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1、第一篇,力学,第3章 刚体的定轴转动,第3章 刚体的定轴转动,Rotating of a Rigid Body About a Fixed Axis,第1节 刚体的平动和转动,第2节 刚体定轴转动定律,第3节 刚体转动的功和能,第4节 刚体的角动量定理 和角动量守恒定律,第5节 滚动与进动,Translation and Rotation of a Rigid Body,第1节 刚体的平动和转动,1.刚体（大小和形状不能忽略）,大小和形状都保持不变的物体。,刚体内任意两质点之间的距离保持不变。,刚体可看成是各质点间相对位置保持不变的特殊的质点系。,关于质点系的力学规律都可用于刚体。,质心,选哪
2、个点来代表？,2.刚体的平动 质心,连接刚体内任意两点的一条直线在运动的各个时刻的位置都彼此平行。刚体的这种运动称为平动。,刚体作平动时，其上各个质点的运动状态完全相同，故可用任意一点的运动代表刚体整体的运动。,通常用质心的运动来代表整体的运动。,平动,质心：质量分布的中心,质心的位矢,N个质点质量 m1,m2,mN,定义：,质心的位矢,质心,注意,密度均匀的刚体：,或,?,质点系,对应的位矢,质心运动定理,质心的速度：,质心的加速度：,设mi受力,则：,对所有质点求和：,0,质心运动定理,即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中 于该点,是质点系受的所有外力。,注意：质心上可能既无质量，又
3、未受力。,哑铃,炮弹,演示：锥体上滚,3.刚体的转动 刚体定轴转动的描述,转轴上各点都保持静止,转动：刚体各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动。,最简单的情况是转轴的位置和方向都固定不变的转动，称为刚体的定轴转动。,在同一时间内,各点对轴的转角相等，但线速度不同。,用角量来描述转动规律较为方便。,(1)角位置,定轴转动的运动方程,(3)角速度,(4)角加速度,(2)角位移,描述刚体的定轴转动的物理量,w,定轴转动中角量与线量的基本关系,角量的方向：,右手螺旋法则,1.力矩,（1）在垂直oo 的平面内,（2）不在垂直oo 的平面内,对刚体绕oo轴的转动无贡献,总可分解成两个分量：,计算 时,只需考
4、虑 的力矩,即Mz.,第2节 刚体定轴转动定律,Principle of Rotation of a Rigid Body About a Fixed Axis,(参考点在转轴上),在轴上任选参考点O,则任一质元A对O 的角动量为:,质点系的角动量定理:,2.定轴转动定律,只有力矩的z向分量对定轴转动有作用!故求此分量Mz的表达式:,转动惯量,将Mz改写为M，则,定轴转动定律,将Lz改写为L，则,对定轴的角动量,刚体对定轴(z 轴)的转动惯量,由刚体上各质元相对于固定转轴的分布决定，与外力无关，是表征刚体转动惯性的特征量。,与牛顿第二定律比较：,J,m,m反映质点的平动惯性,定轴转动定律:,J
5、反映刚体的转动惯性,J,m,刚体对定轴的角动量:,3.转动惯量的计算,（1）分立的质量元构成的系统,（2）质量连续分布的系统(如:刚体),在SI制中，J 的单位：kgm2,质量元dm 的计算方法如下：,质量为线分布：,质量为面分布：,质量为体分布：,线密度,面密度,体密度,例1.求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过环心。,解：,若是半径为R的薄圆筒（不计厚度）结果如何？,在圆环上取质量元dm,结果形式不变,例2.求质量为m,半径为R,厚为l 的均匀圆盘的 转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：,r,取半径为r宽为dr的薄圆环,其质量为：,显然：转动惯量与l 无
6、关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。,例3.如图所示,一个均匀半圆薄板的质量为m,半径 为R.以其直径边为转轴,它的转动惯量多大？,解:,取窄条状面元dS.,设面密度为.,dS,h,d 对应的弧长为Rd,?,X,例4.求长为L、质量为m的均匀细棒 对图中不同轴的转动惯量。,o,解：取如图坐标,dm=dx,以质心为转轴的J：,可见：同一物体绕不同的转轴的转动惯量不同！,X,o,以棒一端为转轴的J：,（3）平行轴定理,JC是通过质心的轴的转动惯量，JA是通过棒端的轴的转动惯量 两轴平行，相距L/2。,上述结论可以推广：,平行轴定理,若有任一轴与过质心的轴平行,相距为d,刚体对其转动惯
7、量为J，则有：,一些常见刚体的转动惯量：,细棒,细棒,薄圆环或薄圆筒,圆盘或圆柱体,薄球壳,球体,竿子长些还是短些安全？,例:,已知,q,q,m,L,O,两匀直细杆,地面,解：,4.刚体定轴转动定律的应用,例5.一根长为L、质量为m的均匀细直棒,其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平 面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O 的力矩。,m,m,合力矩：,棒上取质元dm,当棒处在 下摆角时,重力矩为：,重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。,又：,即：,例6.质量为m、长为L的匀质细杆水平放置,一
8、端 为铰链，另一端用绳悬挂。求剪断绳子瞬时,杆的角加速度以及铰链的支撑力。,解：,剪断时细杆绕O点的力矩为,o,根据定轴转动定律,质心平动：,例7.在半径为R,质量为m，J=mR2的滑轮上挂一细绳，细绳两端各挂两物m1m2。,解：,m1、m2作为质点处理,滑轮作刚体处理,T1,T2,根据牛顿定律：,y,由定轴转动定律：,联立解得：,求:两物的加速度 a及滑轮的角加速度.,动画,第3节 刚体转动的功和能,Work and Energy of a Rotating Rigid Body,1.刚体的转动动能,多个质点组成的质点系的动能定义为:,所以，转动的刚体的动能为:,2.力矩的功,力在这段元位移
9、中所做的功是:,即:力对转动刚体所做的功用力矩的功来计算!,所以，,3.刚体绕固定轴转动的动能定理,在刚体的转动过程中,合外力矩M对刚体所做的功为:,即：,合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量刚体绕固定轴转动的动能定理,4.刚体的重力势能,y,x,O,M,C,质元mi的势能：,整个刚体的势能：,刚体的重力势能,5.机械能守恒定律,对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力做功,则此系统的机械能守恒。,它的全部质量都集中在质心时所具有的势能,例10.一根长为L,质量为m的均匀细直棒,一端有一 固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面内转 动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角
10、加速度和角速度。,解：,（用机械能守恒定律重解P20例5),在棒摆动过程中系统的机械能守恒。,设棒在水平位置时重力势能为零，由机械能守恒知:,与前面解得的结果一致!,1.刚体的角动量,刚体上的任一质元绕固定轴做圆周运动时相对于转轴上任意一点O的角动量在轴上的分量的大小均为：,故，刚体对此轴的角动量为：,即：刚体对定轴的角动量L,等于它对该轴的转动 惯量J和角速度的乘积。,简写为：,第4节 刚体的角动量定理和角动量守恒定律,Principle of Angular Momentum&Law of Conservation of Angular Momentum of a Rigid Body R
11、otating About a Fixed Axis,质点的角动量定理为,对质点系任意一质点,定轴方向,0,对质点系:,由上可得：,定轴转动定律,刚体绕定轴的角动量定理,2.刚体绕定轴的角动量定理,内,外,Jz不变,Jz变化,合外力矩 M 对刚体绕定轴的冲量矩为：,即:对某一定轴的外力矩的作用在某段时间内的 累积效果为刚体对同一转动轴的角动量的增量。,刚体绕定轴的角动量定理：,简写为,当合外力矩,则,角动量守恒,讨论,（1）当 L=常量，,若J=常量，,则=常量，,即：刚体保持恒定的角速度 转动。,当 L=常量，,若J 常量，,J=常量，,则 常量。,或J,（2）此定律可推广到含多个质点、多个
12、刚体的系统,3.角动量守恒定律,旋转,例11.如图，质量为 M 半径为 R 的转台初始角速度为 0,有一质量为m 的人站在转台的中心,若他相对于转台以恒定的速度 u 沿半径向边缘走去,求人走了t 时间后,转台转过的角度。（竖直轴所受摩擦阻力矩不计）,解：,人与转台系统对轴角动量守恒,设 t 时刻人走到距转台中心 r=ut 处，转台的角速度为.,例12.匀质细棒质量为m,长为2l,可在铅直平面内 绕通过其中心的水平轴O自由转动.开始时 棒静止于水平位置,一质量为m的小球,以速 度u垂直落到棒的端点,且与棒作弹性碰撞,碰撞时间极短.求:碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度.,解:以棒和小球为系统.在
13、碰撞过程中,对轴O的 外力矩只有小球的重力矩mgl.因碰撞时间 极短,此重力矩对时间的累积可忽略不计.,于是,系统对转轴O的角动量守恒:,以顺时针转动时的角动量方向为正,则由角动量守恒得:,因作弹性碰撞,故在碰撞过程中机械能守恒:,于是,系统对转轴O的角动量守恒,由(1)(2)解得:,例13、一人手持长为 的棒的一端打击岩石，但又要避免手受到剧烈的冲击。请问：此人应当用棒的哪一点去打击岩石才会受力最小？,解：,打击前，棒的运动可看成绕手握端的定轴转动，为满足打击时手受力最小，即手受力为零。,于是打击过程中棒只受岩石的反作用力，该力使棒的质心速度降为零，棒的转动速度也降为零。,设打击时间为，打击
14、点与手握端的距离为,（动量定理）,（角动量定理）,解得：,刚体的非定轴的运动,1.滚动,可看成,轴平动刚体绕定轴转动,合成,运动方程,质心平动,定轴转动,注意：,10 角量是对质心而言的，可以证明：,30 S=R,演示,动画,20“0”的速度 v0=0！是瞬时静止的。这个点称为瞬心。,2.进动：陀螺在绕本身的对称轴线转动的同时，对称轴还将绕竖直轴 OZ 转动,这种回转现象称为进动。,进动产生的原因：,重力对 0 点的力矩为，,的方向：,的方向与 一致,使 改变方向,故陀螺的自转轴改变方向，绕一竖直轴进动进动角速度,根据角动量定理：,动画,对称轴绕Z轴转动刚体绕定轴转动,合成,例14.一个质量为
15、m半径为 R 的均匀圆柱体，从倾角为 的斜面上由静止开始无滑动地滚下，求质心的加速度。,解法一：,研究对象：圆柱体,建立坐标、受力分析：如图,运动方程：,平动：,转动：,联立，求得：,将 ac 代入（1）可得维持圆柱体滚动的最小静摩擦力,动画,解法二：,研究对象：圆柱体、三角块、地球组成的系统。,圆柱体受力：N，f，m g,零势面,0,注意解法一可以求力，解法二则不能，说明运动定律的作用。,N，f 都作用在瞬心上，无滑动，不作功。,只有 m g 作功，机械能守恒。设圆柱体滚过的距离为,刚体定轴转动与质点一维运动的对比,位移,角位移,速度,角速度,加速度,角加速度,质点一维运动,刚体定轴转动,质量,转动惯量,力,力矩,运动定律,转动定律,动量,动量,角动量,角动量,动量定理,角动量定理,动量守恒定律,角动量守恒定律,力的功,力矩的功,动能,转动动能,（平动动能）,动能定理,转动动能定理,重力势能,重力势能,机械能守恒定律,机械能守恒定律,作业3T1、T2、T3、T4,作业3T5、T6、T7、T8、T9,
