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1、第四节 矩、协方差矩阵,原点矩 中心矩协方差矩阵n 元正态分布的概率密度小结 布置作业,一、原点矩 中心矩,定义 设X和Y是随机变量，若,存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩,存在，称它为X的k阶中心矩,可见，均值 E（X）是X一阶原点矩，方差D（X）,是X的二阶中心矩。,协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.,称它为 X 和 Y 的 k+L 阶混合（原点）矩.,称它为X 和 Y 的 k+L 阶混合中心矩.,可见，,二、协方差矩阵,将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式:,称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.,类似定义n 维随机变量(X1,X2,Xn)的协
2、方差矩阵.,为(X1,X2,Xn)的协方差矩阵,三、n 元正态分布的概率密度,f(x1,x2,xn),则称 X 服从 n 元正态分布.,其中C是(X1,X2,Xn)的协方差矩阵.,|C|是它的行列式，表示C的逆矩阵，,X 和 是 n 维列向量，表示X 的转置.,设=(X1,X2,Xn)是一个n维随机向量,若它的概率密度为,n元正态分布的几条重要性质,1.X=(X1,X2,Xn)服从n元正态分布,若 X=(X1,X2,Xn)服从 n 元正态分布，,Y1,Y2,，Yk是Xj（j=1,2,n）的线性函数，,则(Y1,Y2,，Yk)也服从多元正态分布.,2.正态变量的线性变换不变性.,3.设(X1,X
3、2,Xn)服从n元正态分布，则,“X1,X2,Xn相互独立”,等价于,“X1,X2,Xn两两不相关”,例 设随机变量X和Y相互独立且XN(1,2),YN(0,1).试求Z=2X-Y+3的概率密度.,故X 和Y 的联合分布为正态分布，X 和Y 的任意线性组合是正态分布.,解:XN(1,2),YN(0,1)，且 X 与Y 独立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9,E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5,即 ZN(E(Z),D(Z),故 Z 的概率密度是,ZN(5,32),四、小结,在这一节中我们学习了随机变量的原点矩和中心矩以及协方差矩阵.,一般地,多维随机变量的分布是不知道的,或者太复杂,以至于在数学上不易处理,因此在实际中协方差矩阵就显得重要了.,五、布置作业,概率与统计 P110 35,
