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1、第三节正态总体参数的区间估计,一、正态总体均值和方差的区间估计,1、数学期望的置信区间,可见正态总体的数学期望的1置信区间为：,考虑正态总体，假设 是来自,总体 X 的简单随机样本；是样本均值，是样本方差,其中的表达式区分 已知和 未知两种情形：,的1置信区间的长度为,2、方差 和标准差的置信区间,其中 是标准正态分布水平双侧分位数，是自,由度为v=n1的t分布水平双侧分位数,方差 的1置信区间为：,标准差的1置信区间为：,其中 是自由度为v=n1的 分布水平p上侧分位数,例7.19 随机变量X服从对数正态分布,4.95，1.73，10.07，9.78，14.15，4.14，1.52，11.7
2、0，6.62，10.38是来自X的简单随机样本值，求,(1)随机变量X数学期望a=EX；(2)参数的置信度为0.95的置信区间；(3)数学期望a=EX的置信度为0.95的置信区间,解(1)求随机变量X数学期望a=EX由例2.31知，若,因此，随机变量,的数学期望,在上面的积分中作换元，令,(2)将来自X的简单随机样本值的n=10个数据，分别取其自然对数，得1.60,0.55,2.31,2.28，2.65，1.42，0.42，2.46，1.89，2.34，可以视为来自总体Y=lnX的简单随机样本值经计算,此外，置信度1=0.95，=0.05；=1.96(附表3)由(7.23)可见，,从而，由(7
3、.22)可见，参数的0.95置信区间为,(3)现在求a=EX的置信度为0.95的置信区间,于是，,的置信度为0.95的置信区间为,例7.20（置信区间的长度）设,由来自X容量,为n的简单随机样本建立的数学期望的0.95置信区间,设样本容量为n=25，求置信区间的长度L；(2)估计使置信区间的长度不大于0.5的样本容量n,解(1)正态总体的数学期望的0.95置信区间的一般公式为,其中根据条件0=1 由此可见，当样本容量为N=25 时置信区间的长度,(2)当限定置信区间的长度不大于L05时，样本容量n应满足,这样，为使置信区间的长度不大于0.5，应当使样本容量n62,二、二正态总体均值差和方差比的
4、区间估计,1、两个正态总体均值差的置信区间 均值差ab的1置信区间为：,其中关于的表达式，区分,已知和,未知但相等两种情形：,其中U是标准正态分布水平双侧分位数（附表3）；t,v是自由度为v=m+n2的t分布水平双侧分位数（附表4）,证明(1)由（6.29）当,已知时，有,由此立即得（7.28）,(2)现在设,相等但未知记,由（6.31），知,服从t分布，自由度为v=m+n2，其中,是由（6.28）,定义的联合样本方差因此,由此立即得（7.28）,2、两个正态总体方差比的置信区间 方差,置信区间为：,两个正态总体标准差之比,置信区间为,其中F/2(f1,f2)是自由度为(f1,f2)的F分布水
5、平/2上侧分位数(附表6),证明 由正态总体的抽样分布知，统计量,服从自由度为(f1,f2)的F分布由附表6查出自由度为(f1,f2)的F分布水平1/2上侧分位数F1/2(f1,f2)，以及自由度为(f1,f2)的F分布水平/2上侧分位数F/2(f2,f1)；由表示F分布水平/2与水平1/2上侧分位数之间关系的（6.24）式，可见,因此对于给定的(0 1)，有,其中f1=m1,f2=n1 由此立即可得（7.31）和（7.32）,例7.21 用两种工艺（或原料）A和B生产同一种橡胶制品为比较两种工艺下产品的耐磨性，从两种工艺的产品中各随意抽取了若干件，测得如下数据：工艺A：185.82，175.
6、10，217.30，213.86，198.40 工艺B：152.10，139.89，121.50，129.96，154.82，165.60,假设两种工艺下产品的耐磨性X和Y都服从正态分布：,(1)建立 x/y的0.95置信区间；(2)建立的0.95置信区间；(3)问能否认为工艺A产品的耐磨性平均明显高于工艺B产品？,解 经计算，得,(1)由附表7，分别查出自由度为（4,5）和（5,4）的F分布两个上侧分位数：F0.025（4,5）=7.39,将有关数据代入（7.32），得的0.95置信区间：,由于所得置信区间(0.40,3.34)包含1，故在水平0.05下可以认为x/y=1 即x=y.,(2)
7、由于(1)可以认为x=y，故可以按（7.27）构造a-b的0.95置信区间经计算，得,由附表4查出自由度为v=5+62=9 的t分布水平0.05的双侧分位数t 0.05,9=2.262；按（7.29）第二式计算得=23.57将以上各个数据代入(7.28)，得ab的0.95置信区间（30.55,77.69）,(3)由于a-b以概率0.95包含在区间（30.55,77.69）中，因此以概率0.95可以断定ab0,即a明显大于b，可以认为工艺A产品的耐磨性平均明显高于工艺B产品,例7.22（配对数据）一家石油公司研制了一种汽油添加剂，使用这种添加剂有望增加每升汽油的可行驶里程为观察这种添加剂的效果，
8、特安排了14辆同型汽车进行试验：每辆汽车先使用有添加剂和后使用无添加剂的汽油在同一路线上行驶，分别记录每升汽油平均行驶的里程，得表7.2的数据以X和Y分别表示每升汽油有添加剂和无添加剂平均行驶的里程，假设X和Y的联合分布是正态分布，试根据所得试验数据建立 ab 的 0.95置信区间，其中a=EX，b=EY,表7.2 有添加剂和无添加剂每升汽油行驶里程的试验数据,解 需要求两个正态总体均值之差ab的置信区间但是，这里不能用（7.28）构造ab的置信区间，因为该式要求两个总体的方差相等而且两个样本相互独立，但是这里的两样本显然不独立,这是一个典型的配对样本问题，即两个样本的观测值是成对出现的解决类
9、似问题的办法是把两个随机变量X和Y之差Z=XY视为总体，从而求二总体均值之差a-b的置信区间,的问题，转化为求一个总体均值 c=EZ=ab 的置信区间的问题，可以用（7.22）式求解由表7.2的数据可见，表中最下面一行的数据可以视为来自总体Z=XY的简单随机样本值经计算，得,由附表4查出自由度为n1=13的t分布的水平0.05的双侧分位数 t 0.05,13=2.16；,按(7.23)第二式计算,将有关数据代入（7.22）式，,得和的均值之差ab的0.95置信区间（0.26,0.38）所得结果表明，每升有添加剂的汽油比无添加剂的汽油，平均可以多行驶0.260.38公里,四、非正态总体均值的置信区间,正态总体数学期望的置信区间（7.22），适用于任何样本容量n(n2)对于任意总体X，,当样本容量n充分大时，由样本均值的渐近正态性（6.34）知，近似地,因此，在不假定总体X服从正态分布的条件下，只要样本 容量n充分大，数学期望的1置信区间具有与（7.22）完全类似地形式，只是在（7.23）中都使用标准正态分布 的双侧分位数,
