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1、1,第四章 函数极限通论,郇中丹2006-2007学年第一学期,2,基本内容,1 数值函数极限的统一形式2 函数沿基极限的性质3 函数沿基极限存在的条件,3,1.数值函数极限的统一形式,一元函数极限的基本形式集合基函数沿基收敛函数沿基的无穷极限,4,一元函数极限的基本形式,微积分研究的基本对象是.基本工具是极限.而一元数值函数(m=n=1)是其中的最简单和最基本情形.在微积分中,A一般是区间.一元函数的极限分成下面的六类:在一点的极限、在一点的左极限、在一点的右极限、在处的极限、在+处的极限、在-处的极限.x0相对于A的空心邻域=xA|0|x-x|d.,5,集合基,集合基:设A是非空集合.A的
2、子集族B叫作A的一个(集合)基,如果B满足如下两条性质:B包含无限多个A的非空子集,的元素叫作终端；b1,b2B,b3B,b3b1b2.集合基的例子:1.A=N,B=b=nN|nk|kN;2.A=I,x0I,B=b=xA|00;3.A=I,x0I,B=b=xA|00;4.A=R,B=b=(c,+)|c0.,6,函数沿基收敛,设:AR,B是A的一个基,lR.沿B收敛到极限l,如果e0,bB,xb,|(x)-l|e.记做(x)l(沿基B)或例子:1.数列极限,常用记号;数列基.2.函数在一点的极限,常用记号;双侧基.3.函数在一点的左极限,常用记号;左侧基.4.函数在一点的右极限,常用记号;右侧基
3、.5.函数在+处的极限,常用记号;+侧基.6.函数在处的极限,常用记号.基.,7,函数沿基的无穷极限,设:AR,B是A的一个基,lR.沿基B有极限+,如果c0,bB,xb,(x)c.记做(x)+(沿基B)或类似地可以给出极限为,或-的定义.在下面的讨论中,如果没有特殊申明,一般讨论所说的极限都是有限极限.,8,习题八(I),1.写出下列极限的定义和相应的基:2.验证下列极限,9,习题八(II),3.证明:数列基,双侧基,左侧基,右侧基,+侧基,-侧基和基都具有如下性质:存在可数多个终端bn满足(1)若mn,bnbm;(2)对于任何终端b,n,bnb.sn(x)A A若bR,10,2 函数沿基极
4、限的性质,函数的有界性与无穷小量极限基本性质,11,函数的有界性与无穷小量,函数的有界性:设:AR,DA.如果存在c0,使得xD,|(x)|c,就说在D上有界.类似地可以定义有上界和有下界.函数的终极有界性:设:AR,B是A的一个基.如果存在bB,使得xb,|(x)|c,就说关于基B终极有界.类似地可以定义终极有上界和终极有下界.无穷小量:若a(x)0(沿基B),就称a是沿基B的无穷小函数或无穷小量.,12,极限基本性质(I),1.惟一性:若函数沿基B的极限存在,则极限是惟一的.2.极限的终极惟一性:设存在bB,使得xb,(x)=g(x).如果(x)l(沿基B),则g(x)l(沿基B).3.终
5、极有界性:若(x)l(沿基B),则关于基B终极有界.,13,极限基本性质(II),4.非零极限的终极保号性:设(x)l(沿基B).若l0,则存在bB,使得xb,(x)l/2.若l0,则存在bB,使得xb,(x)l/2.5.无穷小估计:设a是沿基B的无穷小量,沿基B终极有界.若bB,xb,|b(x)|a(x)(x)|,则b是沿基B的无穷小量.6.极限的算术性质:若(x)l1(沿基B),g(x)l2(沿基B),则(x)+g(x)l1+l2(沿基B),(x)g(x)l1l2(沿基B),(x)/g(x)l1/l2(沿基B)(若l2 0).,14,极限基本性质(III),7.保序性1:设(x)l(沿基B
6、).若bB,xb,(x)c,则 lc.类似地,若bB,xb,(x)c,则Lc.8.保序性2:设(x)l1,g(x)l2(沿基B).若bB,xb,(x)g(x),则 l1l2.9.夹逼性质2:设(x)l,h(x)l(沿基B).若bB,xb,(x)g(x)h(x),则g(x)l(沿基B).,15,习题九(I),1.设和g是定义在区间(a,b)上的函数.给出 中相应的基B和相应的极限定义.证明:如果g(x)l 0(沿基B),则(x)g(x)+(沿基B).2.计算下列极限:,16,习题九(II),3.计算下列极限:4.设:(0,+)R且对于任何a0,在(0,a)上有界.证明:如果,则,17,3函数沿基
7、极限存在的条件,函数沿基存在极限的Cauchy准则Heine收敛性和常见基Cauchy收敛性和Heine收敛性复合函数的极限定理无穷小函数的阶大O与小o记号,18,函数沿基存在极限的Cauchy准则,Cauchy准则:函数沿基B有极限,当且仅当e0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|0,则bB,使得xb,|(x)-l|0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|e.先构造构造出候选极限l,然后证明(x)l.3.构造闭区间套Dn和终端列b(n)使其满足:(1)xb(n),(x)Dn;(2)若nm,b(m)b(n);(3)|Dn|1/n.(先假定已经得到Dn和b(n),19,Cauchy准则证明
8、(续I),4.由闭区间定理,!l Dn.下面证明(x)l(沿基B).任取e0,则存在n使得1/ne.则xb(n),(x)Dn;由lDn,|(x)-l|Dn|1/ne.5.递归构造所需闭区间套Dn和终端列b(n):取e=1,则b(1)B,使得x,yb,|(x)-(y)|1.取定yb(1),则xb(1),|(x)|1+|(y)|.记m(1)=inf(x)|xb(1);M(1)=sup(x)|xb(1).取D1=m(1),M(1).则M(1)-m(1)sup f(x)-inf f(y)=sup f(x)+sup-f(y)=sup(f(x)-f(y)sup|f(x)-f(y)|1.,20,Cauchy
9、准则证明(续II),假设完成闭区间套Dn和终端列b(n)前k个闭区间和前k个终端的构造使得当n,m=1,.,k时,有(1)xb(n),(x)Dn;(2)若nm,b(m)b(n);(3)|Dn|1/n.对于n=k+1,取e=1/(k+1),则bB,使得x,yb,|(x)-(y)|1/(k+1).取b(k+1)=bb(k).m(1)=inf(x)|xb(k+1);M(1)=sup(x)|xb(k+1).取Dk+1=m(1),M(1).则M(k+1)-m(k+1)1/(k+1).不难验证性质(1-3).#,21,Heine收敛性和常见基,Heine收敛性:设:AR.B是A的一个基.如果对于任何A中满
10、足下列条件的序列xn:bB,n0,nn0,xnb,必有数列(xn)收敛,就说沿基B在Heine意义下收敛.常见基:集合A的基B叫作常见的,如果B有一个可数子集C=cn,使得bB,cC,cb.这里要求m,nN,mn,cmcn.例子:数列基,双侧基,左侧基,右侧基,+基,-基和基都是常见基.,22,Cauchy收敛性和Heine收敛性(I),Cauchy收敛性保证Heine收敛性:如果(x)l(沿基B),则沿基B在Heine意义下收敛.证明:假设(x)l(沿基B).任取A中的xn满足:bB,n0,nn0,xnb.对于数列(xn),任取e0,bB,使得x,yb,|(x)-(y)|n0,xnb.因而m
11、,nn0,xm,xnb,所以|(xm)-(xn)|e.因此(xn)收敛.者就得到沿基B在Heine意义下收敛.#,23,Cauchy收敛性和Heine收敛性(II),关于常见基的Heine收敛性保证Cauchy收敛性:设沿常见基B在Heine意义下收敛.则沿基B是Cauchy收敛的.证明:1.反证.假设沿基B不是Cauchy收敛的.则存在e0,使得bB,x,yb满足|(x)-(y)|e.特别nN,xn,yncn满足|(xn)-(yn)|e.2.定义数列zn:当n为偶数时,zn=xn/2;当n为奇数时,zn=y(n+1)/2.则(zn)是发散的.这是由于n N,|(z2n+2)-(z2n+1)|
12、=|(xn+1)-(yn+1)|e.,24,Cauchy收敛性和Heine收敛性(III),3.数列zn满足bB,n0,nn0,znb.这是由于bB,cmb,这样km,ckcmb,因而n2m时,znb.4.所以沿常见基B在Heine意义下不收敛.矛盾.#,25,复合函数的极限性质(I),定理1.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A的一个基.若g(x)l(沿基B),(y)(l)(yl),则(g(x)(l)(沿基B).证明:任取e0,由(y)(l)(yl),存在d0,使得yD,|y-l|d,必有|(y)(l)|e.在由g(x)l(沿基B),存在bB,使得xb,|g(x)-l|d.注意g(x)D,
13、则xb,|(g(x)-(l)|e.所以(g(x)(l)(沿基B).#,26,复合函数的极限性质(II),定理2.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A的一个基.若g(x)l(沿基B),且bB,g(b)D且xb,g(x)l,(y)l(yl),则(g(x)l(沿基B).定理3.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A的一个基.若g(x)+(沿基B),(y)l(y+),则(g(x)l(沿基B).定理2和定理3的证明留作习题。,27,无穷小函数的阶,高阶无穷小:设a(x),b(x),g(x)是沿基B的无穷小函数,并且在基的某个终端上b(x)0.如果成立a(x)=b(x)g(x)就说a(x)是比b(x)高
14、阶的无穷小.等价无穷小:设a(x)和b(x)是沿基B的无穷小函数,如果a(x)-b(x)是比a(x)或b(x)高阶的无穷小,就说a(x)和b(x)是等价无穷小.记作ab.命题:设a(x)和b(x)是沿基B的无穷小函数.当且仅当a(x)/b(x)1(沿基B),或b(x)/a(x)1(沿基B).,28,大O与小o记号,设函数和g是A上的实值函数,B是A的一个基,并且g在基B的某个终端上不取零值.设h=/g.如果h终极有界(沿基B),就说是大Og(沿基B),记作=O(g)或0,使得bB,xb,使得|h(x)|d,就说是W g,记作=W(g);特别若(x)=O(xm)(x0),就说(x)是m阶无穷小(
15、x0).,29,大O与小o记号的例子,1.(x+1)/(x+2)=O(1)(x);2.(sin x)/x=o(1)(x);3.(sin x)/x=O(1/x)(x);4.(sin x)/x=W(1/x)(x);5.x1/2-x x1/2(x 0+);6.x1/2-x-x(x+).sn(x)A A若bR,30,习题十,1.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A的一个基.若g(x)l(沿基B),且bB,g(b)D且xb,g(x)l,(y)l(yl),则(g(x)l(沿基B).2.设g:AR,:DR,g(A)D.B是A的一个基.若g(x)+(沿基B),(y)l(y+),则(g(x)l(沿基B).3.计算下列函数在x+时,下列函数关于无穷小1/x的阶数:,31,sn(x)A A若bR,32,sn(x)A A若bR,
