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1、第八章 群论,在研究代数系统时，可以将结合律看成是代数系统的基本性质，并且将具有相同性质的代数集中研究，从而形成了很多特定的代数系统，如半群，群，环，域，格，布尔代数等等。而群是最早被研究的代数系统，半群的概念则是群的理论发展之后才引进的。,8.1 半群,1.概念定义8.1：设是代数系统，*是二元运算，如果*运算满足结合律，则称它为半群(Semigroups)例：例8-1：(1)设，则是半群(*矩阵乘法),8.1 半群,2.半群的幂运算设x为半群中的元素，x的n次幂定义如下：由于半群满足结合律，所以可用归纳法证明，如果，则称x是的幂等元。定理8.1：若是半群，S是有限集合，则称S中必含有幂等元
2、。,8.1 半群,8.1 半群,3.特殊半群定义8.2：如果半群中二元运算*是可交换的，则称是可交换半群；如：，可交换半群，不是。定义8.3：含有关于*运算幺元的半群，称它为独异点(monoid)，或含幺半群，常记作例：，是独异点，不是。对于独异点，一般规定，,8.1 半群,定义8.4：(1)设为一半群，若，*在T中封闭，则称为子半群；(2)设为一独异点，若，*在T中封闭，且幺元，则称为子独异点。,8.1 半群,4.性质定理8.2：一个有限独异点，的运算表中不会有任何两行或两列元素相同。例8-2：(1)S=a，b，c，*运算的定义如表，判断的代数结构；(2)判断 的代数结构。,8.1 半群,(
3、2),i)：封闭性：(画表)，ii)：可结合性：有的定义可知，iii)：幺元：0,表中没有人员两行或两列元素完全相同。,8.1 半群,定理8.3：设，是半群，f为S到T的同态，这时称f为半群同态，对半群同态，有(1)：同态像为一半群；(2)：当为独异点时，则为一独异点。证：由7.10，7.11可得。,8.2 群的定义与性质,1.概念独异点中含有幺元，可以考虑其中每个元素是否有逆元，由此引出一个特殊的独异点，即群的概念定义8.5：如果代数系统满足：(1)为一半群；(2)中有幺元；(3)中每个元素 均有逆元；则称代数系统为群(Groups)。群：每个元素都可逆的独异点，常用G表示；封闭，可结合，含
4、幺元，元素可逆。例：,8.2 群的定义与性质,例8-3：设G=a，b，c，e，*为G上的二元运算，满足下表。则G是一个群，且满足：(1)e是幺元；(2)G中任何元素的逆元就是它自己；(3)a，b，c三元素中，任何两个元素运算的结果都等于另一个元素。这样的群称为Klein四元群，简称四元群。,8.2 群的定义与性质,例8-4：设是一个独异点，并且每个元素都有右逆元，证明为群。,8.2 群的定义与性质,2.群的幂运算对于群中的任意元素a，可以类似半群一样来定义它的幂：即在群中，可以定义负数次幂定理8.4：对于群的任意元素a，b有：,8.2 群的定义与性质,8.2 群的定义与性质,8.2 群的定义与
5、性质,3.群的性质定理8.5：设为群，则(1):方程a*x=b，y*a=b在G中有解且有唯一解；(2):当 时，无零元；(3):G中所有元素都是可约的，即，有a*x=a*y=x=y，x*a=y*a=x=y；(4):运算表中任意一行(列)都没有两个相同的元素；(5):群G中除幺元e外无其它幂等元。,8.2 群的定义与性质,8.2 群的定义与性质,定义8.6：若群G为有限集合，则称G为有限群(Finite Group)，否则称为无限群(Infinite Group)，群G的基数称为群的阶(Order)。由定理8.5知：G为有限群时，*运算的运算表中每一行(列)都是G中元素的一个全排列，因此，当G分
6、别为1,2,3阶群时，*运算都只有一种定义方式：如下,8.2 群的定义与性质,4.元素的阶及性质定义8.7：设为群，满足等式 的最小正整数n称为a的阶(Order)或周期，记作|a|=n，若不存在这样的正整数n，称a是无限阶。例：(1)任何群G的幺元e的阶为1，且只有幺元的阶为1；(2)中幺元0的阶为1，其它整数均为无限阶元(3)中1的阶为4，2的阶为2，3的阶为4。定理8.6：有限群G的每个元素都有有限阶，且其阶数不超过群G的阶数|G|。,8.2 群的定义与性质,定理8.7：设为群，设k为整数，则(1)(2),8.2 群的定义与性质,8.2 群的定义与性质,例8-5：设G是n阶有限群，证明：
7、(1)G中阶大于2的元素个数一定是偶数；(2)若n是偶数，则G中阶等于2的元素个数一定是奇数。,8.2 群的定义与性质,定义8.8：设为一群，若*运算满足交换律，则称G为交换群，或阿贝尔群(Abel group)，阿贝尔群又称加群，常表示为，加群的幺元常用0表示，常用-x表示x的逆元。例：，。定理8.8：设为一群，为阿贝尔群的充要条件是对，有(x*y)*(x*y)=(x*x)*(y*y).,8.2 群的定义与性质,8.3 子群,定义8.9：设为群，如果为G的子代数，且为一群，则称为G的子群(Subgroups)，记作HG。若H是G的子群，且 则称H是G的真子群，记作H是的子群，是的子群，是的子
8、群。1.子群的判定定理定理8.9(判定定理一)：设为群，那么为的子群的充要条件是：,8.3 子群,8.3 子群,定理8.10(判定定理二)：设为群，H是G的非空子集，那么为的子群的充要条件是：,8.3 子群,定理8.11(判定定理三)：设为群，H是G的非空有限子集，那么为的子群的充要条件是：,8.3 子群,2.特殊子群例8-5：设G为群，即a的所有幂构成的集合，则H是G的子群，称为由a生成的子群，记作，a称为生成元。由a生成的子群是包含a的最小子群。例：对Klein四元群，其每个元素生成的子群分别是：=e，=e,a，=e,b，=e,c对而言：=0,=0,1,-1,2,-2,=Z=0,2,-2,
9、4,-4,=,8.3 子群,例8-6：设G为群，令C是G中所有元素都可交换的元素构成的元素集合，即：则C是G的子群，称为G的中心。对于阿贝尔群G，G中所有元素都可交换，G的中心就等于G，对于某些非交换群G，G的中心是e。,8.3 子群,例8-7：设G为群，H，K是G的子群，则：,8.3 子群,3.构造G的全部子群的方法1.第0层：e2.第1层：3.第2层：例：0层：0；1层：=，=0,2,4,6,8,10，=0,3,6,9，=0,4,8,=,=0,6,；,8.3 子群,2层：,=,3层：，即G。子群格：G为群，S=H|HG，ARB AB，构成偏序集，称为群G的子群格。,8.4 陪集与拉格朗日定
10、理,1.群中子集合的乘积定义8.10：设为群，且A，B非空，则 称为A，B的乘积。(1)一般地：|AB|A|B|，当G可交换时，AB=BA(2)当A=a时，记aB=aB(3)性质：设为群，且A，B，C非空，则：i):(AB)C=A(BC)；ii):eA=Ae=A定义8.11：设为的子群，任一，称gH为H的左陪集(Left coset)，称Hg为H的右陪集(Right coset)，这里：,8.4 陪集与拉格朗日定理,例：G为Klein四元群，H=e，a是G的子群，则H的所有右陪集为：He=e，a=H，Ha=a，e=H，Hb=b，c，Hc=c，b2.陪集的性质定理8.12：设为的子群,则：,8.
11、4 陪集与拉格朗日定理,8.4 陪集与拉格朗日定理,定理8.13：设为的子群,有：定理8.14：任意两陪集或相同或不相交，即设为的子群，,8.4 陪集与拉格朗日定理,8.4 陪集与拉格朗日定理,定理8.15：设为的子群,，有：a，b属于H的同一左陪集利用陪集还可以定义陪集等价关系。,8.4 陪集与拉格朗日定理,定理8.16：设为的子群，则 是G上的等价关系，且，称R为群G上H左陪集等价关系。,8.4 陪集与拉格朗日定理,定义8.11：设为的子群，对，如果有，则称a，b为模H同余关系，记为：由定理8.16知：H的所有左陪集构成了G的一个划分，同样地，H的所有右陪集也构成了G的一个划分，令S=Ha
12、|a G,T=aH|a G，还可证明|S|=|T|。,8.4 陪集与拉格朗日定理,H在G中的左陪集数和右陪集数相等，统称为H在G中的陪集数，也叫H在G中的指数，记为G:H。由以上分析可导出拉格朗日定理。,8.4 陪集与拉格朗日定理,定理8.17：设G是有限群，H是G的子群，则|G|=|H|G:H。拉格朗日逆定理不成立，因此，据此定理只可判别一子代数“非子群”，却不可用它来判别一个子代数“是子群”。,8.4 陪集与拉格朗日定理,推论1：设G是n阶群，则，|a|是n的因子，且推论2：质数阶的群没有非平凡子群。证：若有非平凡子群，则其子群的阶必是原来群的阶的一个因子，与原来群的阶是质数矛盾。,8.4
13、 陪集与拉格朗日定理,推论3：设是群且|G|=4，则G同构与4阶循环群 或Klein四元群。,8.5 正规子群与商群,1.正规子群定义8.12：设为的子群，如果对任一，有gH=Hg，则称H是G的正规子群，记作(1)：任何群都有正规子群：G，e；(2)：当G为阿贝尔群时，G的所有子群都是正规子群；(3)：正规子群要求gH=Hg，但并不意味着g与H中的每个元素相乘都是可交换的；(4)：正规子群的左陪集和右陪集统称为陪集。正规子群的判定定理,8.5 正规子群与商群,定理8.17：设为的子群，是的正规子群当且仅当,8.5 正规子群与商群,2.商群利用群的正规子群可以诱导出一个新的群，这个群比原来的群简
14、单却又保留了原来群的许多性质。设为的正规子群，H在G中的所有陪集形成一个集合，即G/H=gH|g G(或Hg|g G)，在G/H上定义运算：定理8.18：设为的正规子群，群G的商代数系统构成群。,8.5 正规子群与商群,8.5 正规子群与商群,定义8.13：群G的正规子群H的所有陪集在运算 下形成的群G/H称为G关于H的商群，显然，当G为有限群时，|G|/|H|=|G/H|。例8-8：H=0,3，H为群 的正规子群，于是H的左右陪集为：,8.5 正规子群与商群,3.群同态如果存在群 到群 上的同态映射，则称群 与 同态，若同态映射是双射，则称群 与 同构。定理8.19：设 是群 到群 上的同态
15、映射，分别为 和 的幺元，则：定理8.20：群与它的每个商群同态,8.5 正规子群与商群,定理8.21：设 是群 到群 的同态映射，那么 的核K()构成 的正规子群,8.5 正规子群与商群,定理8.22：设 是群 到群 的同态映射，K=K()，那么商群 与同态像 同构。,8.5 正规子群与商群,例8-9：设h为群 到群 的同态映射，使得h(x)=2x(mod3)，即h(0)=h(3)=0,h(1)=h(4)=2,h(2)=h(5)=1,于是K=K(h)=0,3，则 为 的正规子群，所以：,8.6 特殊群：循环群与置换群,1.循环群定义8.14：设G为群，若存在，使得则称G为循环群，即G中的任何
16、元素都是a的幂(=e)，记为。例：(1)为循环群，1或-1为生成元；(2)为循环群，2是生成元。循环群G=分为n阶循环群和无限循环群；若a是n阶元，则，且|G|=n若a是无限阶元，则,8.6 特殊群：循环群与置换群,1.循环群的性质定理8.23：设G=是循环群：(1)若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和，且同构于；(2)若G是n阶循环群，则G含有(小于或等于n且与n互素的正整数r的个数，欧拉函数)个生成元，即 为生成元，且与 同构。,8.6 特殊群：循环群与置换群,8.6 特殊群：循环群与置换群,定理8.24：设G=是循环群，则(1)G的子群仍是循环群；(2)若G=为无限循环群，则G的
17、子群除e外，都是无限循环群；(3)若G=为n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好有一个d阶子群,8.6 特殊群：循环群与置换群,3.求循环群子群的方法G=：无限：e和，m为自然数；n阶：对每个n的因子d，有,8.6 特殊群：循环群与置换群,4.置换群在介绍函数时，我们介绍了置换的概念。(1)置换本质上是一个有限集合上的双射函数，例如：(2)中 的一个排列，共有n!个(3)的逆函数 为逆置换(4)置换的复合就是两个函数的的复合函数，如：,8.6 特殊群：循环群与置换群,(5)任何n元置换可以表示成不相交的转换(循环)之积，且表示唯一，如：,8.6 特殊群：循环群与置换群,这里补充两个概念：(6)对换：，每个转换可表示成一些对换之积：例：=(15236)(78)=(15)(12)(13)(16)(78),8.6 特殊群：循环群与置换群,(7)所有的n元置换构成的集合 构成群：封闭，可结合，幺元，恒等置换(1)，逆置换,
