电路第10章.ppt

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1、第十章 正弦电流电路的稳态分析 101 正弦量的基本概念几个名词解释：正弦量：凡是按正弦规律变动的电压、电流等，都称为正弦量。正弦电流电路：（正弦电路）在线性电路中，如果全部激励都是同一频率的正弦函数，则电路中的全部稳态响应也将是同一频率的函数。这类电路称为正弦电流电路。简称正弦电路。一、正弦量的数学表达式及正弦量的三要素 以正弦电流为例,Im：正弦量的最大值，即振幅。：正弦量的角频率。i：正弦量的初相位。以上三个量称为正弦量的三要素。i(t)：正弦量的瞬时值。可为正，也可为负。i(t)0 表示电流的实际方向与参考方向一致。i(t)0 表示电流的实际方向与参考方向相反。,1、正弦量的表达式 一

2、段正弦电路中流过一正弦电流在指示的参考方向下，其数学表达式为：,正弦量的波形：,-Im,0,Im,i(t),t,i=0 时 正弦量的波形,2,i(t)0,i(t)0,i(t)0,2、正弦量的三要素（1）、振幅（最大值）Im：它是正弦电流在整个变化过程中所能达到的最大值。当sin(t+i)=1 时的值为最大值，有 imax=Im 当sin(t+i)=1 时的值为最小值，有 imin=Im imax imin=2 Im 称为正弦量的峰峰值。,（2）、角频率：在 Imsin(t+i)中，t+i 是正弦量随时间变化的核心部分，它反映了正弦变化的进程，称为正弦量的相角或相位。就是相角随时间变化速度，即：

3、,正弦量的周期：正弦量变化一周所需的时间 T。单位：秒 1s=10+3 ms=10+6 s=10+9 ns正弦量的频率：正弦量单位时间里变化的次数 f。f=1/T 单位：赫兹=1/秒 1HZ=103 KHZ=106MHZ=109 GHZ（吉赫兹）、f、T 三者之间的关系：T=2=2/T=2f,在工程上往往频率的大小作为区分电路的标志，例如，高频电路，甚高频电路，低频电路，音频电路等等。,(3)、初相位（初相角，初相）它是正弦量在 t=0 时刻的相角。即：（t+i）|t=0=i。单位：弧度或度。,取值范围在|i|的范围内取值，i 的大小与记时起点的选择有关。下面分三种情况讨论i 不同时的正弦量的

4、波形。,-Im,0,Im,i(t),t,i=0 时正弦量的波形,2,i(t)0,i(t)0,i(t)0,i,i 0 时正弦量的波形,0,Im,t,2,i,纵轴向右移i 0,i 0时正弦量的波形,i,0,Im,t,2,i,纵轴向左移i 0,二、正弦量的有效值 为了确切衡量正弦量在一个周期内的值的大小，引用了有效值的 概念。1、定义：在一电阻R上分别加正弦电压得电流 i(加直流电压得电流 I),当经过正弦量的一个周期 T 后，使两种情况下发出的热量相等，这时，我们称这个直流电流 I 是正弦交流电流的有效值。2、有效值的数学表达式：,同理，如果正弦量是电压或电动势，最大值和有效值仍满足以上关系。,三

5、、相位差 1、相位差的概念：两个同频正弦量相位之差。如两个同频率的正弦分别为：u=Um sin(t+1)i=Im sin(t+2)则相位差用 表示：=(t+1)(t+2)=1 2 可见相位差与记时起点无关。,1 0,2 0,|1|2|，0,0,i,t,i,u,u,1,2,2、相位差的取值与两同频正弦量之间的关系=1-2 0,u 超前 i 或 i 落后 u；(上图中可见)=1-2 0,u 落后 i 或 i 超前 u；=1-2=0,u、i 同相位（同相）；=1-2=/2,u、i 相位正交；=1-2=,u、i 反相。,0,i,t,i,u,u,1,2,1 0,2 0,|1|2|，0,0,i,t,i,u

6、,u,1=0,2=0,=0,0,i,t,i,u,u,1=/2,2=0,=/2,1,2,从以上波形可见，相位差的取值范围是|。3、注意：不同频率的两个正弦量之间的相位差不在是一个常数，而是随时间的变化而变化了。（在此不讨论）,0,i,t,i,u,u,1=0,2=,=,2,10 2 复数复习 我们将介绍一种分析正弦电流电路稳态响应的重要方法相量法。由于相量法要涉及到复数的运算，所以，在相量法以前，先扼要地复习一下复数的运算。一、复数的几种表示形式：设有一复数 F 1、复数的代数形式：F=a+j b 式中：a为实部，b为虚部，。,2、复数的三角形式：F=|F|cos+j|F|sin=|F|(cos+

7、j sin）,F,+j,+1,复数表示在复平面上,0,a,b,二、复数的运算 设两个复数分别为：F1=a1+j b1,F2=a2+j b2=|F1|e j1=|F2|e j2=|F1|1=|F2|2 1、F1F2 F1 F2=(a1+j b1)（a2+j b2）=(a1 a2）+j（b1 b2）2、F1 F2 F1F2=(a1+j b1)(a2+j b2)=(a1a2 b1b2)+j(a1 b2+b1a2)F1F2=|F1|e j1.|F2|e j2=|F1|F2|e j(1+2)F1F2=|F1|1|F2|2=|F1|F2|(1+2),4、F*是 F 的共轭复数 如果 F=a+j b 则 F

8、*=aj b F.F*=a2+b2 F+F*=2a FF*=2 jb 5、F=0,必有 a=0,b=0,|F|=0,而辐角不确定。6、两个复数相等，必有：实部=实部，虚部=虚部 如果 F1=F2 则 a1=a2,b1=b2。三、复数加、减、乘、除的几何意义1、加、减 用平行四边形法则：,0,+j,+1,F1,F2,F1+F2,F1+F2,2、乘、除,0,1,1+2,+j,F2,+1,2,F1,|F1|F2|,F1F2,F1F2,0,1,12,+j,F2,+1,2,F1,|F1|/|F2|,F1/F2,F1F2,0,+j,+1,F1,F2,F1 F2=F1+(-F2),F1 F2,-F2,3、旋

9、转因子（1）、如果一个复数 A=|A|e ja 与复数 B=1 e j=1 则：AB=|A|e ja e j=|A|e j（a+）相乘后得新的复数相当于将A的模不变，而只旋转角，所以 e j 称为旋转因子。且 0 时,A 逆时针旋转；0,A 顺时针旋转；当=/2 时，e j/2=j 当=/2 时，e j/2=j 当=时，ej=1 所以j,1 均为旋转因子。（2）、复数 A j 及 A 1 的几何意义,A,jA,jA相当于A逆时针旋转90,+1,+j,0,jA相当于A顺时针旋转90,+j,A,jA,+1,0,+j,A,A,+1,0,A相当于A旋转180,例101 已知：F1=3j4，F2=101

10、35 求：F1+F2，F1/F2 解：,如果，认为 是已知的，则正弦量的三要素就剩下两个了。现 在规定：正弦量的有效值 I 为复数的模。正弦量的初相位 i 为复数的幅角。则表示正弦量的复数为：,103 正弦量的相量表示 前面介绍了正弦量的两种表示法：三角函数、正弦波形。它们彼此对应。下面介绍正弦量的复数表示法和 正弦量的旋转相量表示法即正弦量的相量表示法。1、正弦量的复数表示法 一个正弦量可以用一个复数来表示，具体的表示方法如下：设一个正弦量为：,就是正弦量的相量,总之，正弦量与相量是一一对应的，每一个相量只表示一个正弦量，为了将相量与一般的复数相区别，在此用大写U、I 上加小圆点即,例如：有

11、一个正弦量,来表示。,(1)、定义：在复平面上用一个在空间随时间旋转的有向线段来表示正弦量叫做正弦量的旋转相量表示法。(2)、原理与方法 1 规定有向线段的长=正弦量的最大值（有效值）Im（I）,2、正弦量用旋转相量表示 以,或有一个相量,则其相量为,则其正弦量为,t=0 时有向线段与横轴的夹角=正弦量的初相位 i 有向线段逆时针旋转的角度=正弦量的角频率 2 结果：在任一瞬间有向线段与横轴的夹角=正弦量的相位角 在任一瞬间有向线段在纵轴上的投影=正弦量的瞬时值 i,+j,+1,0,0,t,i,t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7,t8,t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7,(3)、相

12、量图 1 定义：旋转相量在复平面上 t=0 时的图形称为相量图。且一般用有效值来表示长度。记作：。,2 注意：、因为在正弦稳态电路中研究的正弦量都是同频的正弦量，所以 不标出。、相量只表示正弦量，它是时间的函数，虽然有大、小，有方向，且不是矢量。,二、正弦量的各种数学运算可用对应的相量来进行：1、同频率正弦量的代数和仍为一同频率的正弦量：,。3、正弦量的积分。,的相量的模是原相量的 倍，初相位超前原相量 90。,可见：正弦量的一阶导数仍为一个同频的正弦量，其相量等于原正弦量的相量乘以 j,即：表示,对 i 的高阶导数,，其相量为,其相量等于原正弦量的相量除以 j，其模为 I/，其幅角滞后/2。

13、对 i 的 n 重积分的相量为。,例102 已知：两个正弦电流分别为,求：（1）、i1+i2；（2）、di1/dt；（3）、,解：（1）、,（2）、设 di1/dt 的相量为,由前面的结果可得：,（3）、设,的相量为,由前面的结果可得：,一、电阻 R 的 电压、电流的相量形式,0,+j,+1,u,i,电路模型：,时域形式,VCR关系：,相量形式(频率域),电压 与电流的相量图：,可见，电阻中的正弦电压和电流是同 相位的。,104 电路元件 R、L、C 的电压、电流关系及相量形式,二、电感 L 的电压与电流关系及相量形式：,0,u,i,+j,+1,时域形式,相量形式(频率域),电路模型：,VCR

14、关系：,电压与电流的相量图：,可见，电压超前电流 90，且 当=0 时，L=0，此时电感 相当于短路。,三、电容 C 的电压、电流及相量形式：,0,u,i,+j,+1,时域形式,相量形式(频率域),电路模型：,VCR关系：,电压与电流的相量图：,可见，电压滞后电流90，且 当=0 时，1/C，此时 电容相当于开路。,四、线性受控源的相量形式：时域形式 相量形式(频率域),VCVS,VCCS,CCVS,CCCS,105 电路定律的相量形式一、基尔霍夫定律的相量形式 时域形式 KCL i=0 KVL u=0,相量形式(频率域),106 电路的相量图一、定义：在分析正弦电流电路时，除了计算以外,往往

15、还将相关的电压、电流相量画在同一个复平面中组成电路的相量图。（可反映每个相量的模与相位，还可用几何图形来表示几个相量之间的关系。）,例 10 3 已知一电路的时域如图所示，（1）、画出此电路的相量模型；（2）、定性画出此电路中各元件电压、电流的相量图。,二、具体画出电路相量图的方法：1、在画串联电路的相量图时，一般可取其电流相量作为参考相量，(参考相量的初相可取为00也可以取其它值），从而确定各元件的 电压相量，表达KVL的各电压相量可按向量求和的方法做出。2、在画并联电路的相量图时，一般可取电压为参考相量，从而确定各元件的电流相量，表达KCL的各电流相量可按向量求和的方法做出。3、通常在做电

16、路的相量图时可以不画出实轴与虚轴。,解:(1)、首先画出与原电路所对应的相量形式表示的电路图。各电压、电流用相量表示，电路元件用其相量形式的模型则有：,(2)、选,为参考相量（设他的初相位为零）。,例104如图所示电路中，已知：IS=5A,角频率=103 red/S，R=3,L=1H,C=1F。求：电压 uad 和 ubd；。,R,解：首先画出与原电路所对应的相量形式表示的电路图。,设电路的电流相量为参考相量：,由元件的VCR 得：,根据 KVL 得：,所以：,例105 已知：如图所示电路中的仪表为交流电流表，其仪表所指示的读数为电流的有效值，其中电流表 A1 的读数为 5A，电流表 A2 的

17、读数为 20A,电流表 A 的读数为 25A。求：电流表 A 和 A4 的读数。,解：图中各交流电表的读数就是仪表所在支路的电流相量的模(有效值)。显然，如果选择并联支路的电压相量为参考相量，即令：,则根据元件的VCR就能很方便地确定这些并联支路中电流得初相。他们分别为：,根据KCL，有：,表 A：7 07 A；表 A4：5 A,所求电流表的读数为：,10 7 复阻抗和复导纳一、定义：对于一个无源一端口网络 P（内含R、L、C），端 口上加正弦激励时，其响应也将是同频率的正弦量。且端 口的电压相量与电流相量之比称为该一端口的复阻抗（阻抗）。记作：Z；端口的电流相量与电压相量之比称为该一端口复导

18、纳（导纳），记作：Y。,二、表达式及表示符号：,1、复阻抗 如果：,则复阻抗：,R、X、|Z|三者之间的关系可用一个直角三角形表示，这个三角形叫作阻抗三角形。,2、复导纳,G、B、|Y|三者的关系可用一个三角形来表示，此三角形叫作导纳三角形。,3、复阻抗与复导纳的关系 Z Y=1即有：|Z|Y|=1，Z+Y=0用代数式表示有：,4、关于元件R、L、C的复阻抗和复导纳 当无源一端口网络 P 内部仅含单个元件 R、L、C，则对应的复阻抗和复导纳分别为：(1)、R 的复阻抗及复导纳根据定义及 R 的相量形式可得：,(2)、L 的复阻抗及复导纳根据定义及 L 的相量形式可得：,(3)、C 的复阻抗及复

19、导纳根据定义及 C 的相量形式可得：,5、R、L、C串联和并联的复阻抗和复导纳 当无源一端口网络 P 内部为 R、L、C 串联或并联电路时，对应的复阻抗和复导纳分别为：(1)、R、L、C串联的复阻抗及复导纳,1 Z,2、Y,Y,2、Z,6、注意：（1）、Z、Y、R、X、G、B、XC、XL、BC、BL 均是 的函数。（2）、在此处定义的复阻抗又称为一端口P 的等效复阻抗，入端复阻 抗或驱动点复阻抗。（3）、当一端口P 中含有受控源时，可能会出现：,当一端口 P中仅含有R、L、C 时，一定有：,例 106 已知：R、L、C串联电路，如图所示，R=15，L=12mH，C=5F，,求：,可见，本例中

20、UL US，UC US。如果本例的电源频率可变，则等效复阻抗 Zeq(j)会不会变为容性复阻抗或电阻性复阻抗？,会！,O,90,-53.13,108 复阻抗(复导纳)的串联和并联一、n 个 复阻抗串联的等效复阻抗,Zeq,1、等效复阻抗的计算：,Zeq=Z1+Z2+Z3+Zn,2、各复阻抗的电压分配：,二、n 个复导纳并联的等效复导纳,1、等效复导纳的计算：Yeq=Y1+Y2+Y3+Yn 2、各复导纳的电流分配：,1、等效复阻抗的计算,2、分流公式,三、两个复阻抗并联的等效复阻抗,例107 在如图所示电路中,已知：R1=10，R2=1000,L=0.5H,C=10 F,Us=100V,=314

21、 rad/s 求：,解：,电路的相量图有：先选,为参考相量。再将各相量画出。,的电流相量组成三角形。,描述,的电压相量组成封闭的多边形。,从图中看出,描述,20.030,0,二、分析方法：用相量法来分析正弦稳态电路。1、将已知的正弦电流电路中的正弦电量用相量表示、，,10 9 正弦稳态电路的分析 一、分析思想：,电路用相量形式表示,转换,时域电路,列、解 三角方程,时域响应 i、u,频域电路,列、解相量形式的代数方程,响应的相量形式,负载用阻抗或导纳表示 Z、Y。2、在频率域中，应用 KCL、KVL、VCR、戴维宁定理、叠加定理、解出响应的相量。3、将相量表示成为正弦函数的瞬时表达式。4、进行

22、相量分析 在相量图中，从而达到分析电路的目的,例 10 8 已知：在如图所示电路中的独立电源全部是同频正弦量。求：列写该电路的节点电压方程和回路电流方程。,解：列写节点电压方程为：,列写回路电流方程：,例109 已知：电路中的独立电源均为同频正弦量 求：列写该电路的节点电压方程和回路电流方程。,解：以节点为参考点,列节点电压方程,对节点：,对节点：,对节点：,补充方程：,列回路电流方程：设受控电流源两端的电压为,对回路1：,对回路2：,对回路3：,补充方程：,例1010 已知：电路如图所示 求：一端口的戴维宁等效电路,1,Z4,解：先求开路电压,解得：,又由节点电压方程：,再求等效复阻抗 由加

23、压求流法可有：,得戴维宁等效电路：,例1011在如图所示电路中 已知：Us=380 V,f=50 Hz,当 C=80.95 F 时交流电流A的读数最小,其值为 2.59A。求：交流电流表 A1 的读数，及 R1、L1 的值。,0,a,解：首先画出电路的相量图进行分析。,设,为参考相量，在相量图中可见：,当 C 变化时,不变(因为,)。,大小改变，方向不变，其顶端沿图中虚线变 化(因为,)。,随,的变化而变化(因为,)。,结论：当 到达 a 点时 为最小，此时 A1 的读数为，,又，此时有：,1010 正弦稳态电路的功率 一、瞬时功率：1、定义：输入任何一端口 P 的瞬时功率 p 等于端口的瞬时

24、电压和瞬时电流乘积。,2、表达式：p=u i,0,t,u、i、p,u,i,P=UIcos,t1,t2,t3,t4,p,一端口吸收能量,一端口发出能量,一端口吸收能量,一端口发出能量,一般情况下 0,3、说明：（1）功率因数：上式中=cos 称为功率因数。（2）平均功率即有功功率代表一端口实际消耗的功率。（3）平均功率即有功功率的单位是：W（瓦特）。,三、无功功率Q 为了衡量负载与电源交换的规模，引出了无功功率 1、定义：Q=UI sin sin 0 时，认为一端口吸收无功功率，储存能量 sin 0 时，认为一端口放出无功功率，放出能量 即无功功率反映内部与外部往返交换交换能量的情况。(它并不表

25、示单位时间做的功）2、单位：var(乏）四、视在功率 S 1、定义：S=UI 2、说明：（1）、许多电器设备的容量是由额定电压和额定电流的乘积 即视在功率。（2）、单位：VA（伏安）,五、一端口内部分别为 R、L、C 时功率的情况 1、R=u i=0(1)、瞬时功率：p=UI-UI cos(2t)(2)、平均功率：PR=UI cos=UI=RI=GU 0,表示电阻总 是消耗能量，也就是说，电阻是耗能元件。(3)、无功功率：QR=UI sin=0 2、L=u i=/2(1)、瞬时功率：p=-UI cos(2t+)(2)、平均功率：PL=UI cos=0,表示电感不消耗能量。(3)、无功功率：QL

26、=UI sin=UI=LI=U/L，表示电感 与电源之间有能量交换，且交换的规模为 QL。,3、C=u i=/2(1)、瞬时功率：p=-UI cos(2t+)(2)、平均功率：PC=UI cos=0,表示电容不消耗能量。(3)、无功功率：QC=UI sin=UI=1/C I=C U，表示电容与电源之间有能量交换，且交换的规模为 QC。六、一端口内部为 R L C 串联时功率的情况,Q 0：一端口吸收电源的无功功率，且储存能量。Q 0：一端口向电源发出无功功率，且放出能量。Q=0：一端口与电源无能量交换。,例 10 12 在测量电感线圈参数R、L的实验电路中,2、无功功率：,1、有功功率：,求：

27、,已知：,811 复 功 率一、定义：如果一端口的电压为，电流为，复功率 为电压和电流的共轭复数的乘积。二、表达式：,四、电压和电流的有功分量和无功分量 当一端口 P 内不含有独立电源时,可以用等效复阻抗 Z(或等效复导纳 Y)表示。1、P 等效为复阻抗 Z 时：,设 Z=Re+jXe,可由上式得相量图：,所以，称为 的有功分量，称为 的无功分量。,又因为,2、P 等效为复导纳 Y 时：,设 Y=Ge+j Be,可由上式得相量图：,所以，称为 的有功分量，称为 的无功分量。,又因为,五、功率平衡定理（功率守恒）1、功率平衡定理：在正弦稳态电路中，所有各支路吸收的复功率之和为零。2、功率平衡定理

28、的数学表达式设电路共有b条支路，第 k 条支路的电压、电流相量分别为,则复功率功率平衡定理可表示为：,3、功率平衡定理说明了：（1）、在正弦稳态电路中，所有支路的有功功率之和为零。（2）、在正弦稳态电路中，所有支路的无功功率之和为零。4、特别注意：视在功率不守恒。,例10 13 在如图所示电路中 已知：,解：,求：线圈吸收的复功率。,六、功率因数及功率因数的提高,1、功率因数的定义：=cos 2、cos 的产生：是由于感性负载的存在。(在实际中一般都是感性负载）3、为什么要提高cos:从以下两个方面解释（1）、从负载的角度来看 S=UI，P=UI cos，Q=UI sin 三者满足直角三角形的

29、关系。,如果，我们认为 S=UI 不变。那么，cos，P，Q,可见，cos 的值，直接影响着负载上的功率分配的大、小。而我们希望有功功率 P 大一些，无功功率Q小一些。所以，要提高功率因数 cos。,cos，P，Q,（2）、从电源的角度来看 电源向负载供电时，在线路上的损耗,可见，cos 与 P线路 成反比：cos，P线路。cos，P线路。我们希望要提高功率因数 cos。4、采取什么办法来提高功率因数 cos：在感性负载两端并联电容C，且必须选择大、小合适的C。下通过例题说明。,例10 14 在如图所示电路中 已知：U=380V，f=50 Hz，P1=20 Kw，1=0.6 求：若要使电路的功

30、率因数提高到=0.9 时，C=?,1,0,解：由电路图可见，并联 C 前、后,均不变。如果选,作为参考相量，则有相量图如下。,可见，C 越大 越小，cos 越大，但 C 过大，会超前 使感性负载成为容性负载，这样也不行，所以要通过计算来选择 一个合适的电容 C。由相量图可有：,1011 最大功率传输定理 在讨论直流电路时，我们讲过，当负载电阻 RL=Ri(电源内阻）时，负载从电源获得的功率最大，这是从负载的角度来讨论的。如果从电源的角度来说，也可以说电源传输给负载的功率最大，所以，这类问题就叫做最大功率传输问题。也叫做功率匹配。,在正弦稳态电路中，往往也需要研究最大功率传输的问题，也就是说，也

31、需要研究负载在什么条件下获得最大功率。最大功率传输定理告诉了我们。,一、最大功率传输定理 在正弦稳态电路中，电压源为Us其内阻抗为Zi 当复载阻抗为ZL,，负载吸收的平均功率为最大。,二、对最大功率传输定理进行说明,1,例 10 15 如图所示电路中；已知：,求：最佳匹配时获得的最大功率。,解：首先将负载以左的有源二端网络进行代维宁等效。,得戴维宁等效电路：,从电阻电路中，我们知道，RL=R i 时，负载获得功率最大，可见功率匹配时，传输的郊率并不高，50 消耗在 R i上，在交流电路中也是如此，所以在实际中，一般在电子电路中（即弱电电路中，才考虑最大功率问题，因为在电子电路中，传输的功率都较小，这样郊率问题就不太重要了。而在强电电路中一般不提功率匹配的问题。,