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1、,本次课内容随机过程的特征估计随机过程的联合分布与互相关函数随机过程的功率谱,6.各态历经随机过程（Ergodic random process）,各态历经性的解释：,对于遍历过程，由一条样本函数可确定过程的均值,Check Yourself,Consider the process X(t)=A,where A is a random variable with zero mean and variance 2.Which of following is correct?,X(t)is a wss RP and ergodic RPX(t)is a sss RP and ergodic RP
2、X(t)is a sss RP and is not a ergodic RPX(t)is not a sss RP.but it is a ergodic RPNone of all,A.B.C.D.E.,Check Yourself,Consider the process X(t)=A,where A is a random variable with zero mean and variance 2.Which of following is correct?,X(t)is a wss RP and ergodic RPX(t)is a sss RP and ergodic RPX(t
3、)is a sss RP and is not a ergodic RPX(t)is not a sss RP.but it is a ergodic RPNone of all,A.B.C.D.E.,解、,平稳随机过程,不是各态历经过程,（2）均值和自相关函数估计,对各态历经过程，可以通过对一条样本函数的观测，就可以估计出随机过程均值、方差和相关函数。,连续随机过程：,随机序列：,(3)分布函数遍历性,X(t)分布函数的遍历性等效于Y(t)的均值遍历性,是X(t)x的时间间隔,Estimation of PDF,2.4 随机过程的联合分布与互相关函数联合分布函数与联合概率密度互相关函数及其性
4、质举例,1.联合分布函数和联合概率密度 Joint distribution function and join probability densities,n+m维联合分布函数：,n+m维联合概率密度：,平稳相依：如果X(t)与Y(t)的联合统计特性不随时间起点的平移而变化，则称X(t)与Y(t)是严格联合平稳的(joint strict sense stationary)。即,2.互相关（Crosscorrelation）函数及性质,互协方差（Crosscovariance）函数,若，则X(t)与Y(t)正交；若，则X(t)与Y(t)不相关；,则称X(t)与Y(t)广义联合平稳(joint
5、ly wide sense stationary),如果,互相关函数的性质：,若X(t)与Y(t)是联合平稳的，则 Z(t)=X(t)+Y(t)是平稳过程，且,3、互相关系数,又称归一化互协方差函数或标准互协方差函数,例2.14 设,解、,其中0 为常数，在(0，2)上均匀分布，求互协方差函数。,An Example of Signal Processing,Determine the distance based on ACF.Consider a system(see Figure)where a signal source produces a random signal,being a
6、 realization of a stochastic process.,研讨题(课程论文）：A Comparative Study of Time-Delay Estimation Techniques Using Microphone Arrays.,2.5 随机过程的功率谱密度（Power Spectral Density,PSD)连续时间随机过程的功率谱 定义 功率谱密度与相关函数关系 功率谱的性质随机序列的功率谱,1.定义（Definition of PSD),频谱：,回顾频谱的概念,2.5.1 连续时间信号的功率谱,频谱存在的条件,能量有限的信号称为能量型信号,能量谱密度：,根据
7、Parseval定理,能谱密度存在的条件：,功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号,随机信号的样本函数能量是无限的,但功率往往是有限的.,随机过程的样本函数及其截尾函数,随机变量,定义随机过程的功率谱密度为：,功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征,表示单位频带内信号的频率分量消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值.,缺陷:不含相位信息,2.功率谱密度与相关函数关系,维纳辛钦定理,条件:,平均功率有限,要求均值为零,平均功率,由相关函数的性质:,物理谱定义：,3.功率谱的性质,(3)相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。,(1)若随机过程均值非零
8、，则功率谱在原点有一函数；若含有周期分量，则在相应的频率处有函数；,(2)对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；,总的平均功率,(4)随机过程的有理谱形式：,性质：,nm;,零、极点共轭成对,谱分解定理,4.功率谱密度计算举例,例2.15 随机相位信号,例2.16 已知谱密度为 求相关函数。,由公式：,例、若平稳过程X(t)的功率谱密度为 求相关函数。,解、,当,Example(line spectra):Suppose that the RVs ai are uncorrelated with zero mean and variance.Let,Suppose RVs ai an
9、d bi are uncorrelated with zero mean and,Example:Consider the process,An interesting application,We note that if v=0,then,Thus,the motion causes broadening of the spectrum of s(t),2.5.3 互功率谱密度（Cross-Power Spectral Density),Definition:,Wiener-Khinchin Theorem:,Properties of CPSD:,2.5.4 非平稳随机过程的功率谱 Po
10、wer spectral density of nonstationary process,功率谱的定义,对平稳和非平稳过程都是适应的。但实际中很难根据上式确定功率谱，对于非平稳过程需要寻找其它方法。,收敛域是一个包含单位圆的环形区域,其中C是收敛域内包含平面原点逆时针的闭合围线,2.5.2 随机序列的功率谱,由于 GX(z)的收敛域包含单位圆，因此可以令,随机序列功率谱的性质,功率谱是实偶函数,功率谱密度是非负,如果随机序列的功率谱具有有理谱的形式,那么,功率谱可以进行谱分解,功率谱中所有零极点在单位圆内的那一部分,功率谱中所有零极点在单位圆外的那一部分,成对出现,例2.17,例2.18 设X(n)为一个平稳随机序列，在许多信号处理系统中常做抽取和内插的处理，分析对它做抽取后，它的平稳性和功率谱密度的变化情况。,平稳,高频项功率谱出现混叠现象,
