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1、第二章 随机变量与概率分布,1 随机变量2 离散型随机变量的概率分布3 随机变量的分布函数4 连续型随机变量的概率密度5 随机变量函数的分布,1 随机变量,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例如:掷一颗骰子面上出现的点数；,七月份郑州的最高温度；,每天从北京下火车的人数；,昆虫的产卵数；,2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,在掷硬币试验E1中,引入变量：,X,1 出正面,0 出反面,在摸球试验E3中,引入变量：Y为取出的白球
2、数.,1.定义:随机试验E的样本空间为Se,若对于每个eS,有唯一实数X(e)与之对应,这样就得到一个定义在S上的实的单值函数X(e),称其为：随机变量.,S,e1,e2,e3,e4,X(e1),X(e2),X(e3),X(e4),随机变量所取值一般用小写字母x,y,z等表示.,随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母、等表示,引入随机变量，使得现代数学工具进入概率统计。从而使概率统计有了飞速发展。,例1.设盒中有 其中2白、3黑5个球,从中随便抽取3个球,则“抽得的白球数”X是个随机变量.“抽得的黑球数”Y也是随机变量。,事件：取到2白、1黑X=2=Y=1,3.用随机变量取值表示事件：,2
3、.随机变量与一般函数的区别,三、随机变量的分类,通常分为两类：,如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.,随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,所有取值可以逐个一一列举,例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.,全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满满一个或几个区间.,非离散型随机变量,非离散型非连续型,2.离散型随机变量及其概率分布,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.,从中任取3 个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,取每个值的概率为：,例1,且,其中(k=1,2,)满足：,（2）,这两条性质判断某函数是否是概率分布,一
4、.离散型随机变量概率分布定义,二、表示方法,（1）列表法：,（2）图示法,（3）公式法,X,例2.汽车通过4盏信号灯才能到达目的地，设汽车在每盏信号灯处通过的概率为0.6求：(1).汽车首次停车通过的信号灯数X的概率分布。(2).半路停车次数Y的概率分布。(3).半路最多停一次车的概率。,PXk=,(0.6)k0.4；k=0、1、2、3。,(0.6)k；k=4,解：X的概率分布：,Y的概率分布：,k=0、1、2、3、4。,PY=k=,P半路最多停一次车=PY1 PY=0+PY=1,=(0.6)4+,2.几个常见离散型随机变量的概率分布,(1).二项分布,若随机变量X的概率分布为：,则称X服从参
5、数为n、p的二项分布.其中q=1p,记为:Xb(n、p),实例：一批产品中次品率为 p，有放回取n次，每次取1个，取出的次品数Xb(n,p).,背景：只有两个可能结果的试验称为Bernoulli试验.,其样本空间为SA、A；,0PA=p1,在n次重复进行的Bernoulli试验中，A发生的次数 Xb(n、p).,(2).二点分布(n=1的二项分布)：,X 1 0,P p q,(3).几何分布,若随机变量X的概率分布为：,则称X服从参数为p的几何分布.其中q=1p.,PX=k=qk1 p k=1、2、3、,在重复进行的Bernoulli试验中,A首次发生出现在第 X次试验,则X服从参数为 p的几
6、何分布。,4.Poisson分布：,若随机变量X的概率分布为：,则称X服从参数为：的Poisson分布。,PX=k=,k=0、1、2、3、,记为X(),Poisson分布与二项分布的关系：,设放射性物质7.5秒放出粒子的个数为X，求X的概率分布,如图：设想把体积为V的放射性物质分割为体积均为:VV/n 的n份.,并假设：,(1).就每一小块而言，在7.5秒放 出2个以上粒子的概率为 0(实际是 很小忽略不计)。,(2).各小块放出粒子与否相互独立。,放出1个粒子的概率为：pn=V,则：PX=k,其中：qn=1pn,(令V;pn=VV/n=/n)：,考虑当 n,时,PX=k=,k=0、1、2、3
7、、,Poissn定理：n为正整数，pn=/n，0。则对任一非负整数k有：,其中：npn.,例3.某人打靶命中率为0.001,重复射击5000次，求至少命中2次的概率。,解：设X为至命中次数。,P(X2)=1P(X2)=1P(X=0)P(X=1),1(10.001)5000,0.9598,用Poissn定理：其中 np=50000.001=5,P(X 2)=1P(X2)=1P(X=0)P(X=1),0.9596,例4.某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元.设每天出租汽车数 X是一个随机变量，它的概率分布如下：,
8、求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.,也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.,PX20=PX=30+PX=40=0.6,解,因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：,P3X60,即 PX20,3 随机变量的分布函数,1.分布函数定义:,F(x)=PX x，(-x+)为X的分布函数.,x,设X是随机变量,称函数：,对于任意两点x1、x2:,P(x1 X x2)=F(x2)F(x1),分布函数的性质,(1)F(x)非降，即若 x1x2，则F(x1)F(x2);,(2)F()=F(x)=0,(3)F(x)右连续，即,如果一个函数具有上述
9、性质，则一定是某个r.v X 的分布函数.也就是说，性质(1)-(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.,F()=F(x)=1,例4.3个人抓阄决定取一物。第X人抓到有物之阄。求X的概率分布及其分布函数。,解：,PX=1=1/3,PX=2=2/31/2=1/3,PX=3=2/31/21/1=1/3,X的概率分布:,X的分布函数:,F(x)=,0 x 1,1/3 1 x 2,2/3 2 x 3,1 3 x,1,2,3,1,2/3,1/3,X,Y,离散型随机变量的分布函数为跳跃函数，在xi处的跳跃高度恰为PX=xi.,0,4.连续型随机变量的概率密度,1.定义：对于随机变量X的
10、分布函F(x)，如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：,则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率密度函数。简称密度函数。,密度函数的性质：,(1).f(x)0;,(4).连续型随机变量X对于任意实数a,PX=a=0,Px1Xx2,(5).若f(x)在x处连续，则：f(x)=F(x),(6).,(7).密度函数不唯一，改变f(x)有限个点处 的函数值依然是X的密度函数。,(处处连续),例5：设连续型随机变量X的分布函为：F(x)=a+b arctan x;求:(1).a=?b=?(2).X的密度函数.(3).PX2 1,解:(1)由分布函数性质：F()=0,F(+)=1,解得：a=1
11、/2 b=1/,X的密度为:f(x)=F(x)=,(-x),PX21=1P1X 1,1F(1)F(1)1/2,例6.设随机变量X的密度函数为：,求：k=?PX0.1=?X的分布函数。,解(1).,解得：k=3,0.7408,(3).,当 x0 时：F(x)=0,当 x 0时：,（1）若 r.vX的概率密度为：,则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：,X U(a,b),背景：r.v X 在区间(a,b)上取值，并且在(a,b)中任意小区间G取值的概率仅与G的长度成正比,与G的位置无关.则 X 服从(a,b)上均匀分布.,2.几个常见的连续型随机变量,例7.某人睡醒后，发现表停了。打开收音机
12、对表(假设收音机只正点报时)。求他等待时间不超过10分钟的概率。,解：设X为他等待的时间，,X的密度函数为：,0 x60,0 其它,PX10=,=,f(x)=,例8 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解：,依题意，X U(0,30),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,从上午7时起，每15
13、分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽站，,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,则称 X 服从参数为 的指数分布.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,（2）若 r.v X具有概率密度,常简记为 XE().,例8.设某器件寿命X服从参数为的指数分布，求此器件使用 a(a0)的概率；已知该器件已使用t(t 0)年，求再使用a年的概率。,X的密度函数为：,解：,PXa=,=a,PXa+t/Xt=,=,=a,两概率相同此性质称为无记忆性,(3)、正态分布的定义及图形特点,若r.v X的概率密度为,记作,f(x)所确定的曲线叫作正态曲线.,其中 和 都是常
14、数，任意，0，则称X服从参数为 和 的正态分布.,正态分布 的密度函数图形特点,(1)正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,(3).在x=处取最大值。,(4).越大越平缓，越小越陡峭。,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,定理 1：,书末的标准正态分布函数数值表，可解决正态分布的概率计算.,表中给的是x0时,(x)的值.,若,N(0,1),若 XN(0,1),例9.设电源电压 UN(220,625)(单位:V)，通常有3种状态；.不超过200V；.在200240之间；
15、.超过240V。在上述3状态,某电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2。求:,(1).元件损坏的概率。(2).在元件损坏情况下，分析电压所处状态。,UN(220,625),PA1=(,200220,25,),=0.2119,=1(0.8),考虑到对称性 PA3=PA1=0.2119,解：设Ai为电压处在i状态。i=1,2,3 设B为元件损坏；,P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3),=0.21190.1+0.57620.001+0.21190.2,0.0642,PA1/B=,P(A1)P(B/A1),P(B),0.330,类似：PA2
16、/B 0.009;PA2/B 0.660,所以电器损坏时,电压处在高压状态可能性最大,而处在(200240)可能性很小,几乎是不会的。,PA2=120.2119=0.5762,例10.某大型设备在t时间内发生故障次数N(t)服从参数为t的Poisson分布，T表示相邻两次故障之间的时间间隔；求：(1).T的密度函数。(2).1次故障修复后无故障运行8小时的概率。(3).设备已无故障工作t0小时，再无故障工作8小时的概率。,解：(1)先求T的分布函数。,当t0时：F(t)=PTt=0,当t0时：F(t)=PTt=,1t,=1 PN(t)=0=,F(t)=,1t t0,0 t0,故T的密度函数:f
17、(t)=F(t)=,1PTt,t t0,0 t0,(2).PT8=1F(8)=8,(3).根据指数分布无记忆性：PTt0+8/Tt0=8,例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,解:设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h)0.01,或 P(X h)0.99,下面我们来求满足上式的最小的 h.,再看一个应用正态分布的例子:,因为XN(170,62),查表得(2.33)=0.99010.99,所以=2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.
18、01.,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X|1)=2(1)-1=0.6826,P(|X|2)=2(2)-1=0.9544,P(|X|3)=2(3)-1=0.9974,3 准则,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,这在统计学上称作“3 准则”（三倍标准差原则）.,解：当 X 取值 1，2，5 时，Y 取对应值 5，7，13，,而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率.,故,5 随机变量函数的分布,1.离散型随机变量函数的分布,如果g(xk)中有一些相同
19、,把它们适当并项即可.,一般，若X是离散型 r.v，X的概率函数为,则 Y=X2 的概率函数为：,例11.已知随机变量X的概率分布为：,X 0 1 2 3 4 5,P 1/12 1/6 1/3 1/12 2/9 1/9,求：Y(X2)2的概率分布。,X 0 1 2 3 4 5,P 1/12 1/6 1/3 1/12 2/9 1/9,解：,Y 4 1 0 1 4 9,故Y的概率分布为：,Y 0 1 4 9,P 1/3 1/4 11/36 1/9,二、连续型随机变量函数的分布,解：设Y的分布函数为 FY(y)，,FY(y)=P Y y=P(2X+8 y),=P X=FX(),于是Y 的密度函数,故
20、,注意到 0 x 4 时，,即 8 y 16 时，,此时,Y=2X+8,求导可得,当 y0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，,解：设Y和X的分布函数分别为 和，,若,则 Y=X2 的概率密度为：,例4 设随机变量X的概率密度为,求Y=sinX的概率密度.,当 y 0时,当 y 1时,因为：当,时,故,解：,=P(0 X arcsiny)+P(-arcsiny X）,当0y1时,密度函数：,例5 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数。,又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数,其反函数 F-1 存在且严格递增.,证明:(1)设Y的分布函数是G(y),于是,对y1,G(y
21、)=1;,对y0,G(y)=0;,由于,证明:Y=F(X)服从0,1上的均匀分布.若RU(0,1),则F-1(R)的分布函数为F(x).,对0y1,G(y)=P(Y y),=P(F(X)y),=P(X(y),=F(y)=y,即Y的分布函数：,求导得Y的密度函数：,可见,Y 服从0，1上的均匀分布.,(2)设：F-1(R)的分布函数为F2(x),则,F2(x)=PF-1(R)x,=PR F(x),=FR F(x),=F(x),因为：RU(0,1),所以：R的分布函数为：,又因为：,F(x)0,1,则F-1(R)的分布函数为F(x).,本例的结论给出构造分布函数为F(x)的随机数的方法：取U(0,
22、1)随机数i(i=1,2,)令:i=F-1(i)，则i(i=1,2,)就是F(x)随机数，若1,2,相互独立,则1,2,也相互独立。,其中，x=h(y)是y=g(x)的反函数,定理:设 X是一个取值于区间a,b，具有概率密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有 或恒有，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为,证明：(只证明g(x)0的情况),g(x)0 恒成立，g(x)在(-,)上严格单调减。,先求Y的分布函数：,当y时，FY(y)=0,当y时，FY(y)=1,当 y 时：,=Pg(X)y,=PX h(y),=1FXh(y),Y的密度函数：,fY(y
23、)=,FY(y)=,FY(y)=PY y,以上定理可推广到如下情况：,例12.证明：若XN(，2)，则:YaX+b N(a+b，(a)2)(a0).,证明:ax+b在(-,+)上,可导且(ax+b)0(或恒有(ax+b)0)；ax+b的值域为(-,+),ax+b的反函数为:,yb,a,yb,a,;(,)=,1,a,X的密度函数：,-x+,YaX+b的密度：,-y+,即：YaX+bN(a+b，(a)2),例6 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.,解：,在区间(0,1)上,函数lnx0,故 y=-2lnx0,于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数,由前述定理
24、得,注意取绝对值,已知X在(0,1)上服从均匀分布，,代入 的表达式中,得,即Y服从参数为1/2的指数分布.,例13.设电压VAsin,其中A是正常数，相角为随机变量,在区间(-/2,/2)上服从均匀分布,求电压的概率密度。,解：vAsin,的密度为：,V的密度：g(v)=,在(-/2,/2)上 v=Acos 保号,例14.点随机落在中心在原点,半径为R的圆周上,且对弧长均匀分布,求落点横坐标X的概率密度。,则：Z的密度为：,下面求X的分布函数：,FX(x)=,当 xR时：,FX(x)=0;,当 xR时：,FX(x)=1,当|x|R时：,FX(x)=PX x,X的密度函数：,fX(x)=FX(x)=,用分布函数法求随机变量函数的分布：,由X的概率密度fX(x),Yg(X)的分布函数FY(y),FY(y)则得Y的密度函数fY(y),例15.XN(0,1);求YX2的概率密度。,解：先求Y的分布函数 FY(y)。,当y0时：FY(y)0,当 y0时:FY(y)PX2y,=P X,Y的密度函数：,Y服从参数为1的卡方分布，记为：,fY(y)=FY(x)=,
