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1、,二、导数应用,习题课,一、微分中值定理及其应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,中值定理及导数的应用,第三章,一、微分中值定理及其应用,1.微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.微分中值定理的主要应用,(1)研究函数或导数的性态,(2)证明恒等式或不等式,(3)证明有关中值问题的结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.有关中值问题的解题方法,利用逆向思维,设辅助函数.,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.,多用罗尔定
2、理,可考虑用,柯西中值定理.,必须多次应用,中值定理.,(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.,有时也可考虑对导数用中值定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.设函数,在,内可导,且,证明,在,内有界.,证:取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(定数),可见对任意,即得所证.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,证:问题转化为证,设辅助函数,显然,在 0,1 上满足罗尔定理条件,故至,使,即有,少存在一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
3、例3.,且,试证存在,证:欲证,因 f(x)在 a,b 上满足拉氏中值定理条件,故有,将代入,化简得,故有,即要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.设实数,满足下述等式,证明方程,在(0,1)内至少有一,个实根.,证:令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数 f(x)在0,3 上连续,在(0,3)内可导,且,分析:所给条件可写为,(03考研),试证必存在,想到找一点 c,使,证:因 f(x)在0,3上连续,所以在0,2上连续,且在,0,2上有最大值 M 与最小值 m,故,由介值定理,至少存在一
4、点,由罗尔定理知,必存在,例6.设函数,在,上二阶可导,且,证明,证:,由泰勒公式得,两式相减得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、导数应用,1.研究函数的性态:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,2.解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3.其他应用:,求不定式极限;,几何应用;,相关变化率;,证明不等式;,研究方程实根等.,4.补充定理(见下页),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,在,上具有n 阶导数,且,则当,时,证:令,则,利用,在,处的 n 1 阶泰勒公式得,因此,时,定理.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的连续性及导函数,例7.填空题,(1)
5、设函数,其导数图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,单调减区间为;,极小值点为;,极大值点为.,提示:,的正负作 f(x)的示意图.,单调增区间为;,.,在区间 上是凸弧;,拐点为,提示:,的正负作 f(x)的示意图.,形在区间 上是凹弧;,则函数 f(x)的图,(2)设函数,的图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.证明,在,上单调增加.,证:,令,在 x,x+1 上利用拉氏中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故当 x 0 时,从而,在,上单调增.,得,例9.设,在,上可导,且,证明 f(x)至多只有一个零点.,证:设,则,故,在,上连续单调递增,从而至
6、多只有,一个零点.,又因,因此,也至多只有一个零点.,思考:若题中,改为,其它不变时,如何设辅助函数?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10.求数列,的最大项.,证:设,用对数求导法得,令,得,因为,在,只有唯一的极大点,因此在,处,也取最大值.,又因,中的最大项.,极大值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,列表判别:,例11.证明,证:设,则,故,时,单调增加,从而,即,思考:证明,时,如何设辅助,函数更好?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,例12.设,且在,上,存在,且单调,递减,证明对一切,有,证:设,则,所以当,令,得,即所证不等式成立.,机动 目录 上页 下页 返
7、回 结束,例13.,证:只要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用一阶泰勒公式,得,故原不等式成立.,例14.证明当 x 0 时,证:令,则,法1 由,在,处的二阶泰勒公式,得,故所证不等式成立.,与 1 之间),机动 目录 上页 下页 返回 结束,法2 列表判别:,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法3 利用极值第二判别法.,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15.求,解法1 利用中值定理求极限,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2 利用泰勒公式,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法3 利用罗必塔法则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P180 5;7;8;10(2),(3);11(1);17,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,
