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1、第一讲 二重积分的概念与性质,内容提要 二重积分的概念与性质教学要求 1.理解二重积分的意义与性质；2.掌握二重积分的概念与性质。,曲顶为平顶.,求曲顶柱体的体积 V=？,曲顶柱体的体积,一、实例,曲顶柱体:,例如,曲顶柱体体积 V 求法如下：,（1）分割:,分别以这些,小区域的边界曲线为准线，,(2)求每个小曲顶柱体的体积近似值：,(3)求近似和：,（4）取极限：,求平面薄片的质量,求法步骤如下：,（1）分割：,且表示该区域的面积。,（2）求近似：,（3）求和：,将求得的 n 个小薄片质量相加，,便得到整个薄片质量 M 的近似值：,（4）求极限：,将区域 D 无限细分，,和式的极限就是薄片的
2、质量,抽去上述两个问题的实际意义，归纳它们的相同点，给予定义如下：,二、二重积分的概念,定义：,如果当各,小区域直径最大值,此和式的极限存在，,则称此,极限值为函数,二重积分中各种符号的称呼：,由二重积分定义，可以得出：,曲顶柱体的体积 V,平面薄片的质量 M,对二重积分定义的说明：,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是曲顶柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D，如右图。,故二重积分（在直角坐标系下）可写为,即面微积元为,在二重积分的定义中，对区域 D 的划分是任意的，,因此，可对区域 D 进行特殊划分，,这样面积微元 可以记作，如图,三、二重积分的性质,性质,当 为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,常数可以提到积分号之外。,性质,(对区域具有可加性),性质,（如图1）,性质,若在D上,则有,性质,（二重积分估值不等式）,特殊地,所以,性质,（二重积分中值定理）,性质的几何意义是：,解,故,解,解,故,1.二重积分的定义,3.二重积分的性质（7个性质）,2.二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）,（和式的极限）,小 结,曲顶柱体体积,曲顶柱体体积相反数,
