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1、第三节 向量值函数在定向曲线上的积分,(第二类曲线积分),二、问题的提出,四、第二类曲线积分的计算,三、第二类曲线积分的概念,一、定向曲线及其切向量,一、定向曲线及其切向量,1、带有确定走向的曲线称为定向曲线,用 表示起点为 A,终点为 B 的定向曲线(弧).,2、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是与曲线的走向相一致.,二、问题的提出,实例:变力 F 沿曲线 L 所作的功,常力所作的功,分割,三、第二类曲线积分的概念,1.定义,记为：,即：,则：,2.第二类曲线积分存在的充分条件：,3.第二类曲线积分的性质,1)第二类曲线积分具有线性性质,2)对于定向积分曲线弧的可加性,即对坐标的曲线积分
2、与曲线的方向有关.,四、第二类曲线积分的计算,定理,特殊情形,例1,解一：,例1,解二：,说明：,2)第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，但此时定积分的上、下限要根据题目中给定的定向曲线弧的起点和终点来选定，下限不一定小于上限.,3)计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分曲线的定向问题，要慎用对称性.一般地，在曲线积分化为定积分后再对定积分考虑能否用对称性简化计算.,例2,解:(1)L的参数方程为,则,(2)L 的方程为,则,被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,解,例2,概念与性质可以推广到空间曲线,例4,解,例5,解:曲线 的参数方程为,例6,解:曲线 C 的参数方程为,例7,五、两类曲线积分之间的联系：,其中,（可以推广到空间曲线上）,例,解,L的方程为,原式,六、小结,1、第二类曲线积分的概念,2、第二类曲线积分的计算,3、两类曲线积分之间的联系,思考题,思考题解答,曲线方向由参数的变化方向而定.,练 习 题,练习题答案,
