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1、第四章 电路的若干定理41 叠加定理一、叠加定理1、定义：在线性电阻电路中，任一支路电流（或支路电压）都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路产生的电流（或电压）的代数和。线性电阻电路的这一性质称为叠加定理。2、以具体电路证明叠加定理由KVL和KCL可写出下方程：,整理后可得：,现使两个电源分别作用时：,当 uS 单独作用时：,当 iS 单独作用时：,当 uS 与 iS 共同作用时由叠加定理得：,叠加定理得到证明。,3、应用叠加定理应注意的问题（1）、叠加定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路。（2）、应用叠加定理时，电路的联接以及电路所有电阻和受控源都不予变动。电压源不作用，就是把该电压源
2、的电压置零，即将其“短路”。电流源不作用，就是把该电流源的电流置零，即将其“开路”。（3）、应用叠加定理时，要注意各电压及电流路的参考方向。（4）、由于功率不是电流或电压的一次函数，所以功率不能叠加。设某电路中有两个独立电源，某电阻支路的电流是 i 则:,4、对于含有 n 个节点 b 条支路的电路叠加定理的表达形式 因为在线性电路中激励与响应成正比，如果设电路中有 g 个电压源 h 个电流源，任意一处电压 uf 或电流 if 便可写为以下形式：,下面以几道例题来说明叠加定理的应用例41已知：电路如图所示求：i1，i2解：,=,+,例42已知：电路如图所示求：u3=?,=,+,解：,例 43 已
3、知：在上例的电路中 4 电阻支路处串接一个 6V 电压 源，得一新电路如图所示。求：u3=?,解：由上题中的计算结果可知,二、齐性定理1、定义：在线性电路中，当所有的激励（电压源和电流源）都增大或缩小K倍，（K为实常数）则响应（电流和电压）也将同样增大或缩小K倍，这就是齐性定理。2、关于齐性定理的说明（1）、当电路中只有一个激励时，响应将与激励成正比。例如：,（2）、齐性定理不难从迭加定理推出。例如：当电路中有两个激励时,例4 4已知：梯形电路如图所示求：电路中各支路电流解：,42 替代定理一、定义：给定任意一个线性电阻电路，其中第K条支路的电压uk和电流iK已知，那么这条支路就可以用一个具有
4、电压等于uk的独立电压源，或者用一个具有电流等于iK的独立电流源来替代，电压源或电流源的参考方向与被替代的支路电压或电流的参考方向相同，替代后电路中全部电压和电流均将保持不变。例如：,=,=,二、说明：1、定理中所指的第K条支路，可以是无源的，也可以是有源的，但一般不含受控源。2、替代定理可以推广到非线性电路。下面用一个实际例子来说明替代定理的应用：,43 戴维南定理和诺顿定理首先介绍二端网络（一端口网络）的概念：1、定义二端网络：由电路向外引出一对端钮，即一个端口的网络叫 做 二端网络也叫做一端口网络。无源二端网络：在网络内部，不含独立电源，只含电阻和受控 源的二端网络叫做无源二端网络也叫做
5、无源一 端口网络。有源二端网络：在网络内部，含独立电源，电阻和受控 源的 二端网络叫做有源二端网络也叫做有源一 端口网络。,3、等效情况 一个无源一端口网络端口上的电压与电流之比为一个常数，则有,2、表示符号,，也就是说整个的一个无源一端口网络可用一个电阻来等效，且 Ri 叫做无源一端口网络的等效电阻（入端电阻）。,+,u,i,那么，对于一个有源一端口网络的等效电路又如何？戴维南定理将结论告诉我们。一、戴维南定理1、定义：任何一个线性有源一端口网络，对外电路来说在端口上可以等效为一个电压源与电阻的串联。此电压源的电压等于有源一端口网络的开路电压u0,而电阻等于有源一端口网络的全部独立电源不作用
6、时的从端口上看进去的等效电阻（入端电阻）Ri。且将电压源与电阻的串联支路叫做线性有源一端口网络的戴维南等效电路。,2、证明因为，等效只是对端口而言，所以只要证明等效前后端口上的伏安特性相同便可得证。第一步：应用替代定理将一有源一端口网络与一电阻R0相联，视R0为外电路，在用iS=i 的电流源替代R0支路。,u0,第二步：对替代以后的电路应用叠加原理。,+,一端口网络的端口上应满足的 u、i 关系为：,第三步：如应用戴维南定理将有源一端口网络进行等效，则可得与方程完全相同的方程。,=,=,=,所以，戴维南定理得到了证明。,3、等效电阻（入端电阻）的求法（1）、直接计算法 将 A 中的独立电源全部
7、去掉（电压源短路、电流源开路），直接进行电阻的串、并联的计算。此方法适合于不含受控源的电路。（2）、开路短路法 设 A 端口上的开路电压为 u0,短路电流为 iS，则证明：,（3）、加压求流法 将 A 内部的独立电源全部去掉后，得与 A 相对应的 P，在P端口上加一电压源 uS,则。,方法（2）、（3）适合于含受控源的电路。,例45已知：电路如图所示求：电流 I5。解：用代维南定理求 首先将 a b 开路求开路电压,在将原电路中的独立电压源去掉，求从 a b 看进去的等效电阻,最后，得代维南等效电路，并求出 I5。,例 4 6已知：电路如图所示求：代维南等效电路解：,例 4 7已知：电路如图所
8、示求：电流 I3 解：应用代维南定理 先求出开路电压U0,I11,在求等效电阻，将独立电源去掉后，用加压求流法可得：,得戴维南等效电路,二、诺顿定理1、定义：任何一个有源一端口网络，对外电路来说，在端口上可以等效成一个电流源和电导的并联。此电流源的电流等于该一端口的短路电流 iS,而电导等于端口上的等效电阻的倒数也叫做输入电导。,2、证明：,由电源等效,3、Ri 的求法同上。4、注意：（1）、当 A内含受控源时，它的全部独立电源去掉后，其Ri有可能等于零，戴维南等效电路为一个理想电压源。这时，,诺顿等效电路不存在。,（2）、如 Gi=0,则诺顿等效电路为一个理想电流源。这时，,戴维南等效电路不
9、存在。（3）、戴维南等效电路和诺顿等效电路统称为一端口的等效发电 机。相应的两个定理也可统称为等效发电机定理。,例48已知：电路如图所示求：电路的诺顿等效电路解：首先求短路电流,再求等效电阻,在例47中已经求出,例 49 已知：电路中 R为可变电阻。求：调节 R=？时可从电路中获得最大功率，并求此最大功率。,解：将11 端以左的有源一端口网络进行戴维南等效有,再求等效电阻：,得戴维南等效电路且可得出最大功率：,例410 电路如图所示，RV是直流电压表的内阻，如果用电压表分别在 a、b 和 b、c 处测量电压，试分析电压表内阻引起的测量误差。解：首先将 b、c 以左的电路进行戴维南等效。没有加电
10、压表时 b、c 的电压：,加电压表后 b、c 的电压：,两次电压的相对误差为：,不难看出，如在 a、b 端测量电压，测量前后Ri不变，RV，误差。反之RV，误差。当 R1=20 K，R2=30K，RV=500K 时，=2.34%。,4 4 特勒根定理一、特勒根定理1（功率平衡定理）1、定理：对于任何一个具有 n 个节点 b 条支路的电路，假设各支路电压和电流同正向，并设 b 条支路的电压和电流分别为：u1，u2，ub，i1，i2，ib。则对任何时刻 t 都有：,2、证明以具体电路为例：令节点电压为：,支路电压为：,各支路电压与节点电压的关系：,对节点列 KCL 方程：,各支路电压、电流相乘再相
11、加的：,将支路电压用节点电压表示：,整理得：,由上述证明可推广到 n 个节点 b 条支路的电路有：,3、注意：（1）、在证明过程中，用的是图，还用了KCL、KVL，可见只与电路的联接性质有关，并不涉及到元件的性质。因此，此定理适用于较广泛的范围，只要是集总参数的电路就可用（其中包括线性、非线性，时变、非时变电路）。（2）、此定理实质上是功率守恒的体现，它表明在任何一个电路中，全部支路所吸收的功率之和恒等于零。,二、特勒根定理2 1、定理：如果有两个具有 n个节点 b条支路的电路 N和,表示两电路中 b 条支路的电流和电压，则在任何时刻 t，有,，它们有相同的图，但图中各支路上的元件可以不同，假
12、设各支路电压、电流都是关联参考方向，并分别用,2、证明：设两个相同的图：N、,对 列 KCL 方程：,由特勒根定理1的证明可得：,又：,3、注意（1）、特勒根定理2 不能用功率守恒来解释，它仅仅是对两个具有相同拓扑电路电压、电流所必须遵循的数学关系。（2）、因为它仍具有功率之和的形式，所以有时又称它为“拟功率定理”。（3）、定理2也可普遍适用于集总参数的电路。三、特勒根定理的验证 在书上P66。请自学。,所以可推广到 n 个节点 b 条支路的两个同图的电路有：,45 互易定理互易定理：对一个仅含线性电阻的电路，在单一激励的情况下，当 激励和响应互换位置时，将不改变同一激励所产生的响应。一、互易
13、定理的第一种形式：,根据互易定理定理可知：i k=,是两个具有相同拓扑的电路，且设电路有 b 条支路，根据特勒 定理有,证明：由于N和,又由于两个电路在N0内部完全相同，而且各支路均为电阻，设支路电阻为 R,于是有,N,二、互易定理的第二种形式,N,根据互易定理,证明：由特勒根定理,三、互易定理的第三种形式,当 us=iS 时(只在数值上相等),根据互易定理有:,证明：由特勒根定理有,例411 电路如图所示，已知：（1）R1=R2=2，US=8V时，I1=2A，U2=2V；（2）R1=1.4,R2=0.8，US=9V时，I1=3A。求：在条件（2）时的电压 U2=？V。,解：当电路满足条件（1
14、）时视为N，满足条件（2）时视为,对电路：,对电路N：,由特勒根定理可得：,4 6 对偶电路与对偶原理一、对偶元素 电路的诸多变量、元件、定律、定理乃至公式间 有着某种相似、对应的关系，称为相互对偶。,二、对偶电路 下面看两个电路：,有下关系 对N有,1、对偶电路的定义：设电路N有b条支路，满足下列条件的电路 称为N的对偶电路。（1）、将N中KVL方程中的支路电压 u j 的换成支路电流 i j(对所有支路j=1，2，3，b)便成为对 成立的KCL方程；,（2）、将N中以支路电流 i j 表示的支路电压 u j 的表达式中的i j 与u j 交换，就是 中的以支路电压 u j 表示的支路电流i
15、 j 的表达式(对所有支路j=1，2，3，b)。,2、关于上“定义”的几点解释（1）、由上条件可见 与 N 必有相同的支路数 b(将一个元件 视为一条支路)。,（2）、中的独立节点数=N 中的独立回路数。,（3）、N 中有一电阻支路 Rk 与 中一电导Gk支路相对应，且有 Rk=Gk（数值相等）,（4）、只有平面电路才有对偶电路。,下面以一电路为例说明对偶电路的得到：,0,N电路的回路电流方程：,电路的节点电压方程：,比较两电路的方程可见有对偶性。,三、对偶原理 电路中某些元素之间的关系（或方程），用它们的对偶元素对应的置换后，所得的新关系（或新方程）也一定成立，这个新关系（或新方程）与原有的关系（或方程）互为对偶，这就是对偶原理。例如：,对电路 列节点电压方程：,对电路 N 列 KVL 方程：,N 与 为对偶电路,N 与 为对偶电路,
