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1、3.9 定积分的应用,项目9 定积分的应用,任务9-1：微元法,我们知道：,3.9.1 定积分的微元法,其面积为：,以a,b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以a,b为积分区间的定积分:,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,曲边梯形的面积,3.9.2.1.平面图形的面积,3.9.2 定积分在几何上的应用,1）求由上下两条曲线 y=f上(x)与 y=f下(x)及左右两条直线 x=a、x=b所围成平面图形的面积A.,取横坐标x为积分变量，在区间a,b上任取一子区间x,x+dx，在其上的小曲边梯形可近似看成高为y，底为dx的小矩形，则面积元素为,任务9-2：定积分
2、在几何上的应用,曲边梯形的面积,取纵坐标y为积分变量，在区间c,d上任取一子区间y,y+dy，在其上的小曲边梯形可近似看成宽为x，高为dy的小矩形，则面积元素为,2）求由左右两条曲线 与 及上下两条直线 y=c、y=d所围成平面图形的面积A.,解(1)画图取x为积分变量,(3)求面积元素：,案例3.66 计算曲线 和直线 x=1及x轴所围成平面图形的面积A,(2)确定积分区间:0,1,(4)计算积分：,(4)求面积元素：,得积分区间,解方程组,解(1)画图取x为积分变量,(2)确定积分区间:,(3)确定上下曲线:,(5)计算积分：,解(1)画图，取y为积分变量.,解方程组,得积分区间,(2)确
3、定积分区间:,(3)确定左右曲线:,(4)求面积元素：,(5)计算积分：,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,3.9.2.2 旋转体的体积,旋转体的体积为,解(1)画图，确定积分区间:,案例3.69 计算由直线、直线x=h及x轴围成的直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体体积,(2)求体积元素：,(3)计算积分：所求圆锥体的体积为,解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.,(1)画图，确定积分区间:,(2)求体积元素：,(3)计算积分：所求椭球体的体积为,特殊地，当 时，得球体的体积公式：,解,体积元
4、素,选 y 为积分变量,两曲线的交点,3.9.3.1 变力作功,3.9.3 定积分在物理上的应用,任务9-3：定积分在物理上的应用,案例3.73 已知弹簧每拉长0.02m要用9.8N的力，求把弹簧拉长0.1m所作的功.,解 由胡克定律，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F和弹簧的伸长量（或压缩量）成正比，即,其中k为比案例系数,由题设x=0.02m时，F=9.8N，所以k=490，则F=490 x.,(1)建立坐标系如图.取伸长量x为积分变量,(2)确定积分区间:,(3)求功元素:,(4)计算积分：所求的功为,=2.45(J),解,(1)建立坐标系如图,(2)确定积分区间:,(3)求功元
5、素：,这一薄层水的重力为,功元素为,(J),(4)计算积分：所求的功为,3.8.3.2 液体的压力,解 挡板的一个端面是圆，与水接触的是下半圆.,(1)建立坐标系如图,(2)确定积分区间：,(3)求压力元素：,(4)计算积分：所求压力为,(N),案例3.76 一水库闸门呈倒置的等腰梯形垂直地位于水中，两底的长度分别为4m和6m，高为6m，当闸门上底正好位于水面时，求闸门一侧受到的水压力（水密度为10 3 kg/m 3）.,(3)压力元素为 dP=gx2ydx,(2)确定积分区间：x0，6,(4)计算积分：所求压力为,3.9.4 定积分在经济中的应用,由于总函数（如总成本、总收益、总利润等）的导
6、数就是边际函数（边际成本、边际收益、边际利润等），当已知初始条件时，可用定积分求出总函数.,3.9.4.1 由边际函数求总函数,任务9-4：定积分在经济中的应用,案例3.72 设某产品在时刻t总产量的变化率为f(t)=100+12t-0.6t2(单位/小时)，求从t=2到t=4这两小时的总产量.,解 因为总产量P(t)是它的变化率的原函数,所以从t=2到t=4这两小时的总产量为,=260.8(单位),案例3.73 已知某产品的边际成本函数为 固定成本为1000元，求总成本函数.,解,案例3.74 已知生产某商品x单位时,边际收益函数为(元/单位)，试求生产x单位时总收益以及平均收益.并求生产这
7、种商品2000单位时的总收益和平均收益.,解 因为总收益是边际收益函数在0,x上的定积分,所以生产x单位时总收益为,则平均单位收益,当生产2000单位时,总收益为 R(2000)=360000(元),平均单位收益为,按照需求-供给模型，随着商品数量的增加，消费者愿意支付的价格是下降的.在需求与供给的均衡点,当市场上产品的数量为q*，则市场价格为p*=pd(q*).市场机制使得消费者以总费用R=p*q*得到q*单位商品.,设想q*单位商品不是一个单位一个单位地投放市场.对第一个单位商品，消费者愿意出价pd(1)；这样，购买该单位商品总费用是pd(1)；对第二个单位商品，消费者愿意出价pd(2)；
8、这样，购买该单位商品总费用是pd(2)；按照这种思路，消费者愿意出价pd(i)购买第i单位商品.所以，消费者实际上是以,pd(1)+pd(2)+pd(q*),购得这q*单位商品的.这中间有个差额：,在经济学中被称为消费者剩余，如图所示.,3.9.4.2 由供需函数求消费者剩余,如果商品单位数很大，需求曲线p=pd(q)下的面积A就是消费者原本应该支付的费用：,就是消费者剩余.“剩余”实际上是表示“我们得到的大于我们所支付的代价”，或者说，消费者剩余代表了消费者得到的、超过他们为商品支付的代价的额外效用.而“效用”这个概念，在经济学上表示消费者从某种商品中所得到的有用性质或满足的量.这种额外的好处根源于边际效用递减规律.,而量,案例3.75 假设某种商品的需求集和供给集分别是,通过求解这两个集的交，可以得到均衡价格p*=12和均衡量q*=200.在这种情况下，需求反函数为,消费者剩余为,案例3.76 如果某种商品的需求函数和供给函数分别是,试计算消费者剩余CS.,解 可以看出：需求反函数为,均衡量q*满足方程,解得q*=10，因此均衡价格p*=21.消费者剩余,
