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1、变化率与导数,问题1 气球膨胀率,在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?,结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.,（一）平均变化率,思考：,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系,在某段时间内，高度相对于时间的变化率用平均速度来描述。即:,在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,问题2.平均速度.,思考：求t1到t2时的平均速度,观察函数f(x)的图象,O,A,B
2、,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1,f(x2)-f(x1),平均变化率的定义：,一般地，函数在区间 上的平均变化率为,令x=x2 x1,y=f(x2)f(x1),则平均变化率可以表示为,几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。,例1、已知函数f(x)=2x+1,计算在区间1，2上 f(x)的平均变化率.,例2、已知函数 f(x)=x2,计算f(x)在下列区间1，3上的平均变化率：,例3 已知f(x)=2x2+1(1)求:其从x1到x2的平均变化率；(2)求:其从x0到x0+x的平均变化率.,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速
3、度描述运动状态.,探究讨论：,（二）、导数的概念,在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,又如何求瞬时速度呢?,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当t趋近于0时,即无论 t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.,从物理的角度看,时间间隔|t|无限变小时,平均速度
4、就无限趋近于 t=2时的瞬时速度.因此,运动员在 t=2 时的瞬时速度是 13.1.,表示“当t=2,t趋近于0时,平均速度 趋近于确定值 13.1”.,从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率怎样表示?,导数的概念,一般地，函数 y=f(x)在点x=x0处的瞬时变化率是,例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.,(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数,(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.,三典例分析,例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时,原油的温度(单位:)为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.,
