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1、第四节 中值定理与导数的应用,高等数学 02-04-01,一、中值定理,二、导数在求函数极限中的应用,高等数学 02-04-02,三、导数在判别函数单调性方面的应用,四、导数在求函数极值方面的应用,五、导数在求函数最值方面的应用,六、应用导数判别函数曲线的凹凸拐点,七、应用导数画函数的图像,罗尔(Rolle)定理 如果函数 y=f(x)满足：（1）在闭区间 a,b 上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）f(b)=f(a)，则在开区间(a,b)内至少存在一点，满足,高等数学 02-04-03,拉格朗日(Lagrange)中值定理 如果函数 y=f(x)满足：（1）在闭区间 a,b 上连续
2、；（2）在开区间(a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点，使下面的等式成立,高等数学 02-04-04,Lagrange中值定理的几何意义,高等数学 02-04-05,a,b,B,f(a),f(b),C,D,A,y=f(x),推论1 若函数 y=f(x)在区间(a,b)内的导数恒等于零，则函数 f(x)在该区间(a,b)内是一个常数。,推论2 设函数 f(x)和 g(x)在区间(a,b)内可导，且有，则 f(x)与 g(x)相差一个常数。,高等数学 02-04-06,例 验证Lagrange中值定理对函数 y=lnx 在区间 1,e 上的正确性，并求出定理适合的点。,高等数学 02
3、-04-07,高等数学 02-04-08,则,高等数学 02-04-09,则,高等数学 02-04-10,高等数学 02-04-11,推论 若当 仍为 型，且 和 满足定理条件，则,高等数学 02-04-12,例 求极限,高等数学 02-04-13,例 求极限,例 求极限,高等数学 02-04-14,例 求极限,高等数学 02-04-15,例 求极限,高等数学 02-04-16,例 求极限,高等数学 02-04-17,课堂讨论题 求下列函数极限,（2）,（3）,高等数学 02-04-18,（1）,注,（1）罗必塔法则只适用于 和 型；,（2）存在，且；,（3）是对分子分母分别求导，而不是对整个
4、分式求导；,（4）当 不存在时，不能用罗必塔法则。,高等数学 02-04-19,极限求法,（1）利用极限的运算法则和函数的连续性；,（2）利用恒等变形后计算；,（6）利用罗必塔法则。,（5）利用等价无穷小；,（3）利用两个重要极限；,（4）利用无穷小的性质；,高等数学 02-04-20,a,b,y=f(x),A,B,高等数学 02-04-21,a,b,y=f(x),A,B,高等数学 02-04-22,定理（函数单调性的判定）设函数 y=f(x)在闭区间 a,b 上连续，在开区间(a,b)内可导，则（1）若在(a,b)内 f(x)0，则函数 f(x)在(a,b)内单调增加；（2）若在(a,b)内
5、 f(x)0，则函数 f(x)在(a,b)内单调减少。,高等数学 02-04-23,单调增加,单调减少,高等数学 02-04-24,确定函数单调区间的步骤：,（1）确定函数的定义域；,（2）求出定义域中一阶导数等于零及一阶导数不存在的点（按从小到大的顺序排列）；,（3）以这些点为端点，把定义域划分为若干个互不重叠的小区间，在这些小区间上，利用一阶导数的符号，进行判断。,高等数学 02-04-25,例 讨论函数 f(x)=2x39x212x3 的单调性。,高等数学 02-04-26,例 在血液循环系统中，血管内影响血液流动的阻力 R 是血管半径 r 的函数：,高等数学 02-04-27,（其中
6、为血液粘滞系数，L 为血管长度）。讨论当 r 在 0.011mm 范围内变化时，R 相应的变化情况。,这表明，对于半径 r 较小的动脉，r 的变化，将引起较大的流动阻力 R 的改变；反之，对于半径 r 较大的动脉，r 的变化，所引起的流动阻力 R 的改变较小。人体就是用神经系统来控制和调节微小动脉的半径，改变其流动阻力，从而达到改善或控制某局部血液流动的快慢和血液的供应。,高等数学 02-04-28,例 若 x0，证明：ex1+x,高等数学 02-04-29,课堂讨论题 讨论函数 f(x)=xlnx 的单调性。,高等数学 02-04-30,A,B,C,D,y=f(x),a,b,高等数学 02-
7、04-31,极大值(maximum)设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，若对该邻域内任意的 x(xx0)均有（1）f(x0)f(x)成立，则称 f(x)在点 x0 取得极大值 f(x0)；（2）f(x0)f(x)成立，则称 f(x)在点 x0 取得极小值 f(x0)(minimum)。,高等数学 02-04-32,极值(extreme value)函数的极大值与极小值，统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为函数的极值点(extreme point)。,高等数学 02-04-33,注（1）极值是一个局部的概念；（2）极大值并不一定比极小值大；（3）极值与极值点是两个不同的概念：极值是
8、指函数的一个值，而极值点是指自变量所取的一个值。,高等数学 02-04-34,定理（极值存在的必要条件）如果函数 y=f(x)在点 x0 取得极值，且 f(x0)存在，则 f(x0)=0。,高等数学 02-04-35,驻点(critical point)导数为零的点称为驻点。,高等数学 02-04-36,定理（第一充分条件）设函数 f(x)在点 x0 的邻域内可导，且 f(x0)=0 或 f(x0)不存在，当自变量 x 由小变大经过 x0 时：（1）f(x)符号由负变正，则 f(x)在 x0 点处有极小值 f(x0)；（2）f(x)符号由正变负，则 f(x)在 x0 点处有极大值 f(x0)；
9、（3）f(x)的符号不变，则 f(x)在 x0 点处无极值。,高等数学 02-04-37,x0,x0 是极大值点,f(x0)是极大值,f(x0)=0,f(x)0,f(x)0,高等数学 02-04-38,x0 是极小值点,f(x0)是极小值,x0,f(x0)=0,f(x)0,f(x)0,高等数学 02-04-39,求可导函数 y=f(x)极值的步骤：,（1）确定函数 y=f(x)的定义域；,（2）求出导数 f(x)；,（3）求出函数的全部驻点及导数不存在的点；,高等数学 02-04-40,（4）考察 f(x)在每个点左、右邻近的符号，从而确定此点是否是极值点；,（5）求出相应的极值。,高等数学
10、02-04-41,例 求函数 f(x)=2x39x212x3 的极值。,高等数学 02-04-42,定理（第二充分条件）设函数 f(x)在点 x0 处有二阶导数，且 f(x0)=0，那么：（1）若 f(x0)0，则 f(x0)为极小值；（2）若 f(x0)0，则 f(x0)为极大值；（3）若 f(x0)=0，则不能判定 f(x0)是否为极值。,高等数学 02-04-43,例 求函数 f(x)=2x39x212x3 的极值。,高等数学 02-04-44,注（1）极值为函数的“局部”特性。,（4）遇到一阶导数不存在的点或驻点的二阶导数为零，只能用第一充分条件来判断。,高等数学 02-04-45,（
11、2）可导函数的极值点必定是驻点；反之，驻点并不一定是极值点；,（3）一个函数在导数不存在的点处，也有可能取得极值；,求极值的方法,（2）求出一阶导数等于零或不存在的点；,（3）用第一充分条件或第二充分条件来判别这些点是否为极值点，是极大值点还是极小值点；,（4）求出极大值点和极小值点的函数值，即得函数的极大值和极小值。,（1）确定函数 y=f(x)的定义域；,高等数学 02-04-46,求出函数 f(x)在闭区间 a,b 上的所有极值点的函数值，以及端点处的函数值 f(a)和 f(b)，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。,求最值的方法,高等数学 02-04-47,例 求函数 f(x)=2
12、x39x212x3 在闭区间 0,3 上的最大值和最小值。,高等数学 02-04-48,注（1）在闭区间上单调增加的连续函数，其最小值必在区间的左端点取得；最大值必在区间的右端点取得。如果函数是单调减少的，则与此相反；,（2）如果连续函数在闭区间内只有一个极值，则它若是极大值便是最大值，它若是极小值便是最小值。,高等数学 02-04-49,y=f(x),a,b,x0,y=f(x),a,b,x0,高等数学 02-04-50,（3）实际问题中，若可导函数在某一区间有唯一的驻点，则该点就是最值点。是最大值还是最小值要看实际问题是求最大值还是求最小值。,高等数学 02-04-51,例 按 1mg/kg
13、 的比率给小鼠注射磺胺药物后，小鼠血液中磺胺药物的浓度可用下面的方程表示,其中 y 表示血液中磺胺药物的浓度(g/100L)，t 表示注射后经历的时间(min)。问 t 为何值时，小鼠血液中磺胺药物的浓度 y 达到最大值？,高等数学 02-04-52,凹的(concave)如果在某区间内曲线位于每一点处切线的上方，则称此曲线在该区间内是凹的；如果在某区间内曲线位于每一点处切线的下方，则称此曲线在该区间内是凸的(convex)。连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点(inflection point)。,高等数学 02-04-53,x1,x2,1,2,凹的,高等数学 02-04-54,x1,
14、x2,1,2,凸的,高等数学 02-04-55,定理 设函数 y=f(x)在(a,b)内具有一阶和二阶导数，则（1）在(a,b)内，若 f(x)0，则曲线 y=f(x)在(a,b)内的图形是凹的；（2）在(a,b)内，若 f(x)0，则曲线 y=f(x)在(a,b)内的图形是凸的；（3）当 x 经过 x0 点时，f(x)改变符号，则点(x0,f(x0)是曲线 y=f(x)的拐点。,高等数学 02-04-56,注 拐点是曲线凹凸的转变点，那么曲线的二阶导数 f(x)由大于零变成小于零，或由小于零变成大于零，这时拐点上的二阶导数可能等于零，也可能不存在。,高等数学 02-04-57,例 研究曲线
15、y=x3 和 y=x4 的凹凸性及拐点。,高等数学 02-04-58,判定曲线的凹凸性及拐点的步骤：,（1）求出 f(x)；,（2）求出在所讨论区间内二阶导数为零及不存在的点；,（3）用上面求出的所有点把所讨论区间分成几个子区间，在各子区间及分界点处，根据定理判断函数的凹凸性及拐点。,高等数学 02-04-59,注 拐点是曲线 f(x)上的点，故拐点的正确记法应为(x0,f(x0)，而不能说 x=x0 是拐点，也不能说 f(x0)为拐点。,高等数学 02-04-60,例 描绘函数 f(x)=2x39x212x3 的图形。,高等数学 02-04-61,（1）确定函数 y=f(x)的定义域，讨论函
16、数的奇偶性、周期性等；,函数图形描绘的步骤：,（2）求出 f(x)及 f(x)，并解出 f(x)=0，f(x)=0 在定义域内的全部实根，及不存在的点，按从小到大的顺序排列，将定义域分成若干个互不重迭的小区间；,高等数学 02-04-62,（3）列表讨论各小区间内 f(x)、f(x)的符号，由此判定曲线的升降、凹凸、极值点及拐点；,（4）算出以上各特殊点的函数值，有时还需补充一些点（如函数的零点，与坐标轴的交点等）；,（6）按表描点并用光滑曲线联点作出函数的图形。,（5）讨论函数图形的渐近线；,高等数学 02-04-63,小结：拉格朗日中值定理 洛必达法则 单调函数，单调区间 极值，极值点，驻点 最值 曲线的凹凸，拐点 函数图像的描绘,高等数学 02-04-64,高等数学 02-04-65,作业：P47 习题二 25(1)(3)26(2)27(3)28(1)31(1),
