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1、复习,如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所作的功,为了在数学中体现“功”的这样一个标量,我们引入了“数量积”的概念.,1.平面向量数量积的定义,已知两个非零向量,则叫做 的数量积，记作,即,A,B,向量的夹角：,B,4平面向量的夹角：,复习：,2.平面向量的数量积的主要性质 设a，b是两个非零向量（1）ab ab=0数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件;（2）当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|;特别地，用于计算向量的模;（3）用于计算向量的夹角.,3.平面向量数量积满足的运算律（1）交换律:（2）对数乘的结合律:（3）分配律:,数量积不满足结合
2、律,即:,空间向量的数量积运算,知识要点,1.两个向量的夹角的定义 如图，已知两个非零向量a，b.在空间任取一点O，可以作OA=a，OB=b，则角AOB叫做向量a与b的夹角，记作:a，b,1）空间两个向量的夹角的定义,思考：1、a，b与b，a相等吗？2、a，b与a，b相等吗？,注意：a，bb，a，a，ba，b,空间向量的数量积运算,2）两个向量的数量积,注：两个向量的数量积是数量，而不是向量.,零向量与任意向量的数量积等于零。,3)空间向量的数量积性质:,对于非零向量，有：,（求角的依据）,（证明垂直的依据）,（求向量的长度的依据),4)空间向量的数量积满足的运算律,下列命题成立吗?若,则若,
3、则,思考:,1.向量a、b之间的夹角为30，且|a|3，|b|4，则ab _，a2_，(a2b)(ab)_.,范围:0a，b在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a，b=b，a.,如果a，b=/2，则称a与b互相垂直，并记作ab.,题型一利用数量积求夹角,如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值,【例1】,2.空间向量数量积的定义 设OA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作:|a|已知空间两个非零向量，则 叫做 的数量积，记作,即,（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量.（2）规定:零向量与任意
4、向量的数量积等于零.（3）,若m、n是平面内的两条相交直线，且lm，ln.则l.,l,m,n,4.线面垂直的判定定理（必修2）：,1.（2006年四川卷）如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是_.,A.,B.,C.,D.,A,解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，设边长 则 P2P1P3=/6,数量积中最大的是,（1）已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，|a-b|=3，则|a+b|=_.,1.填空,1,方法一:发现|a+b|2+|a b|2=2(|a|2+|b|2)带入求得.,有其他方法吗？,方法二:由|a b|2=|a|2-2ab+|b|2 带入求得ab=-2.|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2 得|a+b|=1方法三:数形结合法，发现形的特殊性.,（2）已知 则a，b所成的夹角为_.,分析:根据两向量夹角公式,可得到所求结果.,2.选择 设a，b，c是任意的非零空间向量，且相互不共线，则：(ab)c-(ca)b=0|a|-|b|a-b|(bc)a-(ca)b不与c垂直(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 中，真命题是（）A.B.C.D.,D,
