《概率论6讲.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论6讲.ppt（41页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、2023/6/22,1,概率论第6讲,第五章一维随机变量,本文件可从网址http:/上下载,2023/6/22,2,第一节 一维随机变量及其分布函数,2023/6/22,3,每一随机试验,试验结果的集合多种多样,通常喜欢用计算机表示试验结果,则将每一试验结果用一数来表示,或者说建立起基本空间的每一个元素到实数的映射,这种代表试验结果的数,被称为随机变量.有的基本空间本来就是实数轴,因此试验结果本身就是随机变量.,2023/6/22,4,例1 设一口袋中有依次标有-1,2,2,2,3,3数字的六个球.从这口袋中任取一个球,取得的球上标有的数字x是随着试验结果的不同而变化的.当试验结果确定后,x的
2、值也就相应地确定.,2023/6/22,5,例2 从一批电灯泡中任取一个.取得的电灯泡在指定条件下的耐用时间h是随着试验结果的不同而变化的.当试验结果确定后,h的值也就相应地确定.,2023/6/22,6,例3 从一批次品率为p的产品中逐件地抽取产品,每次抽取经检定后立即放回这批产品中再抽下一件,直到抽得次品为止.这样所需的抽取次数z 是随着试验结果的不同而变化的.当试验结果确定后,z 的值也就相应地确定.,2023/6/22,7,例4 考察掷五分硬币试验,它有两个可能结果:出现国徽朝上或出现伍分字样朝上.为了便于研究起见,将每一个结果用一个实数来代表.例如,可用1代表出现国徽朝上,用数0代表
3、出现伍分字样朝上.这样,当讨论试验结果时,就可以简单地说成结果是数1或数0.建立这种数量化的关系,实际上相当于引入了一个变量m,对于试验的两个结果,m值分别规定为1和0.当试验确定后,m的值也就相应地确定.,2023/6/22,8,例5 用步枪对准靶子上的一个点目标进行射击.考虑击中的点与点目标的距离d.可以在包含靶子的平面内以一个与这点目标为原点的直角坐标系.这样,试验结果可以用击中的点的坐标x,y来表示,所考虑的d是根据试验结果而定取什么值的,具体地,2023/6/22,9,例1-5中遇到的x,h,z,m,d都是随机变量.以后用小写希腊字母表示随机变量.,2023/6/22,10,设x是一
4、个随机变量.对于实轴上任意一个集S,xS代表了一个随机事件,意即基本空间U内所有能使x(e)S的e所组成的集代表一个随机事件.S确定后,PxS随之唯一地确定.由这个对应关系定出,以实轴上的集S为自变量,函数值在区间0,1上的函数PxS,称为随机变量x的分布.它表明了x的取值规律.,2023/6/22,11,例如,例1中的随机变量x的分布可如下得出:由于取得这六个球中的任一个的概率都为1/6,所以,对于数轴上的集合S,PxS可以如下算得:检查S含有-1,2,3中的哪几个,把相应的概率1/6,1/2,1/3中的有关几个相加.,2023/6/22,12,例如,当S=-1,2.5)时,S中含-1,2,
5、3中的-1,2,所以,x,-1,0,1,2,3,1/6,1/2,1/3,2023/6/22,13,这种S给定后PxS随之确定的规律就是x的取值规律,即x的分布.通常用下面规定的分布函数来表达分布.设x为一个随机变量.令F(x)=Pxx,(-x).这样规定的函数F(x)的定义域为整个数轴,函数值在区间0,1上.称这个函数为x的分布的分布函数,简称为x的分布函数.,2023/6/22,14,例6 求例1中的随机变量x的分布函数.解 x可能取的值为-1,2,3.取这些值的概率依次为1/6,1/2,1/3.当x-1时,xx是不可能事件,所以F(x)=0.当-1x2时,xx包含x=-1,所以,当2x3时
6、,xx包含x=-1或x=2,所以,当3x时,xx是必然事件,所以F(x)=1,2023/6/22,15,总括起来,F(x)的表达式为,1/6,2/3,1,F(x),-1,O,1,2,3,x,2023/6/22,16,例7 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上区间0,1)上的诸值.旋转这陀螺,求它停下时其圆周上触及桌面的点的刻度x的分布函数.,0,0.5,0.25,0.75,2023/6/22,17,解 按陀螺的均匀性及刻度的均匀性,对于区间0,1)内的任一个区间a,b),有,对于数轴上任一个区间S,由于x取区间0,1)外的值的概率为零,所以PS=l(S),其中l(S)为(S0,1)的长度值.下面来
7、计算x的分布函数.,2023/6/22,18,当x0时,(,x)0,1)为空集,所以F(x)=Pxx=0.当0 x1时,(,x)0,1)=0,x),所以F(x)=Pxx=x.当1x时,(,x)0,1)=0,1),所以F(x)=Pxx=1.即所求分布函数为,2023/6/22,19,分布函数的图形为,2023/6/22,20,按分布函数的定义可知Paxb=Pxb-Pxa=F(b)-F(a),即事件xa,b)的概率等于分布函数在该区间上的增量.分布函数具有以下性质:(1)0F(x)1,(-x+).(2)F(x1)F(x2),(x1x2)即任一分布函数都是单调非减的.,即任一分布函数处处左连续,20
8、23/6/22,21,第二节 离散型随机变量,2023/6/22,22,从例1及例3可以看到,有一类随机变量,它所有可能取的值是有限个或可数多个数值,这样的随机变量称为离散型随机变量,它的分布称为离散型分布.,2023/6/22,23,除了可用随机变量的分布及分布函数表明随机变量的取值规律外,通常还可用下面规定的分布密度来表达离散型随机变量的取值规律.,2023/6/22,24,设x为一个离散型随机变量,它所有可能取的值为a1,a2,.,事件x=ai的概率为pi,(i=1,2,.),那末,可以用下列表格来表达x取值的规律:,其中0pi1,(i=1,2,.)且,称这个表格所表示的函数为离散型随机
9、变量x的分布密度.或称分布律或概率函数,2023/6/22,25,例8 求出例3中的随机变量z的分布密度.解 z可能取的值为1,2,3,.即所有的自然数.z=1即第一次就取得次品,Pz=1=p.z=2即第一次取得正品,第二次取得次品,所以 Pz=2=(1-p)p.z=i即第1,2,.,i-1次都取得正品,第i次取得次品,所以Pz=i=(1-p)i-1p,(i=1,2,.).,2023/6/22,26,z的分布密度为,2023/6/22,27,下面介绍几个特殊的离散型分布。如果x的分布密度为,则称x的分布为退化分布.一个退化分布依赖于一个常数a.,2023/6/22,28,如果x的分布密度为,则
10、称x为两点分布.当其中的a,b依次为0,1时,称这种分布为零-壹分布.一个零-壹分布依赖于一个在(0,1)内的常数p,2023/6/22,29,如果x的分布密度为,其中aiaj,(ij),则称x的分布为离散均匀分布.一个离散均匀分布依赖于一个自然数n及n个不同的常数a1,a2,.,an.,2023/6/22,30,第三节 二项分布 泊松(Poisson)分布,2023/6/22,31,设在某个指定的试验中,一个指定的事件A出现的概率为p(0p1).重复独立地做这试验n次,这n次试验中,A出现的次数x是一个随机变量.按第四章第五节,x可能取的值为0,1,2,.,n,而,2023/6/22,32,
11、因此,x的分布密度为,这个离散分布称为二项分布.它依赖于自然数n及介于0,1之间的数p,以后把这个分布简记为B(n,p),2023/6/22,33,在次品率为p的一大批产品中任取n件产品,那末取得次品的件数x服从B(n,p).只要把每取一件产品做为一次试验,令A为取得次品的事件,利用上面的结论便可推得这个结果.这里,注意到,由于这批产品中产品的件中很多,取去少许几件可以认为并不影响留下部分的次品率.,2023/6/22,34,下面来引出另一个重要的离散型分布.设有N个质点,每一个质点落在容积为V的媒质内,容积为v的区域中的概率为,每个质点所处的位置与其余质点所处的位置相互独立.从这容积为V的媒
12、质内任取容积为v的部分时,取到部分中含有的质点数是一个随机变量x,下面来计算x的分布密度.,2023/6/22,35,试验示意图:,V,v,2023/6/22,36,把每一个质点所落的位置看作一个试验结果,这个质点落在所取的部分内为指定事件A发生.现在的N就是重复独立试验的试验次数n,v/V就是每次试验中A发生的概率p,从而x服从二项分布B(N,v/V),即x的分布密度为,2023/6/22,37,实际上,往往是v/V近于0,N很大.下面计算这种情形下,x取各个值的概率的近似值,2023/6/22,38,对于固定的i,当N,但,(l为一固定的数)时,有,所以,2023/6/22,39,因此,当N很大,近于0时,有,其中,2023/6/22,40,从而看到:当n很大,p接近于零时,B(n,p)的分布密度近似于下列函数,其中l=np.以这个函数为分布密度的离散型分布称为泊松分布,其中l为一个正的常数.泊松分布依赖于一个正的常数l.以后把参数为l的泊松分布记作P(l),2023/6/22,41,作业,第63页开始第2,4,5题.,
