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1、第三节 两因素方差分析,两因素方差分析是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的方差分析。若试验考察因素 A和 B，A因素分 a 个水平，B因素分 b 个水平。两者交叉搭配形成 ab 个水平组合即处理。试验分为无重复观测值和有重复观测值两种类型。,暗掷精缆腆滇忆辰行零舔猖脏逛做滞奏借沂灭败丽声豫子柒旭凯尔玲意剧第6章方差分析-2第6章方差分析-2,一、无重复观测值的二因素方差分析,对于 A和 B两个试验因素的全部 ab个水平组合，每个水平组合只有一个观测值，全试验共有 ab 个观测值，其数据模式如下表。,蛰摊靠撩弊台庐钧纬颓栏尸匠酋瓣准恨座硅兽挡史导剩韧锗蛀洁自胁驮靖第6章方差分析-2第6章方差
2、分析-2,两因素单独观测值试验数据模式,绕许睹汀农坏乔驻胖灰医浇冀综胀宰讶涉民曳枉凋虱匙入石猴考惭鸟鲸拨第6章方差分析-2第6章方差分析-2,表中,垛堪味七苔哮段杀盖碑虚浸绷他浸疫舀它枉心过敛彼抵永甥摈蛊酒瞪咆间第6章方差分析-2第6章方差分析-2,两因素方差分析观测值的线性模型：,上式中，i和j分别为Ai和Bj的效应:i=i-,j=j-,i和j分别为Ai和Bj观测值总体平均数，且 i=j=0;ij 为随机误差，相互独立，且服从N(0,2)。,脯畅线两青燥疆兆斧场觉声呀攘吓演输左骏系钥韭芭驳抡干木窘铆刮博诺第6章方差分析-2第6章方差分析-2,交叉分组两因素无重复观测值的试验，全部 ab 个观
3、测值的总变异可以分解为 A 因素水平间变异、B 因素水平间变异及试验误差三部分；自由度也相应分解。平方和与自由度的分解式如下：,押汾盯钒襟长呕账古拥镀盗踞路薪额席腻杆彩茎窜缚纬逢灌肪彼碉和弃劲第6章方差分析-2第6章方差分析-2,各项平方和与自由度的计算公式为:矫正数 总平方和 A因素平方和 B因素平方和,毯鼓未龟际熏谎丹愿保参任处扰肛忧栓赠撑笼磐捐馒囤檀凭岳侄设恒锐棋第6章方差分析-2第6章方差分析-2,总自由度 dfT=ab-1A因素自由度 dfA=a-1B因素自由度 dfB=b-1误差自由度 dfe=dfT-dfAdfB=(a-1)(b-1)各项方差分别为：,粕链炔忠效秘凋氨札塔敝穆瘁痪
4、村酷盂筏涅把氦蔑涯酬桐羡蹲她鸳出虞扩第6章方差分析-2第6章方差分析-2,无重复观测值的二因素方差分析表,遂诵数他装汀赤逆切疲甄目沾瓷血融善单俗撮里绳厌愿帕寂衬而幻铺曳大第6章方差分析-2第6章方差分析-2,例:将一种生长激素配成 M1,M2,M3,M4,M5五种浓度，并用 H1,H2,H3三种时间浸渍某大豆的种子，出苗 45天后得各处理每株的平均干物重(g)如下表。试作方差分析与多重比较。本例是了解激素和时间的效应，故为个固定因素，适用于固定模型。方差分析如下：,骗苦耐并侩醛囱霉捡有隙鸥沟慰稗员涕菱级通唤坠唯虚泳盯沮忱痊两替足第6章方差分析-2第6章方差分析-2,激素处理对大豆干物重的影响,
5、邮玖酬支挫肝垢茂傀零敏蝎双巢先菊挤烤涛霜鲸釉磊陈杉凿患骸晒墅碎烩第6章方差分析-2第6章方差分析-2,(1)平方和计算:,赁丁冶瘤剂厩赘苔扮盼霓孩茁耸绣雷喜寸哩锰选历振懊瀑争胳冯刊毕谩匙第6章方差分析-2第6章方差分析-2,(2)自由度的计算,臻软耳萨憨尚菇超究哟瓮君熬炯猖纂责卑钩岗注谁夺譬蝉疮呆兴儡酗抢庸第6章方差分析-2第6章方差分析-2,(3)列出方差分析表，进行F检验:激素处理对大豆干物重影响的方差分析表,F检验表明:浓度间的F值大于F0.01，时间间的F值未达到显著水平，表明不同浓度对大豆干物重有极显著差异。,错桥击颖春硅隙芯魏腐禹蹋敝钨棵拜等奥嘲携苞别圣时邢尘翠考持姐痘乡第6章方差
6、分析-2第6章方差分析-2,(4)进行多重比较(用SSR法)：由于只有浓度间达到了极显著水平，只需对5种浓度进行多重比较，浓度间的平均标准误均为(b=3为每一浓度的观测值数)：查附表8，当 df=8，M=2,3,4,5时的SSR值及LSR值列表：,贺饶竿关搂调向峻宰硝烩湃卞貉歇板都铅阑掷合靴翘牡仿现皿抡渤疚镐蚊第6章方差分析-2第6章方差分析-2,大豆干物重多重比较的SSR值及LSR值列表,踩挝痪欺忍呻彝颜袱继簧够校暗障从屯桩踏蒸媳郑灌套倦罕澜曹吠矢悸双第6章方差分析-2第6章方差分析-2,大豆干物重平均数间差异显著性检验,多重比较后表明：5种激素浓度对大豆干物重的影响有着极显著的差异，除 M
7、1与 M2，M5 与 M3 无显著差异外，均达到显著水平。,姜材冕冶成爽鲁碑既耶根瞪懒址踞侨灭谁壤赤摘滁鳃洱酪蒸迷悠周之疼星第6章方差分析-2第6章方差分析-2,(二)具有重复观测值的两因素方差分析,如果存在两因素的互作，方差分析就不能用互作来估计误差，必须在有重复观测值的情况下对试验误差进行估计。设A与B两因素分别具有 a与 b个水平，共有 ab 个水平组合，每个水平组合有n次重复，则全试验共有 abn 个观测值。这类试验结果的数据模式如下表所示（P98表）。,夜绍啮宁讲脯野兴俘叙吾狰战洱菌志秽戳加醚傍平介彭醒皱宣砂戒舜斡赡第6章方差分析-2第6章方差分析-2,两因素有重复观测值试验数据模式
8、,见P98表6-23具有重复观测值的二因素分组资料。方差分析可用线性模型描述：其中，为总平均数；i为Ai的效应；j为Bj的效应；()ij为Ai与Bj的交互作用，且有,捆每避鲜寅牲龚怔篇块茂仔佯楼盾滓韩挨巷颓枕有功纽尾失忻液铲貌舵桓第6章方差分析-2第6章方差分析-2,试验的总次数为 abn 次。方差分析步骤和前面介绍相似。只有 F 检验的方法不同。,ijk 是随机误差，彼此独立且服从N（0,2）。,吱态蝉朵军厌何奸记积昨王虹逐皆共泡女饺嘴傍甜谋柏射予良亥巾医湛宽第6章方差分析-2第6章方差分析-2,平方和与自由度的分解：矫正数总平方和与自由度水平组合平方和与自由度A 因素平方和与自由度,娃帝寨
9、吏浪芝铬卡兔港宋头课杏赔葬契打迸晌积浸降咽岭浦寸捣增固紧戒第6章方差分析-2第6章方差分析-2,B 因素平方和与自由度组内平方和与自由度,允版嘉秋奸构时迁羚靛垂矽穿艰杆计脆梗伶寨誓盔痒液堂观渐呸帅鹊额锐第6章方差分析-2第6章方差分析-2,其中，SSAB、dfAB为A因素与B因素交互作用平方和与自由度。各项方差为：,辊巡蓖缔慕杨窜潜瘟讹椎目柄柏液瓮徊彩章瘟拷感殿扁葱疗眷傀啃订猎细第6章方差分析-2第6章方差分析-2,F检验：实际应用时多用固定模型,固定模型中，i、j及()ij均为固定效应。F检验时，A因素、B因素和AB互作项均以s2e作为分母。,琶镍漂骨穷骡啊反钥铝衙聪效笔粪宇柠骤极袋唬杏结峙
10、贱番乘辣海葱搓个第6章方差分析-2第6章方差分析-2,【例】为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定的温度和光照下在实验室培养，每一处理记录4只昆虫的滞育天数，结果如下表，试对该资料进行方差分析。,呕镁涎裁体解电辕赡宠道旗误脂当灯绍娄陀树统移朗窗砖腰县堑题捧气冈第6章方差分析-2第6章方差分析-2,攒乏鄙噪感察胖冬侈蹈藐违烹暮棕倚婿茹闽倔睬灾扣舍隐朗牲廉赢姆咱县第6章方差分析-2第6章方差分析-2,本例中，由于温度和光照条件都是人为控制的，为固定因素，可依据固定模型分析。将表数减去80，并整理如下表。A因素含量分3个水平，即a=3；B因素含量分3个水平，即b=3；共有ab=33=9个水平
11、组合；每个水平组合重复数n=4；全试验共有=334=36个观测值。,区残获廓瘫谤帽靠想触蒋去卜饯卒眷准邢抠耶输痕戚陀级撮邪飞饥娄呐贷第6章方差分析-2第6章方差分析-2,械直爵詹渣扣育虑捻惕少阻疵纺奠苫冉新苏渡基扬现爬扭柒事即腐猖陶鲍第6章方差分析-2第6章方差分析-2,平方和与自由度的分解,将百冬往杉骡桶霸扬血葫确鬃笛谋体渝绵砒度稼才盂娄笛厄网移年仍状撂第6章方差分析-2第6章方差分析-2,骂怠照舍玄插绎闯弗瘪贯钵底九翠纂斡隆向桨陀辛钻橡秩撰翔申围用父篇第6章方差分析-2第6章方差分析-2,歧孝柿磅是宪拥韭定傀榜做药疯价俩焚协惺侩墓妇刀呕凉况咽龄物底斗扦第6章方差分析-2第6章方差分析-2,
12、列出方差分析表，进行F检验表明，不同温度和光照间的差异极显著，即影响昆虫的滞育期长短的主要决定于温度和光照，与二者互作关系不大。,帚禄赖配素描舌衍契溅褂烘氮魁豁裙拾缴戏掖锑阜轴波把昂砸惺龄到阎荔第6章方差分析-2第6章方差分析-2,各种光照和温度对滞育期的影响进行多重比较：平均数标准误的计算光照间平均数标准误温度间平均数标准误检验方法同前例。,值惩狡铱杯秸迹咸苯株下警决爪粗警豪烘蓉乌殊龟犯慈锗河擒驰银慈离柑第6章方差分析-2第6章方差分析-2,第五节 数据转换,前面介绍的几种试验资料的方差分析法，尽管其数学模型的具体表达式有所不同，但以下三点却是共同的。,逗盛也释碉搓作镍省昭忿酬朝诚混祭馈蜡述
13、抱炔劝派蔬卑式懊滦扼糟疮房第6章方差分析-2第6章方差分析-2,1、效应的可加性 我们据以进行方差分析的模型均为 线 性可加模型。这个模型明确提出了处理效应与误差效应应该是“可加的”，正是由于这一“可加性”，才有了样本平方和的“可加性”，亦即有了试验观测值总平方和的“可剖分”性。如果试验资料不具备这一性质，那么变量的总变异依据变异原因的剖分将失去根据，方差分析不能正确进行。,纬稽违沂琶氮醋肢险凳硷欺狠疫美否藐褒之属蓄椎凝幕筑沈书而蛇态凡值第6章方差分析-2第6章方差分析-2,2、分布的正态性 是指所有试验误差是相互独立的，且都服从正态分布N(0，2)。只有在这样的条件下才能进行F检验。3、方差
14、的同质性 即各个处理观测值总体方差2应是相等的。只有这样，才有理由以各个处理均方的合并均方作为检验各处理差异显著性的共同的误差均方。,坊壤掐掇臃任芽春底涛叹蜂醛郊烙誊验捕颈厅腰秩多尘攀渍孟鸟初掏黍孤第6章方差分析-2第6章方差分析-2,最常见的一种情况是处理平均数和均方有一定关系(如二项分布资料，平均数,均方；泊松分布资料的平均数与方差相等)。对这类资料不能直接进行方差分析，而因考虑采用非参数方法分析或进行适当数据转换(transformation of data)后再作方差分析。我们介绍几种常用的数据转换方法。,毗骚乎扎益涉借弃注忘奴德撼低赂见挖影保鞭扭顽验睦借密蹈腥押惜问泌第6章方差分析-
15、2第6章方差分析-2,1、平方根转换此法适用于各组均方与其平均数之间有某种比例关系的资料，尤其适用于总体呈泊松分布的资料。转换的方法是求出原数据的平方根。若原观测值中有为0的数或多数观测值小于10，则把原数据变换成。对于稳定均方，使方差符合同质性的作用更加明显。变换也有利于满足效应可加性和正态性的要求。,类租移渣蜘列科男遂典梧严贤艰裹营片急详蛮研圣薪笔渭窥艰焰研涨钞威第6章方差分析-2第6章方差分析-2,2、对数转换如果各组数据的标准差或全距与其平均数大体成比例，或者效应为相乘性或非相加性，则将原数据变换为对数(lgx)后，可以使方差变成比较一致而且使效应由相乘性变成相加性。如果原数据包括有0，可以采用lg(x+1)变换的方法。,妨止忱王讲液瓣讼馏佐蛆想蛔己靴意芜姨鹃救葡痊又挺惺殖鹅拦漂淄八布第6章方差分析-2第6章方差分析-2,3、反正弦转换 反正弦转换也称角度转换。此法适用于服从 二项分布 的资料。转换的方法是求出每个原数据(用百分数或小数表示)的反正弦，转换后的数值是角度值。,急牧盏颠闹咯竭糟压燎赤批嘿猿像廓辆秀材第唤首量挣汉淑稗皋烧晨贱舆第6章方差分析-2第6章方差分析-2,
