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1、平行四边形分类讨论问题上海市松江区中考如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 求 tanZABO 的值；交抛物线于点(3) 过点B作BCx轴，垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N, M,若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标.(1)将 A(0, 1)、B(4, 3)分别代入 y=x2+bx+c,得c = 1,. .一 9解得b = 一，c=1.-16 + 4b + c = 3.2图2所以抛物线的解析式是y = - x 2 + 9. x +1.(2)在 RtABOC 中，OC=4, BC=3,所以
2、OB = 5. 如图2,过点A作AHLOB，垂足为H.4 所以 AH = OA sinZAOH = 5 .4 在 RtAAOH 中，OA = 1, sin ZAOH = sin ZOBC = 5一 .322所以OH = 5 , BH = OB-OH =.AH 4 22 2 在 RtAABH 中，tan ZABO = :一=BH 5 5 11(3)直线AB的解析式为y = 2x +1.91设点M的坐标为(x, -x2+-x +1)，点N的坐标为(x, x +1),2291那么 MN = (x2 + x +1) ( x +1) = x2 + 4 x .22当四边形MNCB是平行四边形时，MN=BC
3、=3.解方程一x2+4x=3，得 x=1 或 x=3.9因为x=3在对称轴的右侧(如图4),所以符合题意的点M的坐标为(1-)(如图3).2图3图4第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于j轴交直线AB于N,如果M、N、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标.那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN=yMyN或MN=yNyM.由 yN-yM=4x-x2，解方程x2-4x=3,得x = 2土万（如图 5）.5 +32所以符合题意的点M有4个：（1,9）, （3,11） , （2 J7，W7）, （2+克,222图5福州市中考第21题如图1,在RtAABC中，匕C=90,
4、AC=6, BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长 度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/BC,交AB 于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动 的时间为t秒（tN0）.（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=, PD=；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改 变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2,在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长.图2图1
5、,一、一一一 _4(1) QB=8-2t, PD= 31 .(2)如图3,作ZABC的平分线交CA于P,过点P作PQ/AB交BC于Q,那么四边形PDBQ是菱形.过点P作PEL AB,垂足为E,那么BE=BC=8.在 Rt ABC 中， AC =6, BC =8, 所 以 AB =10.图 3在 RtAPE 中，cos A =竺=-=3，所以 t = 10 .AP t 53当 PQ/AB 时，CQ = CP , CB CA6 10即学=寻.解得cq = 32.所以点Q的运动速度为32-10 =1693 15(3)以C为原点建立直角坐标系.如图4,当t=0时，PQ的中点就是AC的中点E(3, 0)
6、.如图5,当t=4时，PQ的中点就是PB的中点F(1, 4).直线EF的解析式是j=-2x+6.如图6, PQ的中点M的坐标可以表示为(必,t).经验证，点M (丑,t)在直线EF上.22所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF= 25 .第(3)题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t=2时，PQ的中点为(2, 2).设点M的运动路径的解析式为y=ax2+bx+c,代入E(3, 0)、F(1, 4)和(2, 2),9a + 3b + c = 0,得 a + b + c = 4,解得 a=0, b= 2, c=6.4a + 2b + c = 2.所以点M的运动路径的解析
7、式为y=2x+6.烟台市中考第26题如图1,在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A为顶点的抛物线y =ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D 运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒.过点P作PELAB交AC于点E.(1) 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 过点E作EFLAD于F,交抛物线于点G,当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？(3) 在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C、Q、E
8、、 H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.(1) A(1, 4).因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为广心一1)2+4, 代入点C(3, 0)，可得a= 1.所以抛物线的解析式为j=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.(2) 因为 PE/BC,所以 =竺=2 .因此PE = 1AP = 11.PE BC22所以点E的横坐标为1 +11 .2将x = 1 + t代入抛物线的解析式，y=(x1)2+4= 4- 12.24所以点G的纵坐标为4-112 .于是得到GE = (4-112)-(4-1) = -112 +1 .444因此 S = S + S= 1 GE (AF + DF) = -
9、112 +1 = - 1(t - 2)2 +1.KACGAAGEACGE 244所以当t=1时，AACG面积的最大值为1.(3) t = 20或t = 20-85 .13第(3)题的解题思路是这样的：因为FE/QC, FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点F关于PE轴对称的点灯，那么四边形 EHCQ也是平行四边形.再根据FQ = CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ=CQ列关于t的方程，检验四边 形EHCQ是否为菱形.E(1+11,4 -1)，F(1+11,4)，Q(3,t)，C(3,0).22如图 2，当 FQ=CQ 时，FQ2=CQ2，因此(11-2)2
10、+(4-1)2 = 12 .2整理，得12 - 40t + 80 = 0 .解得t1 = 20 - 8挺，七=20 + 8挺(舍去).如图 3，当 EQ=CQ 时，EQ2=CQ2，因此(11-2)2 + (4-2t)2 = 12.2整理，得 13t2 -72t + 800 = 0 . (13t-20)(t-40) = 0 .所以 t = 20，t = 40 (舍去).1132【2013 浙江温州24题】如图，在平面直角坐标系轴，直线AB与x轴、j轴分别交于点A (6, 0)、B (0, 8), 点C的坐标为(0，m)，过点C作CELAB于点E,点D为x轴上一动点，连接CD、DE,以CD、DE为
11、边作平 行四边形CDEF。(1) 当0mPC,不存在满足条件的m。 当m=0时，点C与点O重合，如图b,显然 满足条件。 当m0,且点E与点A重合时，以CE为直 径作。P必过点O,当点D与点O重合时，平行四边 形CDEF为矩形，如图c。VZBAC=90，AOBC9.OA2=OB - OC(射影定理).OC=-9m=2 当m0)图象上一点P，PAx轴于点A (a，0)，点B坐标为(03)x(b0)，动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连接AQ，取AQ的中点为C。(1) 如图2，连接BP，求APAB的面积；(2) 当点Q在线
12、段BD上时，若四边形BQNC时菱形，面积为-*，求此时P点的坐标；6解：(1)由题意可得，OA=a，AP=a11 6S*d= = AP OA a=3&AB 22 a(2)VDBAB/.ZABQ=90/ C是AQ的中点BC=CQ=AC.四边形BQNC 是菱形.BC=BQ=CN=QN. BC=BQ=CQ=CN=QN/.ABCQANCQ是等边三角形/.ZAQB=60/.ZBAQ=30.菱形BQNC的面积为2由 BC=BQ=2，AQ=4/. AB= 3VBQ=NQ，ZAQB=ZAQN=60，AQ=AQ .ABQ*ANQ /.ZNAQ=ZBAQ=30 /.ZBAO=30 3. . OA=AB=3，即 a
13、=36点P在y=图象上，X.点P坐标为(3，2)(3)易证 ABDsABOA，PAx 轴BD AB则 =OA OB OA=3，OB=1.ABK10，BD=310 当Q在线段BD上时，如图3a。.四边形BCNQ是平行四边形(3) 当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B、C、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平 行四边形的周长。O DPC.CNQD, CN=BQVC是AQ的中点 N是AD的中点1 BQ=-(BD-BQ)1CN= - QD.BQ=；BD=10.AQ= (AB2 + BQ2 = 5BC= AQ=寸5 .(bcnq=2(BC+BQ)=2 J10 +2 商 当Q在线段BD的
14、延长线上时，如图3b。1VBC=CQ= AQ.平行四边形BCQN是菱形.AQ=2CQ=2BNVBNAQBD BN _ 1DQ 一祯一2.DQ=2BDy BQ=BD+DQ=3BD=9 而y.AQ= *B Q2 + ABO =2d205 CQk205 xEc 小 f eQ o A)JD.CbcQn=4CQ=05 F、_O DA xEQ px图13b故，该平行四边形的周长为2 %而+2 w5或4x205【2013 浙江嘉兴&舟山24题】如图，在平面直角坐标系xQy中，抛物线y=：（x-m）2-4 m2+m的顶点为A, 与y轴的交点为B,连结AB, ACXAB,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=A
15、C，连结BD。作AEx轴， DE y 轴。（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？过点D作AB的平行线，与第（3）题确定的函 数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形？解：（1）：点B是抛物线与y轴的交点.当m=0时，点A、B重合，故舍去.当x=0时，m2m2+m=m44.*.m=8.点B坐标为（0，2）（ii）当四边形ABPD为平行四边形时，如图左侧。同理可得 PH=AF=AE=-m，DH= BF= 4 m2（2）延长EA交y轴于FDE y 轴，AC=AD二 DE=CF易得 A （m，-
16、二 m2+m），B （0， m）4.BFm2，AF=m4VACXAB，即 ZBAC=90，AFBC.AF2=BF - CF（射影定理）ACF=4，即 DE=4（3）.点D的坐标为（x，y），DE=4.点E的坐标为（x，y-4）VA （m，-4m2+m）是 EF 的中点，EFx 轴.*.x=2m， y-4=m2+m/4消去m得，y关于x的函数关系式为：11/y =x 2 + x + 4162则点P坐标为（m，m+4）代入中解析式得m+4=- = m2+=m+4162即m2+8m=0，解得m=0（舍去）或-8/. m=-8故，当m=8时，以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形i）当四边形ABDP为平行四边形时，如图右侧。过点P作PHXDE于H，易证 PDHAABF PH=AF=AE=m，DH=BF=1 m24一1则点P坐标为（3m，- m2+m+4）、193代入中解析式得-二m2+m+4=-“ m2+二m+42162即m2-8m=0，解得m=0或8
