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1、3.1.2 空间向量的数乘运算,O,结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.,一、空间向量的数乘：,2、空间向量的数乘的性质,1、定义：,实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘,3、空间向量的数乘的运算律,（3）数乘结合律：,（1）数乘分配律1：,（2）数乘分配律2：,1、定义：,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，则这些向量叫做,共线向量,二、空间中的共线向量,（或平行向量）,（3）非零共线向量的传递性：,（1）零向量与任一向量共线，,（4）空间共线向量定理：,
2、对空间任意两个向量,有且只有一个实数，使,思考1：为什么要强调,思考2：这个定理有什么作用？,1、判定两个向量是否共线,2、判定三点是否共线,若P为A,B中点,则,向量参数表示式,推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 其中向量 叫做直线 的方向向量.,若 则A、B、P三点共线。,A、B、P三点共线,结论1:,三、共面向量:,1.平行于同一平面的向量,叫做共面向量.,注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量,既可能共面，也可能不共面,由平面向量基本定理知，如果，是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内
3、的任意向量，有且只有一对实数，使,如果空间向量 与两不共线向量，共面，那么可将三个向量平移到同一平面，则有,那么什么情况下三个向量共面呢？,反过来，对空间任意两个不共线的向量，如果，那么向量 与向量,有什么位置关系？,C,2.共面向量定理：如果两个向量，不共线，,则向量 与向量，共面的充要条件是,存在实数对x,y使,推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使,C,对空间任一点O,有,填空：,1-x-y,x,y,C,式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.,由此可判断空间任意四点共面,共面向量定理的剖析,如果两个向量 a，b
4、 不共线,(性质),(判定),P、A、B、C 四点共面,结论2:,解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只要证明存在有序实数对（x,y）使得,例1.已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？,练习3.下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面,例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；平面EG/平面AC.,例2(课本例)已知 ABCD，从平面AC外一点O引向量,求证：四点E、F、G、H共面；,平面AC/平面EG.,证明：,（）代入,所以 E、F、G、H共面。,证明：,由面面平行判定定理的推论得：,例4,解:,连AN,小结,共面,
