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1、概率论与数理统计第3章,第3章 二维随机变量及其分布,二维随机变量及其分布函数边缘分布随机变量的相互独立性及条件分布多维随机变量函数的分布,3.1二维分布函数及其基本性质,一般二维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量及其概率函数二维连续型随机变量及其联合密度函数,二维随机变量及其分布函数,定义2.2.1 设,为定义在同一个概率空间(,F,P)上的两个随机变量，则(,)称为二维随机变量。,X,Y,x,y,X x,Y y,二维联合分布函数区域演示图:,(x,y),(区域演示图见下页),联合分布函数性质,F(x,y)分别对x和y单调不降；,(2)F(x,y)对每个变元右连续；,X,Y,x1,y1,
2、(x1,y1),x2,y2,(x2,y2),(x1,y2),(x2,y1),3.1.1二维离散型随机变量及其分布,3.1.1 二维离散型r.v.的联合分布,称p(i,j)=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,)为(X,Y)的联合概率分布.其中E=(xi,yj),i,j=1,2,.为(X,Y)的取值集合,表格形式如下:,联合概率分布性质 p（i，j）0;i,j=1,2,p(i,j)=1;,P(X,Y)D=,例1 将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.,解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,因
3、为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:,X Y0 41 3 2 2 3 14 0,P(X=0,Y=4)=,P(X=2,Y=2)=,=1/4,=6/16,P(X=3,Y=1)=,=1/4,P(X=4,Y=0)=0.54=1/16,X01234,Y 0 1 2 3 4,联合概率分布表为:,0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0,P(X=1,Y=3)=,0.54=1/16,3.1.2 二维连续型随机变量及其联合密度函数,例2 设(X,Y),试求:(1)常数 A;(2)P X2,Y1;,(4)P（Xx,Yy）
4、.,(3)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,3.2.2 离散型r.v.的独立性,定义：若二维离散型r.v.（X，Y）的联合分布与边际分布满足i，j=1，2，则称随机变量X与Y相互独立.,3.2 边缘分布,定义：称 i,j=1,2,)为(X,Y)的关于Y的边缘分布,3.3 条件分布,为Y=yj条件下随机变量X的条件概率函数,定义：若，则称,条件分布函数,相应的，条件密度函数：,条件概率的性质,一般随机变量的条件分布函数,一般随机变量的条件分布函数可表示为,其中:D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积.,则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布.,(1)均匀分布 若二维随机向量(X,Y)的联
5、合概率密度为,对于D中任意可度量子区域G有,其中:SG为区域G的面积.,3.3.2常见的二维连续型随机向量,定义 如果(X,Y)的联合密度函数为,其中,则称(X,Y)服从参数为 的二维正态分布,简记为,(2)二维正态分布,则X,Y的边缘概率密度分别为 XN(1,12),Y N(2,22);,可以证明 若,即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布.由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概率密度,反之不一定成立.,例3 设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中 D=(x,y),x2+y21,求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).,解(1)由题意得:,-1,1
6、,当|x|1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0,当|x|1时,所以,同理,均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布,练习 设(X,Y),求(X,Y)的联合分布函数.,1,1,解(1)x0,或y0时,F(x,y)=0(2)x1,y1时,F(x,y)=1(3)0 x1,0y1时,F(x,y)=,(4)0 x1,y1时,F(x,y)=,(5)x1,0y1时,F(x,y)=,x,y,4xy,综合即得:,3.4 相互独立的随机变量,相互独立的随机变量,随机变量与相互独立,例(X,Y)的联合概率分布为:,(1)求X,Y的边缘分布;(2)判断X,Y是否独立.(3)求F(0,2).,解:(1)X,Y的概率
7、分布分别为:,X 0 1P 0.7 0.3,Y 0 1P 0.5 0.5,(2)P(X=0,Y=0)=0.3,P(X=0)P(Y=0),=0.35,X,Y不独立.,注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证.,=0.70.5,(3)F(0,2)=P(X0,Y2)=0.3+0.4=0.7,例 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y的独立性,其中(1)D=(x,y),|x|1,|y|1;(2)D=(x,y),x2+y21,f1(x)=,|x|1,|x|1,0,f2(y)=,解(1),同理,所以,X,Y独立.,(2),X,Y不独立.,3.4 多维随机变量的函数的分布,的分布 M=m
8、ax(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:,当随机变量 X,Y 的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?,例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求 Z=X+Y 的概率函数.,一、的分布,例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为,的泊松分布.,例3 设X和Y的联合密度为 f(x,y),求 Z=X+Y 的概率密度.,特别地，当 X 和 Y 独立，设(X,Y)关于 X,Y 的边缘密度分别为 fX(x),fY(y
9、),则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,卷积公式,例4 若 X 和Y 独立,具有共同的概率密度,求 Z=X+Y 的概率密度.,例5 若X和Y 是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布 N(0,1),求 Z=X+Y 的概率密度.,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若X和Y 独立,具有相同的分布 N(0,1),则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地,可以证明:,二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设 X，Y
10、是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和 FY(y),我们来求 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布函数.,FM(z)=P(Mz),=P(Xz,Yz),由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M=max(X,Y)的分布函数为:,1.M=max(X,Y)的分布函数,即有 FM(z)=FX(z)FY(z),即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),2.N=min(X,Y)的分布函数,由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N=min(X,Y)的分布函数为:,设 X1,Xn 是 n 个相互独立的随
11、机变量,它们的分布函数分别为,我们来求 M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i=1,n),用与二维时完全类似的方法，可得,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,例6 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统 损坏时,系统 开始工作),如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为,其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度.,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值.,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,三、课堂练习,设 是相互独立的随机变量,它们都服从正态分布.试验证随机变量 具有概率密度,
