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1、2023/6/20,抛物线及其 标准方程,抛物线的生活实例,投篮运动,2023/6/20,2023/6/20,萨尔南拱门,2023/6/20,抛物线及其标准方程,实验模型：,如图，点F是定点,L是不经过点F的定直线。H是L 上任意一点，过点H 作，线段FH的垂直平分线交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？,实验,平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,一、抛物线定义,其中 定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线,定义告诉我们：,1、判断抛物线的一种方法,2、抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH|,1、到定点
2、（3，0）与到直线 的距离相等的点的轨迹是（）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线2、到定点（3，0）与到直线 的距离相等的点的轨迹是（）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线,C,D,练习,二、抛物线的标准方程,1.建:建立直角坐标系.,3.限（现）:根据限制条件列出等式;,4.代:代入坐标与数据;,5.化:化简方程.,2.设:设所求的动点(x,y);,回顾求曲线方程一般步骤：,F,M,l,H,建系,O,N,F,K,（一）标准方程的推导:,F,设KF=p（p 0）,由|MF|=|MH|可知，,如图，以过F点垂直于直线 的直线为 轴，F和垂足的中点为坐标原点建立直角坐标系,把方程 y
3、2=2px（p0）叫做抛物线的标准方程,而p 的几何意义是:,焦点到准线的距离,（二）四种抛物线的标准方程,图,（三）区别与联系,1、四种形式标准方程及图像的共同特征,（1）、二次项系数都化成了_,（2）、四种形式的方程一次项的系数都含2p,1,（3）、四种抛物线都过_点；焦点与准线分别位于此点的两侧，且离此点的距离均为_,O,1、一次项(x或y)定焦点,2、一次项系数符号定开口方向.正号朝坐标轴的正向，负号朝坐标轴的负向。,二、四种形式标准方程及图像的区别,例1 已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；,解:2P=6,P=3所以抛物线的焦点坐标是（，0）准线方程是x=,三
4、、应用,练习,求下列抛物线的焦点坐标和准线方程,（1）y 2=-20 x,（2）y=6 x 2,焦点F(-5,0),准线：x=5,例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）求它的标准方程。,解:因为焦点在y的负半轴上,所以设所求的标准方程为x2=-2py,由题意得，即p=4,所求的标准方程为x2=-8y,解题感悟:,求抛物线标准方程的步骤：,（1）确定抛物线的形式.,（2）求p值,（3）写抛物线方程,求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解:（1）当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把A（-3，2）代入x2=2py，得p=,（2）当焦点在x轴的负半轴上时，把A（-3，2）代入y2=-2px，
5、得p=,抛物线的标准方程为x2=y或y2=x。,巩固提高：,注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论,例3.一种卫星接收天线的轴截面如图。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。,小结,1.理解抛物线的定义,2.掌握抛物线的标准方程的四种形式以及P的几何意义.,3.注重数形结合、分类讨论思想的应用,练习,根据下列条件写出各自的抛物线的标准方程,（1）焦点是 F（3，0）,（2）焦点到准线的距离为2,y 2=12x,y 2=4x,y 2=4x,x 2=4y,x 2=4y,二次函数(a 0)的图象为什么是一条抛物线？试指出它的开口方向、焦点坐标和准线方程。,解：二次函数 化为：其中,思考:,作业,P73 A组：1,2（必做）补充：求经过点p（4，-2）的抛物线 的标准方程。,解法一：以 为 轴，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定点 设动点点，由抛物线定义得：,化简得：,解法二：以定点 为原点，过点 垂直于 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示），则定点，的方程为,设动点，由抛物线定义得,化简得：,y22p(p0),M,
