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1、第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量2 边缘分布3 条件分布4 相互独立的随机变量5 两个随机变量的函数的分布,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的状态是由三个坐标、机头仰角、机翼测角五个r.v 来确定的等等.,n个随机变量所构成的整体,叫n维随机向量或n维随机变量,1 二维随机变量,设随机试验E的样本空间为：Se,X(e)、Y(e)为定义在S上的随机变量，由它们构成一个随机向量(X、Y),叫二维随机向量或二维随机变量。,1.二
2、维随机变量的分布函数：,定义：设二维随机变量(X，Y)，对任意实数x、y,二元函数：F(x,y)=PXx,Yy,称为(X,Y)的(联合)概率分布函数。,二维随机变量分布函数的性质：,(1).F(x,y)0,1,(2).固定y,F(x,y)对x单调不减，固定x,F(x,y)对y单调不减.,(3).F(,)=F(,y)=F(x,)=0,F(+,+)=1,P(x1Xx2,y1Yy2),=F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1),定义：若二维随机向量=(X,Y)所有可能取值(向量)是有限个或可列无穷多个,则称 为离散型的.,2.二维离散型随机变量的联合分布率,解：,PX=0，
3、Y0,P两次都取白球,2/15,PX=0，Y=1=,P第1次取白,第2次取红,=4/15,PX=1，Y=0=,P第1次取红,第2次取白,4/15,PX=1，Y=1=,P两次都取红球,5/15,列出联合分布表：,定义：对于二维随机变量(X，Y)的分布函数F(x，y)，若存在非负函数f(x，y)使对任意x，y有：,称 f(x,y)为(X，Y)的(联合)概率密度。,则称(X,Y)为连续型2维随机变量，,3.二维连续型随机变量的(联合)概率密度,二维随机变量概率密度的性质：,(1).f(x,y)0,(2).,(3).在f(x,y)的连续点处：,(4).对于XOY平面上任意区域G有：,(曲顶柱体体积),
4、例2.设(X,Y)的(联合)密度为：,求：k=?;P(X,Y)G=?G如图所示。,解：,解得：k=6,P(X,Y)G=,4.两个常用的分布：,(1).均匀分布：,定义 设D为闭区域面积为A，若随机变量(X,Y)的(联合)密度为：,则称:(X,Y)服从D上的均匀分布。,向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率仅与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布.,解：设A为任一轴与轴衬相适衬,PA=1P(X,Y)D,=0.96,(2).二维正态分布,若二维随机变量(X,Y)的概率密度为：,则称:(X,Y)服从参数 为1、2、1、2、的二
5、 维正态分布。其中10，20，|1是常数。记为：(X,Y)N(1、2、12、22、),2 边缘分布,二维随机变量(X,Y)的分量X、Y均为随机变量，X与Y的分布依次称为(X，Y)关于X的边缘分布和关于Y的边缘分布。,1.边缘分布函数：,FX(x)=PXx,=PX x,Y+,=F(x,+),类似：FY(y)=F(+,y),2.离散型随机变量的边缘概率分布：,例4把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的联合分布率.,解：（X,Y）可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3),P(X=0,Y=3)=(1/2)3=1/
6、8,P(X=1,Y=1)=3(1/2)3=3/8,P(X=2,Y=1)=3/8,P(X=3,Y=0)=1/8,列表如下,二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?,从表中不难求得:,P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8,P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=3,Y=3)=1/8+1/8=2/8.,注意这两个分布正好是表2的行和与列和.,如下表所示,我们常将边缘概
7、率函数写在联合概率函数表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.,注意：由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,例5.袋内有标有号码1、2、2、3的4个球，从中任取2个，分别以X、Y表示取出两个球的最小、最大号码，求：(1).(X,Y)的联合概率分布，(2).关于X的边缘概率分布。(3).关于Y的边缘概率分布。,解：(1).,PX=1 Y=2=,=1/3,PX=1 Y=3=,PX=2 Y=2=1/6,PX=2 Y=3=,(2).PX=1=PX=1 Y+,=PX=1 Y=2+PX=1 Y=3,=1/2,PX=2=PX=2 Y+,=PX=2 Y=2+PX=2 Y=3,=1/
8、2,类似：PY=2=PY=3=1/2,3.连续型随机变量的边缘概率密度,设连续型随机变量(X,Y)的(联合)密度为:f(x,y),FX(x)=F(x,+)=,X的概率密度为：,类似:Y的概率密度为：,例6:设某仪器由寿命(单位:kh)为X,Y的两部件组成,(X,Y)的联合分布函数为:,(1).求边缘分布函数(2).求联合密度和边缘密度(3).求两部件寿命都超过100h的概率。,解：(1).,关于X的边缘分布函数,FX(x)=F(x,+),类似：FY(y),(2).(X,Y)的联合密度和边缘密度：,(3).PX0.1 Y0.1=,=0.050.05,=0.1,例7 设(X,Y)的概率密度是,求(
9、1)c的值；（2）两个边缘密度。,=5c/24=1,c=24/5,解：(1),例7 设(X,Y)的概率密度是,解:(2),求(1)c的值;(2)两个边缘密度.,注意积分限,注意取值范围,例2 设(X,Y)的概率密度是,解:(2),求(1)c的值;(2)两个边缘密度.,注意积分限,注意取值范围,即,二维正态分布的两个边缘分布仍是正态分布.,留给同学们自己证明.,第三节 条件分布,一、离散型随机变量的条件分布,问题,定义(离散型),同理可定义,解,因此在Y=1的条件下X的分布律为,例2 某射手进行射击,命中为p(0p1),射击到击中目标两次为止.以X、Y分别表示到第一、二次击中目标所进行的射击次数
10、.试求X和Y 的联合分布律及条件分布律.,解,PX=m,Y=n=p(1-p)m-1 p(1-p)(n-m-1),再求条件分布律,因为,二、连续型随机变量的条件分布,定义,连续型随机变量的条件概率密度,同理,由此得条件概率密度定义,因此有,说明,联合分布、边缘分布、条件分布的关系?,联合分布,解,不存在.,其它.,例3 设(X,Y)的联合密度为,正确解法,其它.,于是,又知边缘概率密度为,4.相互独立的随机变量,1.定义 设 F(x,y),FX(x),FY(y)分别为二维随机变量(X,Y)的(联合)分布函数和边缘分布函数，若对于所有x、y有：F(x,y)FX(x)FY(y)即：PXx,Yy=PX
11、 x PY y则称X与Y相互独立。,2.定理：设 f(x,y),fX(x),fY(y)分别为连续型二维随机变量(X,Y)的(联合)密度函数和边缘密度函数，则 X、Y相互独立 f(x,y)fX(x)fY(y),例6.已知(X,Y)的联合分布函数F(x,y)如下,求：(1).(X,Y)的联合概率密度及边缘密度。(2).判断X、Y是否相互独立？,解：(1).,X、Y相互独立。,(X,Y)N(1、2、12、22、)，X与Y相互独立 0,3.定理 离散型随机变量X、Y相互独立充要条件是对于任意x、y有：PX=x,Y=y=PX=xPY=y,例7 设随机变量X与Y的概率分布分别为：,X 1 0 1 Y 0
12、1,P 1/4 1/2 1/4 P 1/2 1/2,且PXY=0=1，求：(1).X和Y的联合概率分布。(2).X和Y是否相互独立？为什么？,解：PXY=0=1,PXY0=0,故：X、Y的联合概率分布为：,PX=1PY=1 PX=1Y=1,X与Y不独立。,例8：设随机变量X、Y相互独立，其联合概率分布与边缘概率分布如下表：试将其余数值填入表中空白处。,X,1/8,1/8,Y y1 y2 y3,PX=xi,PY=yj 1/6 1,1/24,1/4,1/12,3/4,1/2,3/8,1/3,1/4,x1,x2,例9.随机变量X、Y相互独立,分别服从参数为、的指数分布.,令:Z,1 当XY时,0 当
13、XY时,求Z的概率分布。,解：X与Y相互独立，,X、Y的联合密度为：,分别服从参数为、的指数分布。,PZ=0=PXY=,例10.设某班车起点站上车人数X服从参为的Poisson分布，每位乘客在中途下车的概为：p(0p1),且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车人数。求：(1).在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率。(2).二维随机变量(X，Y)的联合概率分布。,PZ=1,Z的概率分布为：,解：,(X,Y)的联合概率分布为：,(1).PY=m/X=n=,(2).PX=i,Y=j=PX=iPY=j/X=i,PX=i,Y=j=,i=0,1,2,t；j=0,1,2,i,例11.在10
14、件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品。从10件产品中无放回地抽取3件，分别用X、Y 表示其中的一、二等品数。求:,解:(1)依题设知 X只能取0,1,2;Y只能取0,1,2,3。,(1).(X,Y)的分布律；(2).X、Y的边缘分布律；(3).X和 Y是否相互独立？(4).在X=0 的条件下Y 的条件分布律。,(X,Y)的分布律如下表所示,PX=i,Y=j=,当2 i+j3 时:,i=0,1,2;j=0,1,2,3;且2 i+j3.,当 i+j3 时:PX=i,Y=j=0;,(3)因为PX=0,Y=0=0，而PX=0PY=00,所以X和Y不相互独立。,(4).在 X=0的条件下，Y的条件
15、概率为：,j=1，2，3,Y的条件分布律为下表：,4.n维随机变量:(自学),5 两个随机变量的函数的分布,1.和的分布,设(X，Y)的概率密度为:f(x,y),求ZXY的概率密度。,Z的分布函数：,令：x=uy,所以：fz(z),例12.设随机变量X、Y相互独立，分别服从参数为1/2、1/3的指数分别，求ZX+Y的分布密度。,解：,(X,Y)的密度：,当 z0 时：,当 z0时：,例12.X、Y相互独立同分布，X服从0，1上均匀分布求Z=X+Y的概率密度。,解：,由已知：,当 z2时，,当0z1时：,=z,当1z 2时：,=2-z,解法2(分布函数法)：,先求Z的分布函数FZ(z),当z0时
16、:FZ(z)=0;,当z2时:FZ(z)1,当0 z1时:,当1 z2时：,FZ(z)=,解：依题意,i=0,1,2,j=0,1,2,由卷积公式,即Z服从参数为 的泊松分布.,r=0,1，,2.一般函数Zg(X,Y)的分布,已知(X,Y)的联合密度 f(x,y),(1).求Z的分布函数。,(2).对Z的分布函数求导得Z的密度函数。,求Zg(X,Y)的密度：,解：(1).先求Z的分布函数。,FZ(z)=PZz=P2X+Y z,例13.设(X,Y)联合密度为：,f(x,y)=,y 0 x1,y0,0 其它,求Z=2X+Y的密度函数。PZ3,当z0时，FZ(z)=0,当 0z2时：,当 z2时：,(
17、2).对Z的分布函数 求导得Z的密度函数:,PZ3=,1PZ3,=1FZ(3),0.1591,例14.设X、Y、Z相互独立均服从N(0,1),求：U X2Y2Z2 的概率密度。,解：(1)先求U的分布函数FU(u).,FU(u)=PUu,=P X2Y2Z2 u,当 u0 时：,当 u 0 时:FU(u)=0,(2).对FU(u)求导得U的密度函数：,设:XN(1,12),YN(2,22)且X、Y相互独立，则:Z=aX+bY+c N(a1+b2+c,a212+b2 22).,3.最大值，最小值的分布：,(1).FM(z)=PMz=Pmax(X1,X2,Xn)z,(2).FN(z)=PNz=Pmin(X1,X2,Xn)z,=1,Pmin(X1,X2,Xn)z,=1PX1z,X2z,Xnz,=1PX1zPX2z P Xnz,特别：若X1，X2，Xn独立且有相同的分布函数，称X1，X2，Xn独立同分布，记它们的分布函数为F(x)。此时则有：,FM(z)=F(z)n,FN(z)=11F(z)n.,如果独立同分布的连续型随机变量且它们的密度函数相同记为f(x)，此时M、N的概率密度分别为：,
