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1、第二节 数据集位置的测度,一、平均指标的概念和作用二、算术平均数三、调和平均数四、几何平均数五、众数六、中位数七、各种平均数之间的相互关系,一、平均指标的概念和作用,一、平均指标的概念和作用,平均指标的作用：可用于同类现象在不同空间条件下的对比可用于同一总体指标在不同时间的对比可作为论断事物的一种数量标准或参考可用于分析现象之间的依存关系和进行数量上的估算。,二、算术平均数,二、算术平均数,算术平均数的基本公式,算术平均数(计算公式),设一组数据为：X1，X2，XN 简单算术平均数的计算公式为,设分组后的数据为：X1，X2，XK 相应的频数为：F1，F2，FK加权算术平均数的计算公式为,简单算
2、术平均数(算例),原始数据:10591368,加权算术平均数（算例）,【例3.7】根据下表数据，计算50 名工人日加工零件数的均值,加权算术平均数(权数对均值的影响),甲乙两组各有10名学生，他们的考试成绩及其分布数据如下 甲组：考试成绩（X）:0 20 100 人数分布（F）：1 1 8 乙组：考试成绩（X）:0 20 100 人数分布（F）：8 1 1,算术平均数(数学性质),2.如果每个变量值 都加或减任意数值A，则，平均数也要增多或减少这个数A。,1.算术平均数与总体单位数的乘积等于总体各单位标志值的总和。,算术平均数(数学性质),3.如果每个变量值都乘以或除以任意数值A，则平均数也要
3、乘以或除以这个数A。,5.各变量值与均值的离差平方和最小,4.各变量值与均值的离差之和等于零。,算术平均数的不足,算术平均数易受极端变量值的影响，使得平均数代表性变小；而且受极大值的影响大于受极小值的影响。当组距数列为开口组时，由于组中值不易确定，使平均数的代表性不很可靠。,三、调和平均数,调和平均数(概念),调和平均数又称为“倒数平均数”，它是各个变量值倒数的算术平均数的倒数。计算公式为,调和平均数(算例:由平均数计算),【例3.9】某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如下表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格,调和平均数,特点：数列中各标志值不能为零；受极端值影响，并且受极小值的影响大于受极大值
4、的影响，但比算术平均数受极端值的影响要小。,四、几何平均数,几何平均数(概念要点),几何平均数又称“对数平均数”，它是若干项变量值连乘积开其项数次方的算术根。变量本身是比率形式时，当各项变量值的连乘积等于总比率时，适宜用几何平均数计算平均比率。(工农业总产值平均发展速度，企业股票年均收益率等）。,几何平均数(简单几何平均数),其计算公式为,可以用对数形式表示为,几何平均数(简单几何平均数算例),【例3.11】我国某工业产品19941998年期间产量资料如下表，计算产品平均发展速度。,几何平均数(简单几何平均数算例),平均发展速度：,用对数计算,几何平均数(加权几何平均数),其计算公式为,可以用
5、对数形式表示为,几何平均数(算例),【例3.12】投资银行43年的利率分配为：1年为3，4年为5，8年为8，10年为1020年为15。计算平均年利率。,几何平均数(算例),43年的平均年利率为11.2617,几何平均数(特点),数列中标志值不能为零或负；受极端值影响较算术平均数和调和平均数要小，较稳健；适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总体标志值不是各单位标志值的总和，而是各单位标志值的连乘积。,五、众数,众数(概念要点),集中趋势的测度值之一出现次数最多的变量值不受极端值的影响可能没有众数或有几个众数总体的单位数较多，且分配集中，不呈均匀分布，众数才有意义,众数(众数的不唯一性),无众数
6、原始数据:10 5 9 12 6 8,一个众数原始数据:6 5 9 8 5 5,多于一个众数原始数据:25 28 28 36 42 42,品质数列或单项数列的众数(算例),【例3.13】计算众数,解：这里的变量为“广告类型”，这是个定类变量，不同类型的广告就是变量值。我们看到，在所调查的200人当中，关注商品广告的人数最多，为112人，占总被调查人数的56%，因此众数为“商品广告”这一类别，即 Mo商品广告,品质数列或单项数列的众数(算例),【例3.14】,解：这里的数据为定序数据。变量为“回答类别”。甲城市中对住房表示不满意的户数最多，为108户，因此众数为“不满意”这一类别，即 Mo不满意
7、,组距数列的众数(要点及计算公式),1.众数的值与相邻两组频数的分布有关,2.公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布,3.相邻两组的频数相等时，众数组的组中值即为众数,组距数列的众数(要点及计算公式),4.相邻两组的频数不相等时，众数采用下列近似公式计算,组距数列的众数(算例),【例3.15】,众数的特点,是位置平均数，只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，不受极端值和开口组的影响，增强了其代表性；当分布数列中无明显的集中趋势而呈均匀分布时，无众数；当变量数列不等距分组时，众数不易确定。,六、中位数和分位数,中位数(概念要点),集中趋势的测度值之一排序后处于中间位置上的值,不受极端值的影响各变量
8、值与中位数的离差绝对值之和最小，即,未分组数据的中位数(计算公式),未分组数据：,未分组数据的中位数(5个数据的算例),原始数据:24 22 21 26 20排 序:20 21 22 24 26位 置:1 2 3 4 5,中位数 22,未分组数据的中位数(6个数据的算例),原始数据:10 5 9 12 6 8排 序:5 6 8 9 10 12位 置:1 2 3 4 5 6,品质数列或单项数列的中位数(计算方法),1.位置公式：,2.计算各组的累计频数,3.根据中位数的位置找出中位数,单项数列的中位数(算例),【例3.16】,从向上累计和向下累计中可以找到累计频数有40的那一组的标志值为34，即
9、Me34件,品质数列的中位数(算例),【例3.17】,解：中位数的位置为：300/2150从累计频数看，中位数的在“一般”这一组别中。因此 Me一般,组距数列的中位数(要点及计算公式),根据位置公式确定中位数所在的组假定中位数组的频数在该组内均匀分布采用下列近似公式计算：,Sm-1 中位数所在组以前各组的累计次数(向上累计)；Sm+1 中位数所在组以后各组的累计次数(向下累计)。,组距数列的中位数(计算公式几何证明),【例3.18】某班统计学成绩如下表，计算中位数,中位数组为7080分,组距数列的中位数(计算公式几何证明),组距数列的中位数(算例),【例3.19】计算50 名工人日加工零件数的中位数,各种平均数之间的比较,算术平均数、几何平均数、调和平均数的关系,关系：,证明：,众数、中位数和均值的关系,结 束,
