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1、叶 鹰 副教授,概率统计系 叶鹰,练习3.5 设共有10张彩票，其中只有2张可获奖，甲、乙、丙三人依次抽取一张彩票，规则如下：每人抽出后，所抽的那张不放回，但补入两张非同类彩票。问甲、乙、丙三人中谁中奖的概率最大？,解 记A、B、C分别为甲、乙、丙中奖，则,故丙中奖的概率最大。,习题讲评,概率统计系 叶鹰,习题选讲,练习8.3 设二维随机变量(X,Y)具有下列联合密度函数，试求边缘密度函数fX(x)，fY(y)与条件密度函数fY|X(y|x)。,解,(1),0,1,当0 x1时，,0 x1,|y|x,0,其他.,|y|x,概率统计系 叶鹰,解,(2),0,2,1,习题选讲,当1 x 2 时，,
2、当0 x 1 时，,练习8.3 设二维随机变量(X,Y)具有下列联合密度函数，试求边缘密度函数fX(x)，fY(y)与条件密度函数fY|X(y|x)。,概率统计系 叶鹰,习题选讲,练习8.4 设二维随机变量（X，Y）在矩形G=(x,y)：0 x2，0y1上服从均匀分布。记,解,求U和V的联合分布列。,PU=0，V=0,2,1,=PXY，X2Y,PU=0,V=1,=PXY,X2Y,=0,PU=1,V=1,=PXY,X2Y,1/4,概率统计系 叶鹰,习题选讲,练习8.5 设X与Y独立，都服从N(0,1)，以f(x,y)表示(X,Y)的联合密度函数，证明：函数,解,是二维概率密度函数，若随机变量(U
3、,V)有密度函数g(x,y)，证明：U,V都服从N(0,1)，但(U,V)不服从二维正态分布。,0,同理,，但g(x,y)f(x,y),(X,Y)N(m1,m2,s12,s22,r),X N(m1,s12),Y N(m2,s22),概率统计系 叶鹰,练习10.5 设随机变量X的密度函数为,求随机变量Y=g(X)的概率分布，其中,解,-x+,习题选讲,概率统计系 叶鹰,练习11.4 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：,求随机变量Z=X+Y 的密度函数f(z)。,解,解,习题选讲,概率统计系 叶鹰,习题选讲,习题2.12 设随机变量X取值于0,1，若P(x1Xx2)只与x2 x1有关（对一
4、切0 x1x2 1），证明：XU(0,1),解 P(x1Xx2)与x2 x1成正比，则当 x0,1时,F(x)=P(Xx),由F(1)=P(X 1)=1 得k=1，故,即 XU(0,1),=kx,0,概率统计系 叶鹰,解 将区间0,1 n等分，由题意，对m n有,即XU(0,1),对x0,1有,，由F(x)的单调性,由n的任意性,F(x)=x,x0,1,习题选讲,习题2.12 设随机变量X取值于0,1，若P(x1Xx2)只与x2 x1有关（对一切0 x1x2 1），证明：XU(0,1),概率统计系 叶鹰,例3（P12习题1.12）将长为L的线段任意折成三段，求此三段能构成一个三角形的概率。,解
5、 设三段的长度分别为x，y，z，则,W=(x,y,z):0 x,y,z L,x+y+z=L,A=(x,y,z):,x+y z,y+z x,z+x y,概率统计系 叶鹰,解 设三段的长度分别为x，y，L-x-y，则,L,L,L/2,L/2,例3（P12习题1.12）将长为L的线段任意折成三段，求此三段能构成一个三角形的概率。,概率统计系 叶鹰,解 设两个折点分别为x，y，则,L,L,L/2,L/2,；,例3（P12习题1.12）将长为L的线段任意折成三段，求此三段能构成一个三角形的概率。,概率统计系 叶鹰,练习4.4 设有一个系统有6个控制器，必须（1）第一个控制器正常，（2）第2、3个控制器至
6、少有一个正常，（3）第4、5、6个控制器至少有2个正常，在这种状态下系统才正常。若各控制器相互独立且正常的概率为2/3，求该系统正常的概率。,解 记Ai为第i个控制器正常，则该系统正常的概率为,习题讲评,概率统计系 叶鹰,习题选讲,练习8.5 设楼房有六层，每个乘电梯的人在2,3,4,5,6层下的概率分别为0.08，0.14，0.20，0.26，0.32，试求在一楼乘上电梯的15人中，恰好有1,2,3,4,5人分别在2,3,4,5,6层下电梯的概率P。,解 记Xi为在第i层下电梯的人数，i=2,3,4,5,6，则,=,=0.073,概率统计系 叶鹰,例题选讲,一架长机带两架僚机飞往某地进行轰炸
7、，只有长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须经过敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为0.2，到达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.3。试求目标被炸毁的概率。,解：记Bi为长机与i架僚机到达目标上空，i=0,1,2 A为目标被炸毁。则,P(B0)=0.80.22=0.032P(B1)=20.820.2=0.256P(B2)=0.83=0.512,P(A|B0)=0.3P(A|B1)=10.72=0.51P(A|B2)=10.73=0.657,故,=0.4765,概率统计系 叶鹰,甲、乙下午1时至2时到某车站乘高速巴士，这段时间内有4班车，开车时间分别为1:1
8、5，1:30，1:45，2:00。如果约定：(1)见车就乘；(2)最多等一班车。求甲、乙同乘一车的概率。假定甲、乙两人到达车站的时刻互不牵连，且每人在1时至2时内的任何时刻到达车站是等可能的。,解 设x,y分别为甲、乙到达车站的时刻（刻钟），则,0,4,4,例题选讲,概率统计系 叶鹰,综合题选讲,在高为 h 的ABC 中任取一点M,点 M 到 AB 的距离为随机变量X,求其密度函数 f(x).,.M,解 设EF与AB间的距离为x，则,F(x)=P(Xx),=,0 x h,0,x 0,1,x h,f(x)=F(x),概率统计系 叶鹰,解 设点M(X,Y)在ABC内均匀分布，即,yh,o,b,其中,综合题选讲,在高为 h 的ABC 中任取一点M,点 M 到 AB 的距离为随机变量X,求其密度函数 f(x).,概率统计系 叶鹰,练习9.3 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：,解,求(X,Y)的联合分布函数。,习题选讲,信息短波,本课程答疑安排：时间：周四下午 14:50 16:40(第67节课的时间)地点：科技楼南楼715室（概率统计系）本课程网站：http:/,
