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1、如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，那么最优的生产计划应作何改变？,例1 汽车厂生产计划,汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。,制订月生产计划，使工厂的利润最大。,4.3 汽车生产与原油采购,【问题】,数学模型,设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1,x2,x3,线性规划模型(LP),【模型建立】,数学模型,3）模型中增加条件：x1,x2,x3 均为整数，重新求解。,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)632.2581VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.00000
2、0 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2)0.000000 0.731183 3)0.000000 0.003226,结果为小数，怎么办？,1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与LP最优值632.2581相差不大。,2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数值z，通过比较可能得到更优的解。,但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？,【模型求解】,数学模型,IP可用LINDO直接求解,整数规划(Integer P
3、rogramming,简记IP),“gin 3”表示“前3个变量为整数”，等价于：gin x1gin x2gin x3,IP 的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632,max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+250 x2+400 x360000endgin 3,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)632.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000-2.000000 X2 168.000000-3.000000 X3 0.000000-4.000000,IP 结果输出,【模
4、型求解】,数学模型,其中3个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：,方法1：分解为8个LP子模型,若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。,x1,x2,x3=0 或 80,x1=80，x2=150，x3=0，最优值z=610,【模型求解】,数学模型,LINDO中对0-1变量的限定：int y1int y2int y3,方法2：引入0-1变量，化为整数规划,M为大的正数，可取1000,OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)610.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000-2.000000 X2
5、150.000000-3.000000 X3 0.000000-4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000,最优解同前,数学模型,NLP虽然可用现成的数学软件求解(如LINGO,MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。,方法3：化为非线性规划,非线性规划（Non-Linear Programming，简记NLP）,实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。,x1=0 或 80,数学模型,应如何安排原油的采购和加工？,例2 原油采购与加工,市场上可买到不超过1
6、500吨的原油A：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。,【问题】,数学模型,决策变量,目标函数,【问题分析】,利润：销售汽油的收入-购买原油A的支出 难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂,原油A的购买量,原油A,B生产汽油甲,乙的数量,c(x)购买原油A的支出,利润(千元),c(x)如何表述？,数学模型,原油供应,约束条件,x 500吨单价为10千元/吨；500吨 x 1000吨，超过500吨的8千元/吨；1000吨 x 1500吨，超过1000吨
7、的6千元/吨。,目标函数,数学模型,目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；想办法将模型化简，用现成的软件求解。,汽油含原油A的比例限制,约束条件,数学模型,x1,x2,x3 以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数,目标函数,只有当以10千元/吨的价格购买x1=500(吨)时，才能以8千元/吨的价格购买x2,方法1,非线性规划模型，可以用LINGO求解,【模型求解】,x=x1+x2+x3,c(x)=10 x1+8x2+6x3,500吨 x 1000吨，超过500吨的8千元/吨,数学模型,方法1：LINGO求解,Mod
8、el:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12 0;2*x12-3*x22 0;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1 0;x11 0;x12 0;x21 0;x22 0;x1 0;x2 0;x3 0;end,Objective value:4800.000Variable Value Reduced CostX11 500.0000 0.0000000E+00X21 500.0000 0.0000000E+00X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00
9、X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0.0000000E+00 0.0000000E+00,LINGO得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？,用库存的500吨原油A、500吨原油B生产汽油甲，不购买新的原油A，利润为4,800千元。,数学模型,y1,y2,y3=1 以价格10,8,6(千元/吨)采购A,增加约束,方法2,0-1线性规划模型，可用LINDO求解,y1,y2,y3=0或1,OBJECTIVE F
10、UNCTION VALUE 1)5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.800000 X21 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000000 0.0
11、00000,购买1000吨原油A，与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起，生产汽油乙，利润为5,000千元。,x1,x2,x3 以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数,优于方法1的结果,数学模型,b1 b2 b3 b4,方法3,b1 xb2，x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z20,c(x)=z1c(b1)+z2c(b2).,b2 x b3，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z3 0,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3).,b3 x b4，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4 0,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4).,直接处理处理分段线性函数c(x),数学模型,IP模型，LINDO求解，得到的结果与方法2相同.,处理分段线性函数，方法3更具一般性,bkxbk+1yk=1,否则,yk=0,方法3,bkxbk+1,x=zkbk+z k+1 bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+1 0,c(x)=zkc(bk)+zk+1 c(bk+1).,对于k=1,2,3,数学模型,
