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1、第一节 定积分的概念和性质（二）,一、基本内容,二、小结 思考题,在下面的性质中，假定定积分都存在，且若无特别说明则不考虑积分上下限的大小,对定积分的【补充规定】,【说明】,一、基本内容,【证】,【性质1】,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,（逐项积分）,【证】,【性质2】,【补充】不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.,例若,【性质3】,则,（积分区间的可加性）,【推广】,首尾相接,【证】,【性质4】,【性质5】（不等式性质）比较性质,【几何意义明显】,保号性,【解】,令,于是,【性质5的推论】,【证】,推论1,【证】,推论2,【说明】,【证】,（此性质可用于估计积分值的大致范
2、围）,【性质6】（估值性质）,【解】,复习闭区间上的连续函数求最值的一般方法.,【解】,【证】,由闭区间上连续函数的介值定理的推论知：,【性质7】（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,数值,【积分中值公式的几何解释】,【注意】,1.积分中值定理的,（见下节例6）,微分中值定理的,2.显然，积分中值公式不论ab还是ab都是成立的.,3.从几何角度易看出，,表示连续曲线 在 上的平均高度.,为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边,而高为f()的一个矩形的面积。,亦即函数 在 上的平均值.,它是有限个数的平均值概念的拓广,【解】,由积分中值定理知有,使,【分析】去掉积分号才容易求极限，则想到用积分中值定理,等价无穷小代换最简单,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,二、小结,（3）积分中值定理的应用,【思考题】,【思考题解答】,例,
