x=x 是导出组 Ax=0 的解，则 x=x+h 还是 Ax=b 的解例如：若 x=h1，x=h2 是 Ax=b 的解，则：（1）h1 h2是齐次线性方程组 Ax=0 的解；（2）（h1+h2）/2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的解.,非齐次线性方程组的解的性质,基础解系的概念,定义2 齐次线性方程组 Ax=0 的一组解向量x1,x2,.,xr如果满足 x1，x2，
12、.，xr 线性无关；方程组中任意一个解都可以表示x1,x2,.,xr 的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系,注：齐次线性方程组的基础解系不唯一.,齐次线性方程组的解集的最大无关组为基础解系,定理7：设 mn 矩阵的秩 R(A)=r，则 n 元齐次线性方程组Ax=0 的解集 S 的秩 RS=n r,已知 n 元齐次线性方程组的解集为 S1=x|Ax=0.则齐次线性方程组Ax=0的基础解系是 S1 的一个基，故 S1 的维数等于 nR(A),定义3 如果在向量空间 V 中取定一个基 a1,a2,.,ar，那么V中任意一个向量 x 可唯一表示为x=l1a1+l2a2+lrar数组
13、l1,l2,.,lr 称为向量 x 在基 a1,a2,.,ar 中的坐标,例3 的列向量组是 R3 的一个基，,那么,b 在基 e1,e2,e3 中的坐标,基变换公式与坐标变换公式，过度矩阵,在 R3中取定一个基 a1,a2,a3，再取一个新基 b1,b2,b3，设 A=(a1,a2,a3)，B=(b1,b2,b3)求用a1,a2,a3 表示 b1,b2,b3 的表示式(基变换公式)；求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标变换公式).,解：(1)根据向量组 B 能由向量组A 线性表示的充要条件，只需求解矩阵方程 AX=B 即可.解得 X=A-1B,即(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)
14、P其中P=A-1B，称为基 A到B 的过渡矩阵(transition matrix).,（2）设 xR3，且,故,是从旧坐标到新坐标的坐标转换公式.,及,例如：已知R3的两组基为,（1）求基 到基 的过度矩阵P；,（2）向量 x 在基 中的坐标为x 在基 中的坐标.,第五章 相似矩阵,1.掌握向量特征值的概念和性质；,3.掌握两个矩阵相似的概念和性质；,4.会利用相似矩阵的概念、性质及矩阵的特征值 的性质计算相关问题.,2.会求向量的特征值和特征向量；,一、基本概念,定义1：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足Ax=l x，那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，
15、非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量 Ax=l x=lE x 非零向量 x 满足(AlE)x=0（零向量）齐次线性方程组有非零解 系数行列式|AlE|=0,特征值和特征向量的性质,在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算）设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1,l2,ln，则l1+l2+ln=a11+a22+ann l1 l2 ln=|A|若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组若 l 是 A 的一个特征值，则 j(l)=a0+a1 l+am l m是矩阵多项式 j(A)=a0+a1 A+am
16、A m 的特征值,特征值和特征向量的求法,1）解特征方程|AlE|=0，求得特征值l.2）解方程组（AlE）x=0，其通解即为对应于l 的特征向量.,特征方程,特征多项式,特征方程|AlE|=0特征多项式|AlE|,相似矩阵的概念定义：设 A,B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足P 1AP=B，则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵（similar matrix），或称矩阵A 和 B 相似.对 A 进行运算 P 1AP 称为对 A 进行相似变换.称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵,相似矩阵的性质定理3：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同,从而 A 和 B 的特征值也相同,
