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1、9.1 概 述Introduction,第九章 矩阵位移法,1.概述,结构矩阵分析是采用矩阵方法分析结构力学问题的一种方法。与传统的力法、位移法相对应，结构矩阵分析中也有矩阵力法和矩阵位移法，或柔度法与刚度法。矩阵位移法易于实现计算过程程序化而被广泛应用。,矩阵位移法是以结点位移为基本未知量，借助矩阵进行分析，并用计算机解决各种杆系结构受力、变形等的方法。,手算怕繁、电算怕乱。,但由于有时考虑杆件的轴向变形，且把杆件铰结端的转角也作为基本未知量，因此，基本未知量数目比传统位移法的基本未知量多一些。,理论基础：位移法分析工具：矩阵计算手段：计算机,2.矩阵位移法的基本思路,集合,离散,结构,（有
2、限）单元分析,整体分析,形成单元刚度矩阵；建立单元刚度方程。,形成结构刚度矩阵；建立结构刚度方程。,单元杆端力、支座反力,结点位移分量,矩阵形式的单元转角位移方程（满足物理关系）,矩阵形式的位移法基本方程（满足平衡条件、变形协调条件）,3.要解决的问题,整体分析：研究结构整体的平衡条件、平衡方程的组成规律和求解方法。,编制程序：根据矩阵位移法的分析原理，绘制程序运行框图并选择一种计算机语言给予实现，又称为程序设计。,离散化：确定坐标、单元编码、结点编码（总体码和局部码）、位移分量编码（总体码和局部码）,单元分析：研究单元的力学特性，建立单元杆端力和杆端位移的关系。,9.2 单元分析Elemen
3、t analysis,第九章 矩阵位移法,1.结构的离散化,将一个在荷载作用下的连续结构划分成若干个各自独立的单元，单元之间由结点连接，用此计算模型模拟原结构的受力和变形特性。模型和原结构是有差别的，这个差别可以通过单元的适当选取予以降低。主要工作：单元的划分；体系的数字化。,单元应为等截面直杆，一根杆件可以划分为一个或几个单元，但是一根桁架杆只能作为一个单元。,（1）结点编码、单元编码,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,FP,结构中一般的构造结点如杆件的转折点、汇交点、支承点、变截面处应作为结点，而非构造结点，如集中荷载作用点也可以作为结点处理。,整体坐标系（结构坐标系）：为研究结构
4、整体平衡条件和变形协调条件而建立的统一的公共坐标系。整体坐标系一般采用右手系，以水平方向为 x 轴。,结点编码的目的：一是确定结构的空间位置和结构形状；二是确定所计算结构总的未知数数目。,结点编码 对于连接多个单元的刚结点以及仅连接桁架单元的铰结点，一个结点可以采用一个结点号；否则，应在此处将彼此刚结的点编一个结点号，而非刚结的单元杆端须编另外的结点号。,原则：相关结点（结点之间有杆件相连）的编码要尽可能的接近。以减少总刚度矩阵的带宽，节约计算机存储空间。汇交于结点的所有单元，称为结点的相关单元。,单元编码的目的：确定每一个单元（杆件）在整个结构中的相应位置。,单元编码 单元编码方式对计算结果
5、没有影响。对于大型结构一般按照单元的类型进行编码，同一类型的单元连在一起编码。,结点编码,练习：,（2）结点位移编码,结点位移的统一编码 整体码 用矩阵位移法进行结构分析时，基本未知量是结点位移，这就需要将结构中全部结点位移分量进行统一编码。,矩阵位移法基本未知量的确定：矩阵位移法基本未知量的确定不是唯一的，它与单元如何划分，是否考虑轴向变形以及如何编写程序有关。,按照结点编码顺序进行；同一结点按照 x y 顺序进行；平面梁每个结点只有两个独立的位移分量；平面桁架每个结点只有2个独立的位移分量；平面刚架每个结点只有3个独立的位移分量；相同的结点位移应编成同一个号码。,编码时要考虑以下因素：位移
6、边界条件的处理 根据引入边界条件的先后，形成总刚度矩阵的方法分为先处理法和后处理法。同一结构采用后处理法或先处理法计算，基本未知量的数目是不同的，因此结点位移分量的编码方法也不相同。后处理法是在形成结构原始刚度矩阵之后引入位移边界条件。对所有的结点位移分量按照结点编码进行自然数顺序编码，包括已知位移和未知位移分量。先处理法是在形成结构总刚度方程之前，已引入了位移边界条件和特定的位移关系。仅对未知的结点位移分量进行自然数顺序编码，而对那些已知的结点位移分量，编码均取为0。,结构变形情况 同一结构在同时考虑杆件弯曲变形、轴向变形和只考虑弯曲变形而不计直杆轴向变形两种情况下，结点编码完全相同，但是结
7、点位移分量的编码却不相同。不计直杆轴向变形时，未知的结点位移分量数目要少一些。,练习：先处理法、考虑轴向变形，完成结点位移分量编码。,参考答案：,杆端位移分量的编码 局部码 i j；x y 轴力单元：14；一般单元：16。,2.单元分析,建立单元的杆端力和杆端位移之间关系的过程称单元分析，形成的方程称单元刚度方程。,不同类型的单元通常具有不同的单元刚度方程形式，但总的思想不变。,按照单元的受力情况，可将单元分为刚架单元和桁架单元。其中，刚架单元以弯曲变形为主，产生轴力、剪力和弯矩；桁架单元只发生轴向变形，故只存在轴力。,局部坐标系（单元坐标系）：进行某一单元的单元分析时所建立的坐标系。局部坐标
8、系相对于整体坐标系的方位角用表示。的方向以 x 轴向 x 轴逆时针转动为正。即便在一个结构中，各单元的局部坐标系也不完全相同。,（1）单元杆端力和杆端位移的表示方法,，,符号规定：杆端力、杆端位移与局部坐标系正方向一致时为正,（2）单元刚度矩阵,局部坐标系下的单元刚度方程,局部坐标系下的单元刚度矩阵,（3）单元刚度矩阵的性质与特点,第 j 列元素的物理意义：第 j 号杆端位移沿其正向发生单位位移，而其它杆端位移均为 0 时，该单元全部杆端力的大小。,局部坐标系下的单元刚度矩阵只与单元本身的属性，如单元长度、材料弹性模量、横截面面积、横截面惯性矩等有关。,单元刚度矩阵是对称方阵，这一点可由反力互
9、等定理得到证明。,一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵，不存在逆矩阵。因此，已知杆端位移可以确定杆端力，而已知杆端力则不能确定杆端位移；梁单元的单元刚度矩阵是非奇异的。,单元刚度矩阵可以用子块形式表示：,（4）特殊单元,不计轴向变形的刚架单元：,梁式单元：,桁架单元：,3.坐标转换,（1）问题的提出,（2）坐标转换（刚架单元）,坐标转换矩阵是一个正交矩阵,（2）坐标转换（桁架单元）,（2）坐标转换（桁架单元）,（3）整体坐标系下的单元刚度矩阵,整体坐标系下的单元刚度矩阵,整体坐标系下的单元刚度方程,坐标转换例题,例：求整体坐标系下的单元刚度矩阵。其中 l=2m，EA=1.2106kN。,1,2,4,3,1,2,单元 0,单元 45,下一步做什么？,在建立单元刚度方程的基础上，要通过结点平衡得到结构的整体平衡方程 整体分析。,谢 谢!2006.8,
