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1、2.3 等差数列的 前n项和,衡阳市铁一中学 刘小军,衡阳市高中数学优秀课授课比赛,高斯（Gauss,17771855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.,有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.老师问：高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？,创设情景,问题就是：,计算1 2 3 99 100,高斯的算法,计算：1 2 3 99 100,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；
2、第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.,首尾配对相加法,中间的一组数是什么呢？,若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层有很多支铅笔，老师说有n支。问：这个V形架上共放着多少支铅笔？,创设情景,问题就是：,1 2 3(n-1)n,若用首尾配对相加法，需要分类讨论.,三角形,平行四边形,n(n-1)(n-2)2 1,倒序相加法,那么，对一般的等差数列，如何求它的前n项和呢？,前n项和,分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和
3、.,问题分析,已知等差数列 an 的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.,如何才能将等式的右边化简？,已知等差数列 an 的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.,各项组成新的等差数列,倒序相加法,求和公式,等差数列的前n项和的公式：,思考：（1）公式的文字语言；,（2）公式的特点；,不含d,可知三求一,公式的记忆,我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.,a1,an,公式的记忆,我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.,a1,(n-1)d,a1,an,将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.,公式应用,根据下列各题中的条件，求相应
4、的等差数列an的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10（2）a1=100，d=2，n=50,练一练,500,2550,例1、计算（1）5+6+7+79+80（2）1+3+5+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+（2n-1）-2n,-n,例题讲解,n2,3230,提示：n=76,法二：,例题讲解,例2、2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一
5、年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？,分析：找关键句；,求什么，如何求；,解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列an，且a1=500,d=50,n=10.,故，该市在未来10年内的总投入为：,答,变式练习,一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？,解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列an，且a1=21，d=1，n=19.,于是，屋顶斜面共铺瓦片：,答：屋顶斜面共铺瓦片570块.,例题讲解,例3、已知一个等差数列的前10项的和是310，前2
6、0项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？,解：由于S10310，S201220，将它们代入公式,可得,所以,例题讲解,例3、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？,另解：,两式相减得,课堂练习,答案:27,练习1、,练习2、等差数列10，6，2，2，的前_项的和为54？,答案:n=9，或n=-3（舍去）,课堂小结,1等差数列前n项和的公式；2等差数列前n项和公式的推导方法倒序相加法；3.公式的应用(知三求一)；,上页,下页,（两个）,上页,下页,教材P46 A组2、5到网上查找有关数学家高斯的故事，你能从这些故事中得到什么启示呢？到网上查找等差数列前n项和公式的应用，“发现”生活中的数学。推荐网址：中国科学院网站巨人奥数网,课后作业,趣味数学,在右图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？,请多指教！,真诚地感谢各位老师、各位评委的到来！,
