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1、精品论文形状不规则筏基在 SV 波作用下的水平与扭转响应文学章，蒋林，尚守平5（湖南大学土木工程学院）摘要：建立了一种基于 Green 函数的地基-筏板基础相互作用分析模型，对形状不规则筏板 基础在 SV 波作用下的水平与扭转响应进行了研究。对“L”形筏板和“C” 形筏板两种形状不规则筏板进行了对比；对 SV 波的入射角以及不规则基础的凹进部分尺寸的影响进行了研10究。结果表明：在倾斜 SV 波作用下，形状不规则基础会产生较大的扭转响应,并随着凹进尺 寸的增大而增大，“L”形基础的扭转响应比和“C”形基础大；当 SV 波的入射角为临界角 时，水平和扭转响应达到最大值。关键词：地震工程；输入地动
2、；SV 波；形状不规则基础；扭转中图分类号：TU47315Horizontal and Torsional Response of Irregularly ShapedRaft Foundation to SV-wave ExcitationWenXuezhang, JiangLin, ShangShouping(College of Civil Engineering，Hunan University)20Abstract: A Numerical model for soil-raft foundation-interaction is developed by means of the
3、Greens function. A study of the horizontal and torsional response of irregularly shaped raft foundations subjected to oblique SV waves excitation is made. L-shaped rafts and C-shaped rafts are compared in this paper. The effects of the incident angle of SV waves and the size of the recessed part of
4、irregularly shaped foundations are studied. The results obtained indicate that:25obliquely incident SV waves generate a marked torsional response in irregularly shaped foundations. The torsional response coefficients increase with increasing the size of the recessed part, and are greater for L-shape
5、d foundations than those for C-shaped foundations. When the incident angle of the SV wave is the critical angle, the horizontal and torsional response coefficients reach the maximum values.30Key words: Earthquake Engineering; Input Motion; SV Wave; Irregularly Shaped Foundation; Torsion0引言土-结构动力相互作用
6、的研究一直是土木工程领域的热门课题之一，土-结构相互作用的35基本的物理量除阻抗阻抗外还有输入地动 1，即基础在地震波作用下的动力位移响应。在 以往的研究中，Kobori 等研究了弹性半空间表面刚性圆盘基础在地震波作用下的动力响应 2；Wong 等研究了刚性正方形基础在倾斜地震作用下的动力响应3，并指出倾斜地震波的 影响在质和量上与垂直射入地震波都不相同；Yoshida 则研究了矩形基础的阻抗与地震波作用下的输入地动4 ；而王鹏等则研究了饱和地基表面刚性圆盘基础的在地震波下竖向反应405。以上的研究其对象均为圆盘基础或矩形基础等规则形状，而实际工程中会经常出现的形 状不规则的基础，在这方面，本
7、文作者对其动力阻抗以及在 SH 波场中的位移反应进行了研 究6,7,8，而在 SV 波以及 P 波场中的动力响应的研究还未见报道。基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（20090161120003），国家科技支撑计划项目（2011BAJ08B00） 作者简介：文学章（1970-），男，副教授，主要从事土-结构相互作用方向的研究. E-mail: wenxuezhang- 6 -对于基础在地震波作用下的动力响应的研究的方法，大致可分成两类，一类是利用Hankel 变换等方法得到的连续解，但这种方法只适用于平面问题以及轴对称问题，不适用45于形状不规则的基础；另一类是基于 Green 函数的离
8、散解法，而薄层元素法9是计算 Green 函数有效方法之一。因此，本文运用薄层元素法，在入射波为 SH 波的基础上8，进一步研 究当入射波为 SV 波时，不规则明置基础的输入地动。本文考虑两种平面形状不规则的明置 基础，一种为“L”形，另一种为“C”形，这两种形状在实际工程中都比较常见。501分析模型与方法地基-基础相互作用模型如图 1 所示，假设刚度为无穷大的无质量的任意形状的基础， 放置在均匀的粘弹性半空间表面，在振动过程中，地基与基础之间紧密相连，不考虑其几何 非线性。入射波节点q入射 SV 波Sq Px反射 P 波q S 反射 SV 波z(a)地震波激振问题(b)自由场（SV 波）55
9、图 1 土-基础相互作用模型Fig.1 Model of soil-foundation interaction刚性明置基础的地震波激振问题如图 1 所示，在地震波场中刚性明置基础的动力位移反60应可由下式给出8：TK puP = FP = TKu f(1)式中， K p 和 uP 分别为基础的阻抗矩阵和位移列向量；K和 u f 分别为自由场地基的刚度矩 阵和位移列向量，T 为刚体位移变换矩阵。要确定基础在地震波场中的动力响应，首先必须确定自由场位移列向量 u f 。当 SV 波65倾斜射入时，产生的反射波不仅 SV 波而且有 P 波，因此，土体的总位移为：u( x, z) = usi ( x
10、, z) + usr ( x, z) + u pr ( x, z)w( x, z) = wsi ( x, z) + wsr ( x, z) + wpr ( x, z)(2) (3)式中 usi，wsi 和 usr，wsr 以及 upi，wpi 分别表示入射 SV 波与反射 SV 波以及反射 P 波的位移。 如果 SV 波的入射角为q s ，波幅为 Asi ，则入射的 SV 波场为：70usi ( x, z) = - Asi cosqs exp (- ixs x + ihs z )(4)wsi ( x, z) = - Asi sin qs exp (- ixs x + ihs z )(5)式中，
11、xs = w sin qs / Vs ，hs = w cosqs / Vs ，Vs 为土的 S 波波速，w 为波的圆频率。反射的 SV 波场为：usr ( x, z) = Asr cosqs exp (- ixs x - ihs z )(6)75wsr ( x, z) = - Asr sin qs exp (- ixs x - ihs z )(7)式中 Asr 为反射 SV 波波幅。反射的 P 波场为：u pr( x, z) = Aprpsin q pexp (- ixp x - ih p z )(8)wpr( x, z) = - Aprcosq pexp (- ixp x - ih z )(
12、9)式中， Apr 为反射 P 波波幅，x p = w sin q p / V p ，h p = w cosq p / Vp ，V p 和q p 分别为 P 波80的波速和反射角，q p 可通过下式得到sin q p = k sin q s式中k 为 P 波波速VP 与 S 波波速VS 之比，(10)k = VS =VP式中n 为泊松比，不难得到临界角qcr 为2(1-n )1 - 2n(11)85qcr = sin -1 (1 / k )(12)反射波的波幅 Asr 和 Apr 由文献10给出：Asrsin 2q sin 2q - k 22= p ssin 2q p sin 2qs + ks
13、cos2 (2q )scos2 (2q )Asi(13)Asr =- k sin(4q s )2 2Asi(14)sin 2q p sin 2q s + kcos(2q s )解方程（1）可求得基础在 SV 波场的位移反应。由于篇幅，本文先讨论水平与扭转位90移。2计算结果的验证为验证本文计算结果的正确性，对放置在泊松比n = 1/ 3 的介质表面的边长为 2a 的正方形基础，在入射角q s= 30 0 时的 SV 波作用下的计算结果，和 WONG & LUCO3的结果进行对95比，如图 2 所示。按照文献3的定义， a0 = wa / VS ，VS 为土的 S 波波速；U1 为明置基础 的水
14、平位移响应，U x 0 为 SV 波作用下的自由场表面土体的水平位移。从图 2 可以看出，本文的计算结果与 WONG & LUCO3的结果吻合得很好。1.2U /U1 x01.00.8Real0.60.40.2WONG & LUCO3 WONG & LUCO3 This paperThis paperImag.0.00 1 2 3 4a =wa/V0S100图 2 本文计算结果和 WONG & LUCO3的结果对比Fig.2 Comparison between the present work and WONG & LUCOs3 work1053计算参数如图 3 所示，考虑两种不规则明置基础
15、，其计算参数与文献8相同（如表 1）。地基为 匀质粘弹性半空间，泊松比n=0.33，其它参数因为采取无量纲量进行分析，不会对结果产生影响。地震波为入射角为q s 的 SV 波。110图 3 形状不规则基础的平面图Fig.3 Plan view of irregularly shaped foundations表 1 “L”形与“C”形基础的形状参数Tab.1 Shape parameters of L-shaped and C-shaped foundations“L”形明置基础“C”形明置基础B1 / C1 = 1B1 / C1 = 2B2 / B1 = C2 / C1 = 0, 1/ 2,
16、 2 / 3, 5 / 6B2 / B1 = C2 / C1 = 0, 1/ 2, 2 / 3, 5 / 61154计算结果及分析为了便于分析刚性明置基础在 SV 波场中动力响应的特点，本文引入了动力位移系数 S R1和 S R 6 ，定义如下：SR1 = UR1 / Asi； SR6 = UR6 B1 / Asi(15)120式中U R1 和U R 6 分别表示基础的 x 向水平与绕 z 轴转动（即扭转）的基础输入地动， Asi 为 入射 SV 波的波幅。动力位移系数反应了基础的位移幅值与输入波波幅的比例关系。4S4SR1 R13 32 2C /C =02 1 C /C =0C /C =1/
17、2 2 12 1 C /C =1/21 C /C =2/31 2 12 1 C /C =2/3C /C =5/6 2 12 1 C /C =5/62 10 a 0 a0 00 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5(a)“L”形基础(b)“C”形基础图 4 形状不规则基础在 SV 波作用下的水平位移系数（q =300）R1Fig.4Horizontal response coefficients of irregularly shaped foundations to SV waves (q =300)125图 4 给出了 SV 波的入射角q s= 30 0 时，各种形状参数的明置基础的 x
18、 向位移系数 S 随130频率变化的曲线。当 SV 波入射角不为零时，其结果与 SV 波垂直射入时存在很大的区别：当无量纲频率 a0 比较小时，基础的 x 向位移振幅与自由场地面水平振幅非常接近，随着入射 波频率的增大，x 向位移系数的实部减小，虚部增加，振幅在低频和中频范围内减小。通过R6与文献8对比发现，凹进部分对于水平位移系数 S R1 的影响趋势相同，但二者的对应的振幅值不同，入射波为 SV 波时的水平位移系数 S R1 要大得多。1.2 SR61.2 S1.01.00.80.8C /C =02 1C /C =1/22 10.6C /C =2/30.6 2 1C /C =5/6C /C
19、 =0 2 12 10.4C /C =1/20.42 1C /C =2/32 10.2C /C =5/60.22 10.0a00 1 2 3 4 50.0a00 1 2 3 4 5(a)“L”形基础(b)“C”形基础135图 5 形状不规则基础在 SV 波作用下的扭转位移系数（q =300）Fig.5Torsional response coefficients of irregularly shaped foundations to SV waves (q =300)图 5 给出了当 SV 波的入射角q s= 30 0 时，各种形状参数的明置基础的绕 z 轴转动位移140系数 S R 6 随
20、频率变化的曲线。由图 5 可以得出：矩形明置基础在倾斜 SV 波场中不发生扭转， 而不规则明置基础在倾斜 SV 波场中会产生扭转。扭转位移系数 S R 6 随着频率的增大而增大， 在较高频率达到最大值。凹进部分对于扭转位移系数 S R 6 的影响随着其尺寸的增大而增大。L 型明置基础的扭转位移系数比 C 型明置基础的扭转位移系数大得多。这些结果与文献8中 SH 波场中的结果完全不同。4R1S 0.8 SR63 a = 0.050a = 1.000a = 2.02 a = 4.000.60.4a = 0.050a = 1.00a = 2.00a = 4.001 0.20 a0015 304560
21、75900.0a00 15 30 45 60 7590(a)水平(b)扭转145图 6 “L”形基础的水平与扭转位移系数（B2/B1 =C2/C1= 1/2）Fig.6Horizontal and torsional response coefficients of L-shaped foundation (B2/B1 =C2/C1= 1/2)图 6 给出了 L 型明置基础（ B2 / B1 = C2 / C1 = 1/ 2 ）的 x 向位移系数 S R1 与绕 z 轴转动R 6 s位移系数 S 随 SV 波的入射角q 变化的曲线。由图 6 可以得知，当 SV 波的入射角在 00250范围内，
22、x 向位移系数 S R1 基本保持不变（当无量纲频率 a0 较小时）或者减小（当无量纲频0150率 a0 较大时）；在临界角 30附近急剧增加，达到最大值，超过临界角后急剧减小，当入射角为 450 时达到最小值，超过 450 后，x 向位移系数再会出现一个波峰，但其值比 00300 范 围内的值要小很多。而扭转位移系数 S R 6 ，随着入射角的增大而增大，在临界角附近达到最大值，当入射角超过 450 时其幅值很小。这些特点与文献8中 SH 波的情况也不相同。1551601655结论本文对不规则形状的刚性明置基础在 SV 波场中的水平和扭转位移反应系数进行了分 析，分析结果表明：（1）对于明置
23、基础的水平位移系数，频率以及凹进部分尺寸的影响趋势与 SH 波场中 的结果相同，但基础振动与输入波的振幅比不同。（2）和规则基础不同，不规则基础在倾斜 SV 波场中会产生扭转位移，其特点与当 SH 波倾斜射入时的特点不相同，凹进部分的尺寸越大，其幅值越大，端部凹进的基础的幅值比 中间凹进的基础的幅值大。（3）SV 波的入射角小于临界角时，明置基础的水平位移系数较大，在临界角处达到最 大值；而扭转位移系数随入射角的增大而增大，在临界角处达到最大值。入射角大于 450 时， 明置基础的水平和扭转水平位移系数都很小。参考文献 (References)1701751801851 IGUCHI M. R
24、ecent Trend of Dynamic Soil-Structure Interaction Researches and Subjects for a FutureStudyA, The 6th Symposium for Dynamic Soil-Structure InteractionC.Tokyo, Japan 2001, 5-272 KOBORI T.，MINAI R.，SHINOZAKI Y. Vibration of a rigid circular disc on an elastic half-space subjected toplane wavesJ. Theor
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26、95-01, SHIMIZU CORPORATION, 19955 王鹏，蔡袁强，曾晨.平面波作用下饱和地基表面刚性圆形基础的竖向振动分析J.岩石力学与工程学报，2010,29（9）：1922-19286 Xuezhang WEN and Nobuo FUKUWA, EFFECTS OF SPREAD FOUNDATION TYPE AND ITS SHAPE ON DYNAMIC SOIL STRUCTURE INTERACTIONJ, Journal of Structural Engineering, Vol.52B, pp.23-31,2006.3 (In Japanese)7 文学章
27、、尚守平形状不规则基础-地基的动力扭转相互作用J振动工程学报，2008，21(4), 359-3648 文学章，蒋林，尚守平.形状不规则筏基在 SH 波下的动力响应研究OL，中国科技论文在线，2012.12.249 Tajimi, H. A Contribution to Theoretical Prediction of Dynamic Stiffness of Surface Foundation A, The 7thWorld Conference on Earthquake EngineeringC, Istanbul, Turkey,1980, 5 : 105-11210 Trifunac M. D. A Note on Rotational Components of Earthquake Motions on Ground Surface for IncidentBody WaveJ. Soil Dynamic and Earthquake Engineering,1982, 1(1):11-19
