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1、精品论文大集合局部环上辛群的一类极大子群侯彩霞 1, 李尚志 1北京航空航天大学理学院, 北京市(100191)E-mail: houcaixia1818摘要：典型群理论是群理论的重要组成部分,辛群是一类重要的典型群.典型群的子群 结构研究的目的是定出所有典型群的所有极大子群.对于典型群的研究,一般有两种方法:几何方法和矩阵分析方法.本文主要对局部环上的辛群进行研究.设 R 是一个特征不 为 2 的局部环, M 是 R 的唯一极大理 想, R / M 表示其 决定的剩余 类域, m 是正整数, Sp(2m, R) 为 R 上的辛群.本文利用矩阵技巧和局部环的相关性质,主要讨论局部环 R上辛群
2、Sp(2m, R) 的一类子群的结构,并获得其一类极大子群.该结论推广了域上辛群在 线性群中的扩群的结果.关键词：局部环;辛群;极大子群中图分类号：O152.1文献标识码：A1 引言与主要结论近年来,环上典型群中辛群的子群结构的研究受到的群论工作者的重视4-6.本文将利用矩 阵技巧,讨论局部环上辛群的一类极大子群.设 R 是局部环, M 是 R 的唯一极大理想, R = R / M 表示其剩余类域,对任意自然数 m ,n ,用 Rmn 表示 R 上 m 行 n 列的矩阵的全体组成的集合, A( n ) 表示 A Rnn .用 A 表示 R 上任一矩阵 A 的转置矩阵. I 表示单位矩阵,特别
3、I ( n ) 表示 n n 阶的单位矩阵, O 表示零矩阵.对任意自然数 i , j , Eij 表示 (i, j) 位置的元素为 1 其余位置的元素全为 0 的方阵.当1 i j n 时,记n 阶矩阵 Pij = I Eii E jj + Eij + E ji ,并规定 Pii = I .对 s R,1 i j n ,记 Tij (s) = I + sEij .用U (R) 表示 R 的单位群,即 R 中全体乘法可逆元组成的乘法群. Rnn 中全体可逆方阵的乘法群 记作 GL(n, R) ,称为 R 上的 n 级一般线性群.显然, g GL(n, R) 当且仅当 det g U (R) .
4、其中GL( n, R) 中全体行列式等于 1 的方阵组成 GL( n, R) 的一个正规子群,称为 R 上的 n 级特殊线性群,记作 SL(n, R) ,它可由所有的 Tij (s) = I + sEij (s R,1 i j n) 生成. OI ( m ) 设 m 为任一固定的正整数,当 charR 2 时,设 H = GL(2m, R) ,我们定义 I ( m )O Sp(2m, R) = g GL(n, R) | gHg = H ,显然 Sp(2m, R) 是 GL(2m, R) 的一个子群,称为 R 上的辛群, Sp(2m, R) 中每一个矩阵称为辛矩作者简介：侯彩霞，北京航空航天大学
5、，硕士，研究方向：代数学；密码学导师简介：李尚志教授，北京航空航天大学1精品论文大集合3 AB 阵.由此定义不难得出,若 g = Sp(2m, R) ,则 g 为辛矩阵的充要条件是 CD AB = BA , CD = DC , AD BC = I .若 M 为 R 的唯一极大理想,记 AB G(2m, M ) = Sp(2m, R) | B M ( m ) , CD AB D B 因 G(2m, M ) 对矩阵乘法封闭, g = G(2m, M ) 的逆 g 1 = G(2m, M ) , CD 所以 G(2m, M ) 为 Sp(2m, R) 的子群. C A 当 R 是局部环且 charR
6、 2 时,本文定出了 Sp(2m, R) 的一类极大子群,具体结果如下:定理设 R 是 局部环 , 且 charR 2 , M 为 R 的 唯一 极大理想 , 则当 m 为正整 数 AB 时, G(2m, M ) = Sp(2m, R) | B M ( m ) 是 Sp(2m, R) 的一个极大子群. CD 2 相关引理及其证明我们需要以下一些熟知的结果1-3:(1)设 R 为特征不为 2 的含 1 交换环, A GL(m, R), B = B R( m ) ,则 AO IB IO OAOIBI1 , , Sp(2m, R) . (2)设 R 为特征不为 2 的含 1 交换环,对 , R2 m
7、1 ,我们定义内积 ( , ) = H ,若( , ) = 0 , 我们称 正交 于 ,显 然 ( , ) = 0 ( , ) = 0 .对 于x Sp(2m, R) ,记 x = (1 , 2 , 2 m ) , 其中所有的 i R2 m1,则 对 1 i, j 2m, (i , j ) = 0 | i j | m 而(k , m+ k ) = (m+ k , k ) = 1对 1 k m . AB (3) 若x = GL(2m, R) CD 是 一个辛矩 阵 , 由于 x1 也是一个 辛矩阵, 则x1Hx1 = H x1Hx = H ,所以 AC = C A, B D = D B, A D
8、 C B = I .我们 用 表示群 的非空子 集 Z 的生成 的子群 , 群元 素g1 , g2 的换 位子记 为121 2 1g2 g , g = g g g 1 1 .引理 1设 = (a , a, b , b) R2 m1 为辛矩阵的一列,则存在 g G(2m, M ) ,使得1m 1m( m+1)g = ( , 0, 0,1 , 0, 0) ,这里 = 0 或1.证明因为 = (a , a, b , b) R2 m1 是辛矩阵的一列,所以 a , a, b , b 中必有可逆元.1m 1m1m1mi(1)若 ai (1 i m) 为可逆元,则存在 y1 GL(2m, R) ,使 y1
9、 (a1 , am ) = (0, a , 0) .1 1 1取 x = diag ( y , y 1) G(2m, M ) ,则1 1 i 1 m = x = (0, a , 0, c , c ) ,其中1 (c1 , cm )= y1(b1 , bm ) .( m +1)( m +i )取 x2 = diag ( P1i , P1i ) G(2m, M ) ,则 2 = x21 = (ai , 0, 0, ci,c1 , cm ) .取1 ( m ) ( m )( m +1) ( m +i )x3 = diag (ai I, ai I) G(2m, M ) ,则3 = x3 2 = (1,
10、 0, 0, ai ci , ai c1 , ai cm ) .( m +1) ( m +i )4 m +1,1 i i 4 4 3 i 2 i 1 i m取 x = T (a c ) G(2m, M ) ,则 = x = (1, 0, 0 , a c , a c , a c ) .I ( m ) O 取 x5 = ac ( E+ E )I ( m ) G(2m, M ) ,则i 1i1 1i ( m +1) ( m + i )5 = x5 4 = (1, 0, , 0 , ai c2 , 0 , ai cm ) .I ( m ) O 取 x6 = ac ( E+ E )I ( m ) G(2
11、m, M ) ,则 6 = x65 = (1, 0, 0) 即为所求.j i ,1 i j j1 1 j (2)若 ai (1 i m) 均为不可逆元,则 ai M (1 i m) 且存在 bj ( j = 1, m) 为可逆元.设iy1 GL(2m, R) ,使 y1 (b1 , bm ) = (0, b , 0) .1 1取 x = diag ( y 1, y1 ) G(2m, M ) ,则1 1 1 m i = x = (d , d , 0, b , 0) ,其中1 (d1 , dm )= y1(a1 , am ) .(i ) 取 x2 = diag ( P1i , P1i ) G(2m
12、, M ) ,则 2 = x21 = (di , d1 , dm , bi , 0, 0) .取( m )1 ( m )(i ) x3 = diag (bi I, bi I) G(2m, M ) ,则3 = x3 2 = (bi di , bi d1 , bi dm ,1, 0, 0) .(i ) 4 1,m +1 i i 4 4 3 i 2 i 1 i m取 x = T (b d ) G(2m, M ) ,则 = x = (0, b d , b d , b d ,1, 0, 0) .取 I ( m )b d ( E+ E ) x = i 1 i11i G(2m, M ) ,5 O I ( m
13、 ) I ( m )b d ( E+ E ) x = i j j1 1 j G(2m, M ) ,6 ( m )j i ,1 O I 5 6 5 4则 = x x = (1, 0, 0) R 2 m1 AB 即为所求.引理 2若 g = Sp(2m, R) ,则存在 x, y G(2m, M ) ,使得 CD 3精品论文大集合 Q1xgy =Q2 Sp(2m, R) ,11 Q3Q4 其中 Q1 = diag (1 , 2 , m ) ,所有 i = 1 或 0 ,且 Q3 = I Q1 .证明对 m 用数学归纳法,当 m = 1 时,引理 1 已证.假设对 p Sp(2m 2, R) 命题成
14、立,设 AB g = Sp(2m, R) ,由引理 1 得,存在 x1 G(2m, M ) ,使得 CD b 111g = x g = OA12B1 Sp(2m, R) ,111 d 111 OC1 2D1 1212其中 , , , , , R( m1)1, A1 , B1 , C1 , D1 R( m1)( m1), b1 , d1 R , 1 = 1 或 0 .下面只证明1 = 1 的情形,对 1 = 0 的情形同理可证.因为 g1 的第一列向量与第 m + 1 列向量的内积为 1,而与其它各个列向量的内积为 0,得到 A1B1 d1 = 1, = 1 = 0 .这等价于 CD GL(2m
15、 2, R) ,又由 g1 满足条件 g1Hg1 = H ,可得1 11 11 11 11 11 1 11 A1因此 P =A B = B A , C D = D C , A D B C = I ( m1) ,B1 Sp(2m 2, R) . C1D1 由假设存 在 y Hi1=Hi 2 G(2m 2, M ), i = 1, 2 ,使 得y Py A2=B2 ,其 中i HH 12 CD i 3i 4 22 A2 = diag ( 2 , m ),i = 0 或1(i = 2, m) , C2 = I( m 1) A2 . 1O0O 设 z = OHi1OHi 2 G(2m, M ), i
16、= 1, 2 ,则i 0O1O OHi 3OHi 4 1 1* *g = z g z= OA2* * Sp(2m, R) ,21 1 2 0O* * OC2* *这里1 R( m 1)1 ,* 表示 R 中的元素或 R 上的矩阵,由于对其结果不关心,故以 * 表示.设1 1 0O OI ( m1)OO x2 = G(2m, M ) , 0O1O OO( m1) I1 1O* *则 g = g x= OA2* * Sp(2m, R) 即为所求.32 2 0O* * OC2* *引理 3设 AB g = Sp(2m, R) CD ,其 中A = diag (1 , 2 , m ), i = 0或
17、1,i = 1, 2, m , C = I ( m ) A ,则存在 x, y G(2m, M ) 使得 I ( m )Q xgy = Sp(2m, R) ,其中 Q = Q . 0I ( m ) I ( r )O 证明设矩阵 A 的秩 为 r , 取 置换矩阵 P GL(m, R) ,使 得 PAP = ,则 PCP = P I ( m ) A P = OO . OO OI()( m r ) 设1 x1 = diag (P, P) = diag (P, P) G(2m, M ) ,则 I ( r ) OB1B2 g = x gx= OOB3 OOD1B4 Sp(2m, R) ,D2 111
18、OI ( m r )D3D4 其中rr r( m r )( m r )r( m r )( m r )B1 , D1 R; B2 , D2 R; B3 , D3 R; B4 , D4 R.由于 g 满足条件 g Hg = H ,使得111( mr )( r )13B1 = B1 , B2 = D3 , B3 = D2 = O, B4 = I, D1 = I, D4 = D4 , I ( r ) OBD OOO I ( m r ) 故 g1 = x1 gx1 = OOI ( r ) O . OI ( m r )D3D4D3 I ( r )OO OI ( m r )OO设 x2 = OOI ( r
19、) O G(2m, M ) ,则 OO DI ( m r ) 3 I ( r ) OB1O OOO I ( m r ) g2 = x2 g1 = OOI ( r ) O Sp(2m, R) .(1)若 r = m ,则 g2 即为所求.OI ( m r )OD4(2)若 0 r m ,任取 m r 阶可逆矩阵 A= A ,令11 I ( r ) OOO OI ( m r )OOx3 = OOI ( r ) O G(2m, M ) , OAOI ( m r ) 1 I ( r ) OB1OO则 g = g x = A1O I ( m r ) Sp(2m, R) .32 3 OOI ( r )O
20、OI ( m r ) + D AOD4 14取( r ) 1 ( r )x4 = diag (I, A1 , I, A1 ) G(2m, M ) ,则 I ( m )Q g4 = x4 g3 = Sp(2m, R) , Q1Q2 其中1 ( r )Q = diag (B, A1), Q1 = diag (O, ( A1 + A1D4 A1 ), Q2 = diag (I, A1D4 ) . I ( m )O 取 x5 = G(2m, M ) ,则Q I ( m )1 I ( m )Q g5 = x5 g4 = OI ( m ) Sp(2m, R) ,5这里 Q = Q ,故 g 恰为所求. I
21、 ( m )B 引理 4设 g = Sp(2m, R) G(2m, M ) , B = B , X = ,则对 OI ( m ) s R,1 i i ,取 x5 = OP G(2m, M ) ,则 I ( m)B 1i g = x gx =5 X ,其中 B 的 (i,1) 元为 b M ,化为上述情况.555 OI ( m) 5ij其次 证明对任 意 b R ,有 T1,m +1 (b) X.当 m = 1 时 结论显然 成立 . 当 m 2 时, 取x = T21 (b)O G(2m, M ) , g= x , T(a) ,则 g I ( m)B=1 X ,其中1OT(b) 11 1,m+
22、11 OI ( m) 12 0abB = abab2O .令x = T21 (1)O G(2m, M ),g = x , g ,则12 OT(1) 2 2 1OO 12g2 = T2,m + 2 (2ab) X ,当 b 取遍 R 时,显然 2ab 亦取遍 R .于是 T1,m +1 ( R) X .对于任意的 s R ,取 x= P12O G(2m, M ) ,则 x T(s) x1 X ,对于 1 i m ,3 OP 3 2,m+ 23 P1iO 有 T(s) =T P1i(s)12 O X Tij (1). 令 x =O G(2m, M ) , 则i ,m+i OP 1,m+1 OP O
23、T (1) 1i 1i ijg = x, Ti ,m +i (s) X ,于是Ti ,m + j (s) + Tj ,m +i (s) X .引理 5令 G = ,则 Sp(2m, R) = G . AB 证明显然 G Sp(2m, R) ,故只需证 Sp(2m, R) G 即可.任取 g = Sp(2m, R) , CD 精品论文大集合 I ( m )B 由引理 3 知 , 存在 x, y G(2m, M ) , 使 g= xgy = 1 Sp(2m, R). 当 m = 11 OI ( m ) 1121时, g = xgy = G ,则 g = x1 g y 1 G .当 m 2 时,设
24、B1 = (bij )mm , bij = bji ,m取x1 = Ti ,m +i (bii ) (Ti ,m+ j (bij ) + Tj ,m+i (bji ) G,则g1 x1 = I(2 m ),于是i =1 1i j m111 1 1g = x g1 y= x x1 y G ,即 Sp(2m, R) G ,故 Sp(2m, R) = G .3 定理的证明 AB 设 G(2m, M ) Y Sp(2m, R) , 下证 Y = Sp(2m, R) . 任取 g = Y G(2m, M ) , 由 CD 引理 3 得,存在 x, y G(2m, M ) ,使得 I ( m )B1 g1
25、 = xgy = OI ( m ) Y G(2m, M ) ,其中 B= B M mm .令 X = ,则 G(2m, M ) X Y ,由引理 4 知 X 中包含所11有 Ti ,m +i (s), Ti ,m + j (s) + T j ,m +i (s),1 i 1j m, s R ,而它们与 G(2m, M ) 共同生成 Sp(2m, R) ,于是 Sp(2m, R) Y X Sp(2m, R) ,故 Y = Sp(2m, R) .参考文献 1华罗庚,万哲先.典型群M.上海:上海科技出版社,1963 2李尚志.典型群的子群结构M.上海:上海科学技术出版社,1998 3冯克勤.交换代数基
26、础M.北京:高等教育出版社,1986 4李尚志,卫宗礼.欧氏环上辛群在线性群中的扩群J.中国科学技术大学学报,2002,32(2):127-134 5王登银.局部环上辛群在线性群中的扩群J.数学年刊,2004,25(A)(3):351-3586 King O H.Some maximal subgroups of classical groupsJ.J Algebra,1981,68:109-120.A Type of Maximal Subgroups ofSymplectic Groups Over Local RingsHOU Cai-xia1, LI Shang-zhi1School
27、of Science, Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191AbstractThe classical group theory is an important part of group theory, and the symplectic group is one significant kind of such classical groups. the aim of research on subgroups of classical groups is to determine the ma
28、ximal subgroups of all classical groups. There are two ways to study the classicalgroups: geometry technique and matrix theory. This dissertation mainly focuses on the subgroups of asymplectic group over a local ring. Let R be a local ring, charR 2 , M be the unique maximal idealof R , R / M be the
29、reside field of R , m be a positive integer, Sp(2m, R) be the symplectic groupover R .In this paper, by applying matrix skills and the properties of local rings, we make some research on the subgroup structure of the symplectic groups over rings, particularly over the local rings, and obtain a type of maximal subgroup of symplectic groups, which is a more generalized result than the one about overgroups of a symplectic group in a linear group over a field.Keywords: symplectic group; maximal subgroup; local ring.
