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1、第 四 章 平面任意力系,山西农业大学工学院,第 4 章 平面任意力系,平面任意力系是指位于同一平面内的诸力其作用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系，简称平面力系。,前 言,工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面任意力系来处理。,图示的屋架，它所承受的恒载、风载以及支座约束力所组成的力系，在一定条件下，可简化为平面任意力系。,图示的起重机简图，配重、荷载、自重、及支座约束力所组成的力系，在一定条件下，可视为一个平面任意力系。,4-1 力线平移定理,证明如下图所示：,定理：作用在刚体上A点的力，可以平行移动到刚体上任意一点B，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于作用在A点的原来的力 对平移点
2、B之矩，而,可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换。,如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心（球的质心），则球将移动而不旋转；但若力的作用线与球相切“削球”，则球将产生移动和转动。,思考题 4-1,用力线平移定理将图(a)、(b)中各主动力分别平移到轮心，由此说明两个图中的力对轮子的外效应有何不同？,4-2 平面任意力系向一点简化,应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上的某一点O（称为简化中心）平移，再将所得的平面汇交力系和平面力偶系分别合成。,设在某一刚体上
3、作用着平面任意力系,如图所示。显然像平面汇交力系那样，用力的平行四边形法则来合成它很困难。,(4-1),由此可见，主矢与简化中心的位置无关。,(4-2),由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它反映了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情况，称为原力系对O点的主矩。,事实上，可直接用原力系 的各力作出力多边形，力多边形的封闭边称为原力系的主矢。的大小和方向等于主矢，作用点在O点。,此时主矩与简化中心的位置无关。,1.若 力系简化为合力偶,平面任意力系的三种简化结果：,就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。,力系简化 为一个力,力系简化为一个合力，但合力的作用线不通过简化中心。,3.力系
4、平衡,合力矩定理 平面任意力系如果有合力，则合力对该力系作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的代数和。,如下图所示，显然有,证明：,一平面力系向A、B两点简化的结果相同，且主矢和主矩都不为零，问是否可能？,答：合力与两点连线平行时可能。,思考题 4-1,在什么情况下，一平面力系向任一点A简化所得的主矩为零？,思考题 4-2,答：合力过A点或合力为零。,有一平面任意力系向某一点简化得到一合力，问能否另选适当的简化中心而使该力系简化为一力偶？为什么？,思考题 4-3,答：不能，因力偶不能与另一个力等效。,4-3 分布荷载,集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比很小，
5、可以认为集中作用在一点上。,例如，铁轨给轮子的力等。,几种分布荷载：体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。例如，构件的自重等。面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风压力、雪压力等。线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。,平面固定端约束,(2)体分布荷载的单位：N/m3，(3)面分布荷载的单位：N/m2，(4)线分布荷载的单位：N/m。,1.荷载的单位(1)集中荷载的单位，即力的单位(N，kN)。分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。,其作用线通过梁的中点。,2.分布荷载的计算方法(1)均布荷载：集度为常数的分布荷载。例如图中的均布荷载的合力为：,如坝体所受的水压力等。
6、,(2)非均布荷载：荷载集度不是常数。,求图示梁上线性分布荷载的合力。,解：取坐标系如图所示。在x处取一微段，其集度为,微段上的荷载为：,以A为简化中心，有,例题 4-1,由此可见，分布荷载合力的大小等于荷载集度图的面积。合力作用线的位置为：,例题 4-1,已知水坝的坝前水深 h=10 m，求1 m长的坝面上水压力的合力之大小和作用线的位置。,例题 4-2,解：在深度为y 处，水的压强,取1 m 长的坝体考虑时，作用于坝面的水压力可以简化为沿坝面中心线平行分布的线荷载。,例题 4-2,(rg=9.81kN/m3,r为水的密度，g为重力加速度。),该分布荷载是呈三角形分布的，其合力大小为三角形的
7、面积，作用线在距底边2/3高度处。,例题 4-2,4-4 平面任意力系的平衡条件,平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零。,平面任意力系的平衡方程为：,3个独立的方程，可以求解3个未知量。,图示一悬臂式起重机简图，A、B、C 处均为光滑铰链。均质水平梁AB自重 P=4 kN，荷载 F=10 kN，有关尺寸如图所示，BC 杆自重不计。求 BC 杆所受的拉力和铰链A给梁的约束力。,例题 4-3,解：(1)取 AB梁为研究对象。,独立的平衡方程数也是三个。,(3)列平衡方程，选坐标。,例题 4-3,未知量三个：,(2)画受力图。,由(3)解得,FAx=16.5 kN,F
8、Ay=4.5 kN。,例题 4-3,以 之值代入式(1)、(2)，可得：,即铰链A的约束力及与x轴正向的夹角为：,思考题 4-4,例题 4-3,如果例题4-3中的荷载 可以沿AB梁移动，问：荷载 在什么位置时杆BC所受的拉力（）最大？其值为多少？,(1)由右图所示的受力图，试按,思考题 4-5,(2)由右图所示的受力图，试按,看可否求出；,看可否求出；,(3)由右图所示的受力图，试按,思考题 4-5,看可否求出。,平面任意力系平衡方程的其他形式：,1.二矩式,注意：A、B两点连线不垂直于x 轴。,2.三矩式,注意：A、B、C 三点不在一条线上。,由下图所示的受力图，可否列出下列四个独立的平衡方
9、程？,为什么其中必有一个是从属的？,思考题 4-6,图示简支梁AB。梁的自重及各处摩擦均不计。试求 A和B 处的支座约束力。,解：(1)选AB梁为研究对象。(2)画受力图如图所示。(3)取坐标如图。,例题 4-4,(4)列平衡方程,解得,例题 4-4,在例4-4中，试以下列三个方程求解，看会有什么问题，并说明原因。,思考题 4-7,4-5 平面平行力系的平衡条件,平面平行力系：各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。图示一受平面平行力系作用的物体，如选x轴与各力作用线垂直，显然有：,平面平行力系的平衡条件为：,即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为
10、零。,平面平行力系平衡方程的二矩式,注意：A、B 两点的连线不能与各力的作用线平行。,图示的连续梁，约束力有哪几个？求解约束力时有几个独立的未知量？能够列几个独立的平衡方程？,思考题 4-8,静定和超静定的概念：,静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就能解出全部未知量。,超静定或静不定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学方法就不能解出所有的未知量。,在超静定问题中，物体的变形是必须加以考虑的。,注意：判断问题是否静定，不能单纯从未知量的数目来考虑，还应对问题多作具体分析。,分析图中的梁可知，虽然平衡方程数等于未知量数，实际上它不能平衡。在设计时必须注意使结构保持稳固，其位置和几何形状不能改变。,平面汇交力系的平衡方程可否用一个投影式、一个力矩式？或两个都用力矩式？如果可以用，有什么限制条件？为什么要附加这种条件？,思考题 4-9,平面任意力系的平衡方程能否用三个投影式？为什么？,思考题 4-10,平面平行力系的平衡方程能否用两个投影式？为什么？,？,思考题 4-11,平面力偶系的平衡方程能否用投影式？为什么？,M=M1+M2+Mn=0，或 M=S Mi=0,思考题 4-13,第4章结束,
