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1、精品论文大集合融合框架的若干性质冯旭霞1 ，安常胜1 , 韩金仓21 兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州，7300702 兰州商学院信息工程学院，甘肃兰州，730020Email: fxx921摘要: 框架是具有类似于基的性质的序列 , 但不一定是基. 特别地, 它们可以使特 定空间中的元素以一种稳定的方式线性表示出来 . 但传统框架理论不能有效处理大型系统的框架. 针对传统框架不能有效处理大型系统框架的问题 ,Casazz, Kutyn iok, Li 提出并讨论了融合框架(即子空间的框架). 融合框架是低维子空间的加权类框架集 , 即将一个空间根据 需要划分为若干低维加权子空间 .
2、融合框架从整体上处理大型框架系中的加权子空间框架 . 融合框架是传统框架的一种推广, 其灵敏性远高于传统框架. 本文以算子理论为工具, 主要 研究融合框架的稳定性.关键词:框架, Bessel 融合序列,融合框架,扰动.中图分类号：O174.21 引言及预备知识框架理论是小波分析的一个重要研究内容 , 也是小波分析的重要数学工具之一 . 1952 年, Duffin 和 Schaeffer 在研究非调和 Fourier 级数时提出了 Hilber t 空间框架的概念. 框架是 具有类似于基的性质的序列, 但不一定是基. 特别地, 它们可以使 Hilber t 空间中的元素以一 种稳定的方式线性
3、表示出来, 由于框架元素可能是线性相关的, 因此就失去了作为基的表述 唯一性特征, 但正是由于这种冗余性使得框架在信号和图象处理中有着重要的应用. 众多学 者对传统框架性质及其稳定性做了研究 , 参考文献2,5,6,8,10. 但传统框架理论不能有效处 理大型系统的框架.针对传统框架不能有效处理大型系统框架的问题 , Casazza 和 Kutyn iok 3将 Hilber t 空间 上的框架理论推广到子空间框架理论. 在此基础上, 2007 年 Casazz, Kutyn iok, Li 在文献4中 将子空间框架的概念重新命名为融合框架, 定义融合框架是低维子空间的加权类框架集, 即 将一
4、个空间根据需要划分为若干低维加权子空间. 在特定条件下, 融合框架用于控制子空间 之间的重叠, 通过对子空间框架的研究来得到整个空间的全局框架. 融合框架的度量是元素 维融合框架子空间的正交基与任意向量的内积的一个向量. 在融合框架理论中, 一个输入信 号通过一些到子空间上映射的系数向量集来表示. 类似于框架, 融合框架可将一个信号表示 成冗余的形式且表示不惟一.4中研究表明, 融合框架虽是对传统框架的推广 , 由于加权子空间的结构与子空间局部 框架之间关系的复杂性及它们对权集的敏感性使得融合框架具有高度的灵敏性.12本文中规定,H 表示复可分 Hilber t 空间,I 表示可数指标集,I
5、H 为 H 上的恒等算子, V 表示子空间 V 上的正交映射. 空间l 2 ( I , H ) 定义为: i i Iiil 2 ( I , H ) = a : a H , 且a2 .iI 定义 1:H 中的序列 f 称为是 H 上的一个框架, 如果存在 0 A B , 使得22i iI2A f B ff H(1)其中 A, B 称为框架界. 若(1)式只有右边的不等式成立 , 则称 f 是一个 Bessel 序列, 其Bessel 界为 B .i i I框架 f 称为是稳定的, 如果对 f 做小扰动时它仍构成一个框架.i i Ii iI定义 2:设 V 是 H 上的一簇闭子空间,w 为正权集
6、(即正数集 ). 如果存在常数ii iIi iI0 C D , 使得对所有的 f H , 满足C f 2w2 fVii I22 D f(2)则 V = (V , w )称为融合框架. C, D 称为融合框架界 , 若(2)式只有右边的不等式成立 ,i则 (V , w )ii I称为是一个 Bessel 融合序列, 其上界为 D .iii I融合框架系定义为融合框架和相应子空间上局部框架列的集合 , 即 (V , w ,f ) ,ij其中 fj J i是闭子空间 Vi 的局部框架. 相应融合框架算子的定义为:iiijjJ iiISV f= wi Vf , f H .2ii I融合框架的合成算子T
7、V: Vi H 定义为 TV f= wi f i, 其中 iIl2i If = fi iI Vi . iIl 2则相应的分解算子TV: H Vi 为T f iI= w f l2=w f.Vi ViiI ii Iijij从而, 融合框架算子 SV 可定义为: Sf = T T f= w 2f , f H .VV Vi IiVi一个理论在实际应用中是否可行取决于该理论的稳定性 . 本文在4的基础上, 通过分析构成融合框架的子空间的扰动, 子空间局部框架的扰动以及它们对权集的敏感性, 来进一 步讨论融合框架的稳定性.本文组织结构为:首先提出 Bessel 融合序列的相关性质, 其次通过分析融合框架的
8、子空 间扰动, 子空间局部框架的扰动来讨论融合框架的稳定性.2Bessel 融合序列文献7中对 Bessel 融合序列进行了讨论, 本文从另一个角度来研究 Bessel 融合序列的性质. 设是 V 上的正交映射 , 则是 H 到 V 上的有界线性算子 . 若 e: j J 是ViiViiijii IiVi 的一个标准正交基, J i 是整数集 Z 的子集, 则 V f= j J if , fijeijf H .引理 3: 设 V= (V , w )Z是 H 的一 个 Bessel 融合 序 列 , 其界 为D . 则对 每 一 个wiiiIai i I l 2 ( I , H ) , 序列2i
9、 IiwiV (ai ) 无条件收敛.2V下列命题适用于找 wiiI ( f )i的下界.命题 4: 设 V= (V , w )及 Z = (Z,l )V是 H 的两个 Bessel 融合序列, 其界分别为wiiiI li iiIVZZ VVD 和 D , 且T T= I H . 则Vw 及 Z l 是 H 的两个融合框架.证明: 对所有的 f H ,4 2 22 22 22 2 2 VZf= ( T f ,T f ) TV fTZ f= wi i f l i i f DZ wi i fVZ i I iI iI i从而 1fDZ2 w2 f;2iiI同理可得,1iDVf 2 l 2 f.2ii
10、 I类似于文献9提出以下命题.命题 5: 1) (V , w )是 H 的一个 Bessel 融合序列, 其上为 D . 则对任意 a l 2 (I , H ),iii Ii iIi满足 wi ci ViI22 D aiiI(3) ;2)若(3)式成立, 对 i I ,融合序列, 其上界为 KD .证明:证明 1). 对任意的 a Vi = V 且 K = dim V + , 则 (Vi , wi )i I 是一个 Bessel l 2 ( I , H ),i i Ii wi ai V2= supsup wi aiV f , gi2 sup aiiV222 w2 fi D aiiIf Hf =
11、1g Hg =1i If Hf =1iIi Ii I下证 2)设 e: 1 j K 是V 的规范正交基, 则 f =f , fe ,jVi1 j Kijj精品论文大集合 ai wi2f , f ij= ai wif , f ij2ie j= wi ai V f222 D f ai1 j Ki I1 j K i Ii Ii I由于 a 的任意性,得出i i I ai wiiIf , f ij2i w 2i If , f ij2 2 D f1 j K .i故 w 21 j K i If , f ij2 2 KD f.由定义得出, 此时 (V , w )是一个界为 KD 的 Bessel 融合序列.
12、ii i I注: 一般情况下, 只有当 dim V + 时,(V , w )才成为一个 Bessel 融合序列.ii i I3 融合框架的稳定性本节研究融合框架的稳定性 , 即一个融合框架在小扰动下仍是融合框架 . 由于融合框架 的复杂性和灵敏性 , 研究融合框架的稳定性必须考虑子空间自身的扰动及子空间局部框架 的扰动. 首先,融合框架是用一系列子空间的正交映射来定义的 , 4中已经证明了不存在类 似于映射的扰动.定义 6 (序列扰动): 设 f , g 为 H 中的两序列,动,如果存在 1 , 2 0,1) ,使得对所i iIi i I有的 a l 2 (I , H ),a ( f g )
13、a f+ a gi iI iiiiI1 i iiI2 i ii I称 g 为 f 的一个 (1 , 2 )-扰动.i i Ii iI命题 7 5 : 设 F = f 为 H 中的框架其框架界为A 和 B , G = g 为 H 中的序列. 若1i i Ii iI对所有的 ai i I l 2 ( I , H ) , 存在 , , 0 且 2 1，使得12 2 ai ( f i gi ) 1 ai f i+ 2 ai gi+ ai , 1 + 0 使得( )fVWi i 1 Vi+ 2 Wi+ f则称 (W , w )为 (V , w )的一个 (1 , 2 , ) -扰动.ii iIii i
14、I命题 9 4 : 设 (V , w )为 H 的一个融合框架 , C , D 为框架界. (W , w )是 (V , w )ii i IiiiIii i I12 2的一 个(1 , 2 , ) - 扰动 , 其中1 , 2 0,1), 0 且 (1 1 )C wi iI 0 . 则(W , w )也是一融合框架,其融合框架界为:ii iI (1 )C 1 2,w 2 2 (1 + )D + 1 2w 2 2 1 i I1 + 2i1i i I1 2用1中定理 2.8 的思想得到下列定理, 但证明思路完全不同.定理 10: 设 (V , w )2为 H 的一个融合框架 ,(W , w )为
15、H 的一个 Bessel 融合序列 .ii i IiiiI若紧算子U 定义为U : H H ,Uf = wi ( Vf W f )f H . 则 (W , w )也是 H 的一个融合框架.i i2iIiiiI证明: 设 D 为 (V , w )的融合框架上界 , 则 SV DI ,D 为 (W , w )Bessel 融合序ii i IiiiI2列上界. 若定义 T : H H伴随算子.T = SV + U . 由于Uf , g =f ,Ug, 从而 U 是 H 上的自又 Uf= wi ( Vi f Wi f ) wi Vi f+ wi Wi f.i I2由命题 3 得: Uf ( D + D
16、) viiI2.iIiICasazza 和 Kutyn iok 在3中已经证明融合框架算子 SV 是 H 上的一个正的自伴随的可逆的有界线性算子, 则T 也是一个自伴随的有界线性算子.从而SV f Uf Tf= ( SV+ U ) f=2 fwi Wi SV f+ Uf得证.iI上述是关于融合框架子空间扰动的结果 . 子空间局部框架扰动的情形与传统框架类似 , 其实质为序列的扰动. 以下命题说明在框架算子与框架界的意义之下, 融合框架是传统框架 的一种推广.命题 11 4 : 设 F = f 是 H 的框 架 界 为A, B 的框 架 , 相应 的 框 架 算 子 为 S . 则i i IFi
17、)f(span f ,iiI是 H 的融合框架,融合框架界为 A, B , 相应的融合框架算子为 SF .精品论文大集合从文献 4可得出 ,(span S 1 f ,S 1 f )是一个融合框架算子为 S 1 的融合框架 ,FiFii IF相应 的 融合 框 架 界 为B 1 , A 1 . 而 S 1 f 是 f 的最 简 对偶 框 架 , 其框 架 界为Fi i Ii i IB 1 , A 1 . 但 (spanS 1 f , f )= (S 1 spanf , f )是融合框架算子为 S的融合Fiii IFiiiI F框架, 相应的融合框架界为 A, B . 不仅说明融合框架很灵敏, 且
18、相关权集的选择至关关键.引理 12 4 : 设 (V , w ,f )是 H 的一 个 融 合 框 架 系 , 融合 框 架 界 为C, D . 若iiijjJ iiI2 1 11 + 2 12 21 , 2 0,1), 0 且 12= 1 + 1 1 2 ,C wi 0f2 1 i Ig对所 有 的i I ,ij j J i是ijj J i的一 个(1 , 2 ) - 扰动 . 且令 Wi= spang, 则ijjJ i(W , w )是 H 的一个融合框架,相应的融合框架界为ii iI1 2 i D wi1 2 22 iI iI H引理 13 8 : 设 U ,T 是 H 上的有界线性自伴
19、随算子,若U + T = I, 则Uf , f+ Tf 2 =Tf , f+ Uf2 3 f 24f H .定理 14:设 (W , w ,g )为 (V , w ,f ) 的一个局部 (1 , 2 ) -扰动, 相应的iiijj Jii Iiiijj J iiI融合框架算子为 SV 和 SW , 存在正常数 M 使得 SV + SW MI H . 则12 2 2 212 2 2 2SV f , f+ SW f M wi f,SW f , f+ SV f M wi f. iI iI 证明:由融合框架算子的性质及引理 9, 得:21 2 2 SV + SW D + D + wi I H iI1
20、2i 2 令: M= D + D + w2 ,则SV+ SW MI HSV f , fwiV=2 fiiI i I 22 D f,2 2 1V2 2 2 2SW f= wi Vi fiI wi iI wi i f.i Ii2故1 1 1 SV f , f+ SW f2 2iw 2 D + D + 22iw2 f2 = M w 2 f 2 i I iI iI 同理可证明SW f , f+ SV f1w 2i 22 M 2 f.4 总结 iI 本文在研究 Bessel 融合序列性质的基础上, 从空间自身的扰动及子空间局部框架的扰动出发讨论了融合框架的稳定性, 得出在小扰动下, 融合框架具有很好的稳
21、定性.参考文献:1M.S.Asgari, A.Khosravi,Frames and bases of subspaces in Hilbertspaces,J.Math.Anal.A ppl.308 (2)(2005)541 553.2P.G.Casazza, The art of frame theory, Taiw aneseJ.Math.4(2000)129201.3P.G.Casazza and G.K.Kutyn iok, Frames of Subspaces,Contemp.Math.,vol.345,Amer.Math.Soc., Providence,RI,2004,pp.
22、87113.4 P.G.Casazza,G.K.Kutyn iok,S.Li,Fusion frames and distributed processing, 10. 1016/j. acha.(2007).10.001.5O.Christensen, An Introduction to Frames and Riesz Bases,Appl.Numer.Harmon.Anal., Birkhauser,Boston,2003.6 I.Daubechies, Ten Lectures o n Wavelets,SIAM,Philadelph ia,PA,1992. 7P.Gavruta,
23、On the duality of fusion frames, J.Math.Anal.A ppl.333(2007)871879.8 P.Gavruta, On some ident it ies and inequalit ies for frames in Hilbert spaces, J.Math. Anal. Appl.321(2006)469478.9W.Sun, Stability of g-frames, J.Math.Anal.A ppl.326(2007)858868.10Y .Koo and J.Lim , Perturbation of frame sequence
24、s and its applications to shif t-invariant spaces, J:LinearAlgebraand itsApplications420(2007)295309.Several Properties of Fusion FrameFeng Xu-xia 1 , An Chang-sheng 1 , Han Jin-cang 21 College of Mathemat ics, Physics and Softw are Engineering , Lan zhou Jiaotong Un iversity, Lan zhou, PRC,(730070)
25、2 College of Information Engineering, Lan zhou Un iversity of Finance and Economics,Lan zhou, PRC,(730020)Abstract: Frames are the sequences w hich like bases, but not the bases. Specially, elements can be expressed in stability. How ever, the classical frame can not deal w ith the large system. Ino
26、rder to solve this problem, Casazza, Kutyn iok and Li bring up the notion of fusion frame. Fusion frames are the low -dimensional w eighted subspace set, i.e., fusion frame depart the space to several low -dimensional w eighted subspaces . Fusion frames deal w ith the w eighted subspace frame of lar
27、ge system in the global sense. As a sensitive system, fusion fame is one of the generalizat ions of conventional frames. In this paper, w e research the stability of fusionframe in terms of operator theory.Keywords: frame,fusion Bessel sequence,fusion frame,perturbation.Chinese Library Classification: O174.2作者简介：冯旭霞,女, (1983-),甘肃会宁人, 硕士,主要从事小波分析及其应用的研究.
