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1、交通量优化配置问题的分析摘要随着人们生活条件的改善，私家车数量急剧增长，导致公共交通压力也日益增长。如何规划建设一个合理的交通网络成了政府必须解决的问题,合理规划出行路线成了人们平时都必须注意的事情。本文通过对交通路径进行筛选，合理分配每条路径上的车辆数，得出的方案使整个交通网络中的车辆行驶耗时减少，对本问题给出了一种较合理的解决方案。对于问题1我们根据所给路径分布，首先建立了多级的树枝状模型，对模型进行了合理的分析和判断，借助于matlab软件，得出了七条有效路径。结果分别为：路径一，1-2-3-4-7-11；路径二，1-2-3-6-7-11；路径三，1-2-3-6-10-11；路径四，1-
2、2-5-6-7-11；路径五，1-2-5-6-10-11；路径六，1-2-5-9-10-11；路径七，1-8-9-10-11。 对于问题2，首先确定速度与车辆密度的关系，确定车速度密度模型是B.D.Greenshield线性模型：为使N辆车从节点1到节点0的总行驶时间最小，因为每个节点驶入的车辆数永远和驶出的车辆数相等，借此可以列出11个约束方程，从而根据每辆车行驶的速度、时间与N辆总的行驶时间的关系，我们建立了非线性规划模型。对于问题3，根据问题2所得出的结论，将车辆总数、最大车辆密度、最大车辆行驶速度带入问题2的结论中，用lingo编程求解，得：路径一：1792辆；路径二：186辆；路径三
3、：1115辆；路径四：2155辆；路径五：0辆；路径六：0辆；路径七：4752辆本文采用的模型及方法很好地将复杂的问题化成了一个较为简单的数学问题，得出的结论有较好的说明性。另外这种模型及方法可以推广到其他问题领域，实用性强。关键词：多级的树枝状模型 非线性规划模型 格林希尔治速度密度线性模型 一、问题重述某区域道路网络如图1所示，每条道路等级完全相同，某时间段内，有N辆车要从节点1出发，目的地是节点0（假设该时间段内，路网中没有其它车辆）。在该时间段内，道路截面经过的车辆数越多，车辆在该路段行驶的速度就越慢。（1）确定有效的行驶路径及其算法； （2）确定每条路径上的通过的车辆数，使N辆车从节
4、点1到节点0的总行驶时间最小；（3）N=10000，请给出具体的计算结果。注意：1、确定行驶速度与截面经过的车辆数的关系，能大概反应这种关系就可以；2、给出有效行驶路径（不走回头路的路径，具体定义要由学生给出）的算法；3、引入各条路经车辆数比例变量，描述各路段的截面车辆数，确定个路段内车辆的行驶速度；4、根据目标，建立规划模型（非线性）；5、求解，可以各自发挥，得到比较近似的解就可以。注：横向路段长度是纵向路段长度的2倍。图1 某区域道路网络图二、问题分析(一) 问题1的分析对问题1，如想确定有效路径，即求得从节点1到节点11的有效行驶路径，则必须先确定有效的行驶路径的概念。（为了方便计算各路
5、段、路径和节点的关系，我们将各节点之间的15各路段分别标号，得到各路段标号如图一）。从一个路口可以有不同的选择，可以选择不同的路径。我们定义的有效路径为从节点1到节点11的无重复、无折回的路径，即行驶方向始终朝着终点的方向，以最短路径优先的原则可知，到某一节点后，只有向该节点的右边或下边走，才能成为有效路径（此时，不用考虑车的数量和速度）。根据每辆车可能的去向选择，这里个点之间的关系，只要根据matlab编程，即可得到合理的从节点1到11的一系列有效的行驶路径方案。(二) 问题2的分析欲确定每条路径上通过的车辆数，使N辆车从节点1到节点11的总行驶时间最小，除了需要总时间的表达式，还需要各变量
6、之间的相互关系构成的约束条件。因为每个节点驶入的车辆数永远和驶出的车辆数相等，借此可以列出11个约束方程，根据假设，车的速度只与该路段车辆密度有关，与道路宽度及其他条件无关，则可根据各道路间车流量的关系，找到一系列各路径、路段与车辆总数间的约束条件。 根据道路交通流理论可知，对各路段而言，当车辆密度达到最大值时，车辆速度为0，当车辆数目趋于0时，车辆速度达到最大值。为了简化模型，我们采用车速度密度模型是B.D.Greenshield线性模型：；把时间速度每个路段的车辆数建立起联系，则可根据各道路间车流量的关系列出总时间T关于每个路段车辆数的目标方程，在配合所得的约束条件，利用Lingo编程计算
7、最终结果。(三) 问题3的分析在问题2的前提下，假设横向路段的长为100km，纵向路段的长为50km，路段,上行驶车辆的最大密度300辆/km，将N=10000带入问题2的结论中，用lingo编程求解，即可得到相应结论。三、模型假设1. 假设车辆在行驶过程中无临时停车或堵车、超车的现象。2. 假设车辆均单向行驶。3. 假设所有车辆无折回无往返现象行驶，即所有车辆只向下或向右行驶。4. 假设速度只与该路段车辆密度有关，与道路宽度无关。5. 假设车辆密度不随时间变化，不考虑车辆密度变化带来的速度变化。四、定义与符号说明符号符号定义符号定义及说明及说明车辆总数第个路段第个路径第个路段的长度第个路段的
8、速度第个路段的最大行驶速度第个路段的上行驶的时间第个路段的上行驶的车辆密度第个路段的上行驶的车辆的最大密度个路段的上行驶的总时间横向路段的长度五、模型的建立与求解（一）问题1的模型1. 模型的建立本问题可用多级的树枝状模型求解。由题目可知，车辆经过每个节点，可能有一种或两种不同的选择。每当车辆经过某一个有两种结果的节点后，车辆的可选路径方案会增多。根据研究路径方案又少变多的变化过程，可以全面地总结出所有有效地路径方案。因此可得多级的树枝状模型。2. 模型算法的基本描述此问题实际上就是通过对每个节点的分析，可逐渐得出各节点之间的关系。从而组合成最终的有效路径。因为路径为从节点1到节点11的为无重
9、复、无折回的路径，即行驶方向始终朝着终点的方向，以最短路径优先的原则可知，到某一节点后，只有向该节点的右边或下边走，才能成为有效路径。例如，在1节点，其右方和下方的节点分别为2和8，同理，在2节点，其有效节点分别为节点3、5，以此类推，可得各节点后的有效节点结果如下表:节点下一可达节点数下一可达节点122、8223、5324、6417526、9627、107111819911010111为了得到最后包含所有路径方案的矩阵，我们先从出发点开始，一步一步分析运动的过程。详细步骤如下：车辆在出发以前，它路径只有一种可能，此时路径矩阵M只有一行一列。；随着车辆路过的节点增多，它的路径变长，M矩阵的列相
10、应增多；每当车辆通过包含两种选择的节点时，由于选择的增多，矩阵的行业相应的增多。例如走到1节点后节，其下一可达节点为2和8，则M矩阵相应的变为：;以此类推，当车辆逐渐接近终点时，路径矩阵也相应地增长。当车辆最终到达终点时，矩阵也相应地增长成为最终的路径矩阵。3.模型的求解运用matlab编程，我们可得相应矩阵的最终矩阵。；即我们可得到七条有效路径，结果如下路径方案（数字为节点号）路径11-2-3-4-7-11路径21-2-3-6-7-11路径31-2-3-6-10-11路径41-2-5-6-7-11路径51-2-5-6-10-11路径61-2-5-9-10-11路径71-8-9-10-11（二
11、）问题2的模型1.模型的建立求解得问题1的7条有效路径后，为确定每条路径上通过的车辆数，使N辆车从节点1到节点0的总行驶时间最小，我们建立了非线性规划模型。 2.模型算法的基本描述由路径分布图可知，各路径与路段车辆数之间有一些内在关系，即通过该路径的车辆数即为租车该路径的路段的车辆数的总和，因此可总结出如下关系：又因为路段本身的特性，即通过一个节点后，可能进入一个或两个路段，例如通过1路段后，车辆可能进入2或5路段，则有第1路段上的车辆数等于第2和第5路段上车辆数的总和，即以此类推，可得到一系列各路段间车辆数的关系又因为出发车辆数为车辆总数，到达重点的车辆数的和为车辆总数，则可得到如下关系根据
12、道路交通流理论可知，对各路段而言，当车辆密度达到最大值时，车辆速度为0，当车辆数目趋于0时，车辆速度达到最大值。为了简化模型，我们采用车速度密度模型是B.D.Greenshield线性模型：； 其中，每个路段的车流密度为该路段上车辆数与该路段长度的比值，即：又因为，每个路段上的时间为该路段的长度与该路段上行驶速度的比值，即：从而得到 因此，目标函数所有车辆行驶的总时间的表达式为：若使所有车辆行驶的总时间最小，就可以转化为求解的最小值问题（二）问题3的模型根据模型二中的目标函数和约束条件，利用Lingo软件编程（附录2），得到的结果如下：（1）、各条路径车辆数：有效路径i车辆数/辆路径11792
13、路径2186路径31115路径42155路径50路径60路径74752（2）、各条路段车辆数：路段i车辆数/辆路段15247路段23092路段31792路段44752路段52155路段61301路段71791路段80路段91115路段104132路段112155路段122340路段134752路段144752路段155867（3）、各条路段车辆行驶速度：路段i车辆速度/千米每小时路段149.50路段253.81路段356.42路段440.99路段551.38路段654.80路段752.83路段860.00路段955.54路段1043.47路段1155.69路段1255.32路段1350.50路
14、段1450.50路段1548.26六、模型评价与推广一、模型的评价：1、模型优点：1)、通过各种假设，把复杂问题一步步简化，使得模型容易建立，且模型简单，其算法简单直观，容易编程实现。2)、把实际问题的求解成功地转化为对一个目标函数最小值的求解，所得路段车辆分配方案为此模型的最终解决方案。3)、通过约束变量的值的确定，如道路的长度、车流量密度、最大速度，得出的结果符合实际，可移植性强，适用于类似的实际问题的交通流量配置。2、模型缺点：1)、模型二我们选择的速度密度模型是B.D.Greenshield线性模型，其速度是根据密度的简单运算求得，并没有考虑实际情况中其他影响因素。所以用该模型求得的结
15、果存在一定误差。2）、虽然最终模型得以求解，但是所选择线性的速度密度模型是线性的缺乏大量实验证实，缺乏统计性验证。二、模型的改进：在实际情况下，道路处于不同状态时，车速受车流量影响的程度也可能大不一样，例如车辆极少时车辆增多并不一定会带来明显的车速变化；相反车辆较多道路拥挤的时候因为车流量的一点变化很可能导致整个道路瘫痪。因此可以采用BPR模型来模拟道路真实情况。BPR 模型由美国联邦公路局于1964 年提出的, 是交通规划领域使用最广泛的路阻函数模型。在该模型中, 认为行程时间是流量与通行能力比值的非线性函数, 其数学表达式为:是路段a时刻t的行程时间是交通量为零时路段a的行程时间是路段a时
16、刻t的机动车交通量 是路段a时刻t的实际通行能力、是参数，根据实际道路不同而取不同的值。模型中根据道路的不同状态给出了行驶时间的不同表达方式该模型约束条件与模型二相同。它在模型二的基础上，修正了时间与车辆密度的关系，使模型更接近于实际情况。三、模型的推广：本模型虽然给出了特定路况下的一种最优方案，但是只要稍加改进就可以应用到更复杂的路况，甚至可以将这种方法及思路推广到人群应急疏散、运输系统的管理、铁路或航空运输方案设计、城市规划及交通网络建设等更广泛的领域。七、参考文献 1 蒋启源，谢金星，叶俊，数学模型，高等教育出版社，2003。2 刘承平，数学建模方法，高等教育出版社，20023毛文艳，城
17、市道路拥堵成因及基于格林希尔特宏观流模型的成本分析，当代经济，2012.24姜桂艳，李继伟，张春勤，城市主干路路段行程时间估计的BPR修正模型，西南交通大学学报，2010.25 莫业柳，优化速度模型的密度波与能耗研究及车辆启动时间实测分析（硕士学位论文），2008.6.26八、附件1.问题1求解有效路径的matlab程序e=2 2 2 1 2 2 1 1 1 1; 2 3 4 7 6 7 11 9 10 11; 8 5 6 0 9 10 0 0 0 0;m=zeros(1);m(1,1)=1;n=1;for j=1:6 for i=1:n if m(i,j)0 if m(i,j)11 if e
18、(1,m(i,j)=2 m(n+1,:)=m(i,:); n=n+1; m(n,j+1)=e(3,m(i,j); end m(i,j+1)=e(2,m(i,j); end end endendfor i=n:-1:1 if m(i,1)=0 m(i,:)=; endendm结果：2问题3求解有效路径的lingo程序model:sets:LT/1.15/:t,l,v,n;lujing/1.7/:m;endsetsdata:vf=60;pf=300;l=100 100 100 50 50 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100;enddatamin=sum(LT(i)
19、:t(i);for(LT(i):t(i)=(l(i)2*pf/(vf*(l(i)*pf-n(i)*n(i);n(1)+n(4)=10000;n(2)+n(5)=n(1);n(3)+n(6)=n(2);n(3)=n(7);n(8)+n(11)=n(5);n(6)+n(11)=n(9)+n(12);n(12)+n(7)=n(10);n(4)=n(13);n(8)+n(13)=n(14);n(9)+n(14)=n(15);n(15)+n(10)=10000;n(1)=m(1)+m(2)+m(3)+m(4)+m(5)+m(6);n(2)=m(1)+m(2)+m(3);n(3)=m(1);n(4)=m(
20、7);n(5)=m(4)+m(5)+m(6);n(6)=m(2)+m(3);n(7)=m(1);n(8)=m(6);n(9)=m(3)+m(5);n(10)=m(1)+m(2)+m(4);n(11)=m(4)+m(5);n(12)=m(2)+m(4);n(13)=m(7);n(14)=m(6)+m(7);n(15)=m(3)+m(5)+m(6)+m(7);for(LT(i):v(i)=vf*(1-n(i)/(l(i)*pf);end结果： Local optimal solution found. Objective value: 75137.82 Total solver iteration
21、s: 34 Variable Value Reduced Cost VF 60.00000 0.000000 PF 300.0000 0.000000 T( 1) 10600.17 0.000000 T( 2) 5747.084 0.000000 T( 3) 3175.722 0.000000 T( 4) 5796.977 0.000000 T( 5) 2096.928 0.000000 T( 6) 1187.255 0.000000 T( 7) 1695.553 0.000000 T( 8) 0.000000 0.3351759 T( 9) 1004.008 0.000000 T( 10)
22、4753.057 0.000000 T( 11) 3869.310 0.000000 T( 12) 4231.352 0.000000 T( 13) 9411.601 0.000000 T( 14) 9411.601 0.000000 T( 15) 12157.20 0.000000 L( 1) 100.0000 0.000000 L( 2) 100.0000 0.000000 L( 3) 100.0000 0.000000 L( 4) 50.00000 0.000000 L( 5) 50.00000 0.000000 L( 6) 50.00000 0.000000 L( 7) 50.0000
23、0 0.000000 L( 8) 50.00000 0.000000 L( 9) 50.00000 0.000000 L( 10) 50.00000 0.000000 L( 11) 100.0000 0.000000 L( 12) 100.0000 0.000000 L( 13) 100.0000 0.000000 L( 14) 100.0000 0.000000 L( 15) 100.0000 0.000000 V( 1) 49.50481 0.000000 V( 2) 53.81447 0.000000 V( 3) 56.41672 0.000000 V( 4) 40.99038 0.00
24、0000 V( 5) 51.38067 0.000000 V( 6) 54.79550 0.000000 V( 7) 52.83345 0.000000 V( 8) 60.00000 0.000000 V( 9) 55.53907 0.000000 V( 10) 43.47056 0.000000 V( 11) 55.69034 0.000000 V( 12) 55.31855 0.000000 V( 13) 50.49519 0.000000 V( 14) 50.49519 0.000000 V( 15) 48.26472 0.000000 N( 1) 5247.594 0.000000 N
25、( 2) 3092.763 0.000000 N( 3) 1791.638 0.000000 N( 4) 4752.406 0.000000 N( 5) 2154.832 0.000000 N( 6) 1301.125 0.000000 N( 7) 1791.638 0.000000 N( 8) 0.000000 0.000000 N( 9) 1115.233 0.000000 N( 10) 4132.361 -0.3253936E-08 N( 11) 2154.832 0.000000 N( 12) 2340.723 0.000000 N( 13) 4752.406 0.000000 N(
26、14) 4752.406 0.000000 N( 15) 5867.639 0.000000 M( 1) 1791.638 0.000000 M( 2) 185.8922 0.000000 M( 3) 1115.233 0.000000 M( 4) 2154.831 0.000000 M( 5) 0.8717835E-03 0.000000 M( 6) 0.000000 0.000000 M( 7) 4752.406 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 75137.82 -1.000000 2 0.000000 -1.000000 3 0.00
27、0000 -1.000000 4 0.000000 -1.000000 5 0.000000 -1.000000 6 0.000000 -1.000000 7 0.000000 -1.000000 8 0.000000 -1.000000 9 0.000000 -0.6648241 10 0.000000 -1.000000 11 0.000000 -1.000000 12 0.000000 -1.000000 13 0.000000 -1.000000 14 0.000000 -1.000000 15 0.000000 -1.000000 16 0.000000 -1.000000 17 0
28、.000000 -4.138649 18 0.000000 -1.690395 19 0.000000 0.3814299 20 0.000000 0.000000 21 0.000000 -0.5540201 22 0.000000 0.000000 23 0.000000 -1.960693 24 0.000000 2.353159 25 0.000000 0.000000 26 0.000000 -2.353159 27 0.000000 -4.928837 28 0.000000 0.000000 29 0.000000 0.000000 30 0.000000 -2.266535 31 0.000000 0.000000 32 0.000000 0.000000 33 0.000000 -1.380582 34 0.000000 0.8859532 35 0.000000 0.000000 36 0.000000 1.380582 37 0.000000 1.380582 38 0.000000 -1.380582 39 0.000000 0.000000 40 0.000000 0.000000 41 0.000000 0.000000 42 0.000000 0.000000 43 0.000000 0.000000
