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第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性,一、连续函数的四则运算二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性,一、四则运算的连续性,定理1,例如,二、反函数与复合函数的连续性,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,定理3,例1,解,定理4,注意定理4是定理3的特殊情况.,例如,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,基本初等函数在定义域内是连续的.,(均在其定义域内连续),一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,1.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意,例3,例4,解,解,注意2.初等函数求极限的方法代入法.,第十节 闭区间上连续函数的性质,一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理,一、有界性与最大值和最小值定理,例如,定理1(有界性与最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.,二、零点定理与介值定理,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例1,证,由零点定理,例2,证,由零点定理,
