概率树在全概率公式中的应用.doc

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1、学号：201121140217200222200X2XX40XXX 本 科 生 毕 业 论 文论 文 题 目： 概率树在全概率公式中的应用 作 者： 梅 晶 院 系： 数理学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 201102 指 导 教 师： 涂巧霞 2015 年 5 月 1 日NO.：2011211402172008200X2XX40XXX200X2XX40XXXHuanggang Normal UniversityThesis GraduatesTopic： The Applying of Probability Tree in the Full Probability Formula

2、Author： MEI Jing College： College of Mathematics and Physics Specialty： Mathematics and Applied Mathematics Class： 201102 Tutor： TU Qiaoxia May 1th, 2015郑重声明本人所呈交的毕业论文(设计)是本人在指导教师 涂巧霞 的指导下独立研究并完成的. 除了文中特别加以标注引用的内容外，没有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权行为，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 特此郑重声明！指导老师：论文作者： 年 月 日摘 要全概率公式在概率论

3、中有着广泛的应用。通过对全概率公式的深入研究，剖析其内涵，针对应用全概率公式计算复杂事件概率时遇到的问题, 引入概率树的定义，借助概率树及其图解导出试验中的事件的概率的计算方法。该方法建立的概率树能使试验的整个过程更加清楚, 能使抽象的问题直观化，简单化，明了化，易于理解和分析，便于学习者掌握和运用; 而且乘法原理与加法原理的应用, 便于掌握和计算, 从而能使较复杂的概率问题得以有效解决，收到事半功倍之效。关键词：全概率公式;完备事件组;概率树 Abstract The full probability formula has a wide application in probability

4、 theory. Through in-depth study of the full probability formula, the analysis of the connotation, and the application of full probability formula to calculate the probability of rate of complex problems, we introduce the definition of probability tree. By using the experimental probability tree and

5、diagram, the computing method of probability of the event can be deduced. The whole process of probability tree and the established method can make the experiment more clearly. It can make the abstract problem of intuitive, simple, clear, easy to understand and analysis. It can also facilitate the l

6、earners to master and apply. And the application and principle of multiplication and addition principle, it is easy to master and calculation. We are able to effectively solve the problem of complex and have a multiplier effect. Key words: full probability formula; complete event group; the probabil

7、ity tree 目 录第1章 引言11.1 选题依据及意义11.2 研究方向及发展趋势11.3 背景介绍3第2章 概率树及相关概念42.1完备事件组42.2全概率公式42.3多重随机试验序列42.4 概率树6第3章 概率树的应用73.1概率树在概率计算中的应用83.1.1 I类问题求解中的应用113.1.2 II类问题求解中的应用143.2重要结果163.3 概率计算中概率树法与公式法之比较16结束语17致谢18参考文献19 黄冈师范学院本科生毕业论文 第1章 引言1.1 选题依据及意义在概率论中，概率的计算是一个很重要的问题。然而，这个问题是十分复杂的，甚至有时候相当的困难。全概率公式的运

8、用一直以来是一个难点，尤其是对完备事件组的选择及理解上。全概率公式是概率论中重要的公式，在概率中起着很重要的作用。在生活乃至数学研究中地全概率公式的了解可以有很多的便利，许多的问题都可以轻松解决。面对越来越复杂的未知世界，全概率公式的应用会越来越广泛。本课题的研究能够发现概率树在全概率公式应用中的优点和缺陷，更进一步的促进数学研究的蓬勃发展，也有助于各方面的相互取长补短，相互学习，共同提高。为了估算问题的可能性而减少失败，全概率公式被不断地应用于实际生产，生活中，为了给人们提供更多便利，我们也在不断地将全概率公式进行推广，概率树的研究取得了很大的成就。有关于概率树很多专家，学者在此方面做了详细

9、的研究。概率树的研究将很多抽象问题具体化，化为一个个具体的树状图形，使很多复杂问题一目了然，更有的人将概率树与医疗结合，成为我们解决问题的一个十分有效的工具。研究概率树在全概率公式中应用的目的是帮助人们更加的了解概率树和概率的内容，了解概率在生活中的应用。用概率树去解决存在的问题，减少一些不必要的问题，为人们提供方便。全概率公式是概率论中很重要的公式，在概率论的计算中起着很重要的作用，而概率树作为全概率公式中的一种，也起着至关重要的作用。对全概率公式的应用进行仔细地分析，用例子说明了它的用法及它所适用的概型：为了解决问题的需要，我们将全概率公式进行推广，即把概率树应用于全概率公式中，用例子说明

10、了推广（概率树）的全概率公式在实际应用中所适用的概型，使得全概率公式的应用更加广泛。1.2研究方向及发展趋势随着社会的飞速发展，市场竞争日趋激烈，全概率公式在生产生活中也来越显示其重要性。利用全概率公式及其推广形式，定量地对生产生活问题进行相关分析，使其结论更具有可信度，更有利于促进工厂公司高效地生产出优质产品。利用好全概率公式可以解决投资，生产，工程等一系列不确定的问题。全概率公式的正确应用有助于进一步研究多个随机过程的试验中目标事件及其条件下各诱发事件的概率，有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大方便，同时它的适用范围

11、成为我们解决复杂问题的有效工具。概率在生活中应用广泛，涉及到生活的各个领域，预测地震，人们购买彩票等等。对于无法预测的事情，我们可以估算大概发生的可能性。概率论就是通过随机现象及其规律从而指导人们从食物表象看到本质的一门学科。生活中买彩票显示了小概率事件发生的概率之小，抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策减少错误与失败等等，显示了概率在人们生活中越来越重要的作用。而全概率公式作为概率论中重要的一部分，也越来越重要。1.3 背景介绍对于概率树在全概率公式中的应用的研究，许多专家学者给出了自己的意见和看法,他们通过各种方法探讨了如何将概率树与全概率公式相结合应用以及何

12、时用，怎么用，通过严密的逻辑推理和合理的实例，得出了各种结论，对我们研究概率树在全概率公式中的应用方法有着良好的指导作用。例如李晓红在概率树在全概率公式中的应用指出全概率公式是计算复杂事件概率的重要工具，掌握好全概率公式的关键在于构造合适的完备事件组，并准确计算相关的概率。然而，当试验为多重复合试验时，很容易出现中间事件的遗漏现象，以及概率计算时分不清主次及先后的现象，而造成最终概率计算的错误 。为了更有效地解决这些问题，使事件之间的关系更加清楚直观，便于理解和计算，在此我们提出用全概率公式计算复杂事件的概率时，可先应用概率树来进行分析。针对应用全概率公式计算复杂事件概率时遇到的问题，提出采用

13、概率树进行分析的方法。该方法能使试验的整个过程更加清楚直观，易于理解和分析； 而且乘法原理与加法原理的应用，便于掌握和计算，从而能使复杂问题得以有效解决。徐健在概率树在古典概率计算中的应用一文中讨论了古典概率计算中， 应用概率树分析解题的方法， 拓广了样本空间划分的概念。其实，古典概型在概率论中占有很重要的地位，它概括了许多实际问题， 有很广泛地应用 。 对古典概型中的问题，我们可以应用概率树分析法得到解决问题的办法或途径。尤其是当试验次数 n较小或各次试验较有规律时效果更佳。 对多重复合试验下， 建立递推关系式或差分方程等也有很大益处。 概率树分析法具有直观 、 形象 、 简便等优点, 便于

14、分析 、 比较 、 容易掌握复杂事件的概率计算。当然， 概率树作为一种分析方法， 仅仅是解决古典概型问题的方法之一。 它并不能穷尽所有的古典概型问题的解决。 真正要熟练解决各类古典概型问题， 还须综合概率的性质 、各种计算公式及各种有效的求解方法。学者聂红科，范慧歆在全概率公式解题方法探究一文中，指出全概率公式是概率论中一个重要的公式，也是学习中的一个难点。针对全概率公式，剖析其内涵并将其推广，后引入图表法 ，数形结合地梳理各层次关系，使抽象的问题直观化 、简单化 、明了化 ，能有效解决较复杂问题 。学者李光久在概率树及其在概率计算中的应用一文中，首先提出多重随机试验的概念， 继而应用图论中赋

15、权的出树等概念引入概率树的定义， 借助概率树及其图解导出多重随机试验中的事件的概率的计算方法。 并建立概率树的简化方法， 解决较复杂的概率计算问题。葛培运在概率树在中学问题的教学应用一文中，就概率论中有关知识比如互斥事件的概率问题、相互独立事件的概率问题等，针对中学生应用概率公式计算复杂事件概率时遇到的问题。 主要在互斥事件的概率加法公式中和求相互独立事件的概率问题的教学应用，通过这两类问题的多种解法和运用概率树解法的比较，提出了概率树法，并将概率树与概率问题结合起来，用概率树法求事件发生的概率，得出了用概率树解决此类问题的分析步骤，通过比较可以看出，运用概率树分析题意， 将概率问题以及相关数

16、据在概率树上清晰的呈现出来，使得在对问题求解时，不再需去遵循、记忆公式，只需根据概率树的途径，直接求解，这种方法对于学生在解决概率问题有很大的帮助。引进概率树法，对于学生理解公式的内涵和提高解题能力能使整个求解过程更清楚，更直观，使学生能够较容易理解很难掌握、容易出错的概率问题起到事半功倍的作用。综上所述，各学者从不同的角度研究了概率树在全概率公式中的应用，应该说各有所长，各有所短,每位学者研究的角度不同以至于研究的内容不同， 因此，各个学者的研究成果和内容给了我很大的启发，为我的课题研究提供很好的指导和借鉴作用。第2章 概率树及相关概念2.1 完备事件组定义1：设为 个事件 ，若满足 ： (

17、1)完全性 ：(2)互不相容性： (3) 则称为的一个完备事件组。2.2 全概率公式定义2： 设 S为试验 E的样本空间，为 E的一组事件 。若 （1） （2）则称为样本空间S的一个划分。定理1 设试验E的样本空间为S,A为 E的事件, 为 S的一个划分，且，则 上式称为全概率公式。2.3 多重随机试验序列定义3 设随机试验序列（为一正整数），满足下列两个条件：（i）对固定的,随机试验的结果（为一与有关的正整数）构成一个完备事件组；(ii) 对正整数，使有那么称是一个多重随机试验序列。2.4 概率树在数学中，树是一个无环连通图，包括根 、分 支、节点和末梢。若将随机试验发生的不同结果按发生的先

18、后次序用树形图来表示E, 第一层节点代表试验E的不同结果, 第二层节点代表在第一层节点已发生的条件下, 会出现的不同试验结果, , 依次类推, 直到表示完试验的整个过程和结果, 其中每一节点的分支节点都要求是互不相容的；然后再在每条分支的各节点相连的线段上, 标上后一节点在前面所有节点发生条件下的条件概率, 使每一节点的分支上的概率和都为1； 这样, 树形图就变成了一个完整的概率树，在树的各线段上(即分支 )标上相应的表示随机现象的概率 ，称之为概率树。如图 (1)： 节点 末梢 节点 末梢 分支 节点根(E) 末梢 末梢 节点 末梢 节点 末梢 末梢 图(1)树形图是图论中重点研究的一类图。

19、图论中的图比几何中的图更抽象、也更具有一般性。讨论这样的图时不必考虑形状 、大小 、面积 、体积等 ，而只需要考虑图中的顶点和边这两类基本元素。顶点可以表示要研究的对象(事物)，边可以表示对象之间的联系。树形图在图论中简称树 (tree)，它有以下两个特点 ： (1)连通 ，即图中任意两个顶点之间都有一条通路(由若干条边组成)； (2)无圈 ，即图中任意两个顶点之间都没有两条不同的通路 。例如，图2(1)是树，而图2(2)整体不连通 ，图2(3)中有圈。所以，图2(2)、(3)都不是树。 （1） （2） （3） 图2第3章 概率树的应用3.1 概率树在概率计算中的应用对于需要多个步骤完成的试验

20、 ，可以按照试验的先后顺序 ，自下而上地(或规定其他方式 )把各步试验的可能结果作为顶点 ，再按照各步之间的关系用边连结相关的顶点，形成树形图，从而达到比较直观地表示出整个试验过程的效果，层次分明且不重不漏地列出所有可能的结果。因此，解决一些概率问题时通常会使用树形图。例如,建立如图所示的概率树,相应的概率条件有: E 图 概率树这些条件便于我们对建立的概率树进行正确检查 。在每一条从末梢节点到根节点的概率支上, 根据乘法公式, 各个事件共同发生的概率就等于各个线段上条件概率的乘积, 例如：若以所求事件为末节点, 则导致所求事件发生的情况, 就反映于根节点到末节点的路径, 于是根据完备事件组的

21、定义, 所求事件的概率就等于各路径上的概率的和, 例如:因此应用全概率公式时, 可先画出概率树, 再以所求事件为末节点进行“回溯”, 看看事件的发生会沿着那几条路径, 那么事件发生的概率就是沿着那几条路径发生的概率的和, 而每条路径上发生的概率就等于各个线段上概率的乘积, 因此应用全概率公式即就是将“回溯” 得到的不同路径上的概率相加, 同一路径上的概率相乘, 这个原则也叫“乘法原理和加法原理”, 类似高等数学中的复合函数求导法则,学生很容易掌握和应用。 这不但拋开了对复杂事件要先确定完备事件组的困难, 而且从根节点到所求的末节点的路径上也能提供出完备事件组的多种组成形式, 可根据需要具体选择

22、 。为了使概率树的分析过程变得更加简洁直观, 方便书写和计算 ,在画图时, 可将概率树在形式上进行以下化简 :()概率树中同一末梢节点可进行合并; ()当只考虑其中一个事件发生的概率时, 末节点中可只画出该事件, 其它的事件略去 ; ()当试验为复合型随机试验, 中间过程过于复杂时, 可进行事件合并和过程简化 ;()当试验出现无限循环时, 要从出现循环的地方切断, 将所求事件作为末节点, 直接与切断之前的部分连接 。 通过这些简化措施, 画出的概率树更接近复合函数求导时的链式图, 便于学生联系“乘法原理和加法原理”, 下面就通过具体的例子来说明如何应用概率树的形式来解决全概率问题。为了便于说明

23、如何应用概率树给出事件 A 的划分。 根据随机试验的不同, 将古典概型问题大致分成两类。I “ 一次随机试验 ” 问题 ; II“ 复合随机试验 ” 问题 。3.1.1 I类问题求解中的应用 此类问题的随机试验 E 只进行一次, 设对应的样本空间为 。 若事件 A 的发生受试验中多个因素的影响。 这时一般可从事件 A ( 或试验结果 ) 出发 , 用概率树枝状分析表示 A 与所有影响 A 发生的诸因素之间的关系 , 进而找出蕴于这些因素的互不相容事件组。 这个互不相容事件组一般能将事件 A 直接或间接的分解掉, 从而达到求事件 A 的概率的目的 。 【例1】 某射击小组共有 20 名射手, 其

24、中一级射手 4 人 , 二级射手 8 人 ,三级射手 7 人 , 四级射手 1 人 。 一 , 二 , 三 , 四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是, 求在小组内任选一名射手, 该射手能通过选拔进入决赛的概率 ? 分析与解题 : 本例的随机试验 E 只进行了一次从小组内任选某级射手。 故属 I 类问题, 所求事件 A 表示 “ 任选其中某级射手能进入决赛 ” 定义在 E 上 。 由于小组内射手的射击水平不等 , 所以事件 A 的发生与选中的是哪一级射手有关 , A 是一个复杂事件。 解 现设是 E的样本空间 , 事件表示 “ 所选为 级射手 ”, 。则可由概率树1分析如下: 图 1可见互不相

25、容恰成的划分。 从而简接地得到事件A 的划分, 由全概率公式即得:例1说明，I类问题用概率树较容易得到复杂事件A的划分，在实际应用时，还可借助概率树综合运用两种分解方法。【例2】 甲 、乙 、丙三门高射炮同时向敌机射击, 它们击中的概率分别是 。 飞敌机被击中一发而被击落的概率为 , 被击中二发而被击落的概率为 , 被击中三发则一定被击落， 求敌机被击落的概率? 分析与解题: 本例也是I类问题，所求事件A表示“敌机被击落”与敌机被击中几发有关，所以A是复杂事件。可利用概率树2分析如下： 图 2其中是试验 :“ 三门炮同时向敌机射击 ” 的样本空间, 表示“ 敌机被击中k发炮弹” 分别表示敌机被

26、甲炮 、乙炮 、丙炮击中的事件。由概率树分析知构成了的一个 划分 , 而是也是复杂事件, 它们又分别被构成的事件组直接分解掉。于是由概率的可加性得:再由全概率公式就得：注：以上的两例都是从试验的结果开始分析作概率树的，实际应用时也可以依试验进行的顺序作概率树。3.1.2 II类问题求解中的应用 此类问题的随机试验E是次试验的复合 , , 每一随机试验, 都有一样本空间。故试验E的样本空间 。 若复杂事件A定义在第次试验上, 通常总是把前 次试验的样本空间逐个分解掉, 对达到间接分解事件A目的。的分解只须按复合试验进行的顺序(或相反顺序)从开始依次作出概率树分析(每次试验的概率树作法与I类问题中

27、作法相同)。则根据第 次试验作出 的概率树枝对应的事件一般就构成的划分。【例3】 甲乙丙三位棋手按如下规则进行比赛: 第一局由甲乙参加而丙轮空, 由第一局的胜者与丙进行第二局比赛, 失败者轮空,用这种方式一直进行到其中一人连胜两局为止, 此人成为整场比赛的优胜者。 甲乙丙胜各局的概率都为 0.5 , 求甲乙丙成为整场比赛优胜者的概率 。 分析与解题易知该题为II类问题，根据比赛进行的次序与规则,画出试验中前五局的概率树, 会发现从第四局开始出现类同第二局的局部性循环, 因此, 从第四局开始中断后续的概率树, 而将所有出现的末节点直接与所求事件相连, 由于循环不是从根节点开始的, 而是在第一层的

28、两个单侧支上出现的, 所以用概率树求事件的概率时先需分解到这一步。 解 设事件V甲 、V 乙 、V丙分别表示甲 、乙、丙成为整场比赛优胜者, 事件分别表示甲 、 乙、丙在第局中获胜 。由于三位棋手获胜的概率都为0.5 , 甲乙在比赛中又处于对等的地位 , 因此甲乙两者成为整场比赛优胜者的概率是相等的;又由于三者成为优胜者的概率的和为1 , 故只需先求丙获胜的概率。建立如下图所示的概率树3： 出现循环 1 0 0E 0 1 0 出现循环 图 3由全概率公式知：其中从上面的例子可以看出, 在用全概率公式计算复杂事件的概率问题时, 通过概率树的建立, 一方面可以把试验的整个过程更加清楚直观的反映出来

29、, 便于结合图形分析或发现规律; 另一方面乘法原理与加法原理应用, 不需要再去刻意的找寻完备事件组, 从根节点到末节点的路径上的节点提供了完备事件组的多种形式, 可以结合题目中的已知条件来选择, 而且计算结果不易出错, 特别是不再需要死记硬背全概率公式, 对解题能力的提高能起到事半功倍的效果 。【例4】 今有三只口袋, 1号口袋内装有纸币: 一分的 2 张、 二分的 2 张、 五分的 1 张; 2号口装内装: 二分的 3 张; 3号口装内装 : 一分的 1 张 、 五分的 2 张。 开始时等可能地任选一只口装, 从中随机摸取一张纸币, 如果是一分的就把它放入 1号口装, 二分的就放入 2号口装

30、, 五分的就放入 3号口装。纸币放入口袋后将纸币和匀, 再从该口袋中任意摸出一张, 结果可能是一分、二分或五 分纸币。分析与解题 引起结果可能是一分、 二分或五分纸币的所有原因是来自3个口袋所包含的纸币，这构成了样本空间的一个划分。单独地用公式法，容易出错，用数形结合的方法，并用加法和乘法原理计算概率思路简单清晰。解 以事件表示“开始选出的是号口袋”；事件表示“第一次从选中的口袋中随机摸到的是分纸币”；事件表示“最后摸出的一张是分纸币”。由题意给出：。这样一来 , 所给的多重随机试验的过程与结果构成的概率树如图4。建立如下的概率树： 1 1 图 43.2 重要结果对于上述多重随机试验, 结合相

31、应的概率树的图解, 可以得出一 些概率的计算公式。 设是概率树上一条有向道路（记为）上的点（事件），是这条有向道路上各弧上的权（概率），那么有 所以可以得到图4的概率数据。3.3 概率计算中概率树法与公式法之比较【例5】 设有来自一个地区的考生的报名表分别是10份，l5份和25份，其中女生的报名表分别是3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中抽出一份，求抽到的是女生表的概率。分析与解题 本例是试验是II类问题，其中：3个不同考区，：抽到女生表。引起抽到女生表的所有原因是来自三个不同的考区都包含有女生，这构成了样本空间的一个划分。显然，由条件各考区女生表的概率可求，可直接用全概率公式求解

32、，也可以用概率树的方法进行求解。解：以事件A表示“抽出报名表是女生表”，事件 B 表示“报名表是第 i个考区的”(i=1，2，3)，则有，由定理1得：用公式法解题时，往往由于事件比较多，常常会有遗漏或在计算时分不清主次，弄不清楚哪些是条件事件以至于产生错误。例 2 解法二 ：以事件A表示“抽出报名表是女生表 ”，事件表示“报名表是第个考区的”()，作出图表类题目的图表法，也称为概率树法, 并按照乘法原理和加法原理计算所求概率。它思路清晰，不容易出错,是数形结合的好方法，能很好地解决上面的问题。 男生 第1考区 女生 男生 第2考区 女生 男生 第3考区 女生 图 5 由例5易知，用全概率公式法

33、计算事件的概率，虽然有时只是套用公式，但是对于全概率公式的掌握程度要求较高，如果不能充分理解，即使求出结果，任然不能明白题目的思路。但是，用概率树法求解概率，将复杂的事件分解成简单的互不相容的事件，让人一目了然，而且因为将情况列举，不容易遗漏，无论在解题还理解题意上都有很大的优势。结束语在科学技术飞速发展的现实状况下，研究概率树在全概率公式的应用的等现实问题，对我非常具有吸引力，也具有挑战性，同时也是我们数学学习及日常生活，用以研究和解决现实问题的魅力、动力之源。 本次毕业论文，主要是分析和解决了概率树在全概率公式中应用的问题，以及概率树的应用使得概率的求解变得简单化，明了化，清晰化。并且从两

34、个角度运用具体的例子对其进行了分析，验证。本文的设计与撰写，全概率公式的应用以及概率树在全概率公式中应用这两个基本目标问题，基本达到设计要求.尽管如此，我想本文仍然存在不足之处，例题选择的精准性有待提高，思路也要进一步修正和完善，以便更好地推广和使用，而这些都是要进一步研究的方向。通过对概率树在全概率公式中应用的分析，让我了解了很多相关的知识，通过比较简单的数学例子，使用图表法，查找相关的资料并构建文章基本框架，结合相关的实际数据加以验证，并通过全概率公式进行验证。 这些问题的分析，都将有利于我以后工作及生活相关研究工作的进一步延展，为研究推广同类问题提供思路。 概率树在全概率公式中的应用作为

35、我的毕业论文设计，是对我大学学习的一个总结。在历时将近半年的时间里，按照处理实际问题的步骤对相关问题进行了分析，构建文章基本框架，都让我从中都受益匪浅.在分析和解决这个实际问题中，也遇到了很多疑惑和困难。在遇到问题、分析问题和解决问题的过程中，思路过程也逐步完善，本人也得以学习和成长。致谢在论文设计的过程中，我的论文指导教师涂巧霞对各个环节给予了细心指引与教导, 使我得以最终完成毕业论文设计。 导师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度以及侮人不倦的师者风范是我终生学习的楷模，他高深精湛的造诣与严谨求实的治学精神，将永远激励着我。 这四年中还得到众多老师的关心支持和帮助。 在此，谨向老师们致以衷心的感谢和崇高的敬意！经过了三个多月的学习和工作，我终于完成了这篇论文。 虽然我在校期间专业课有学过概率论与数理统计，但是我们学习的只是并不深入，即使我个人很喜欢概率论与数理统计这门学科。我也曾参加过学校的数学建模大赛，写过论文，但当时研究不够深入，写作粗糙，模型也不优化，此次作为毕业论文进行撰写，每走一步对我来说都是新的尝试与挑战。在这段时间里，我学到了很多知识，也有很多感受，查看相关的资料和书籍，了解到国内外许多学者关于概率树与全概率公式应用的问题分析，他们的独到见解，也让自己头脑中模糊的概念逐渐清