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1、理论力学（二）,哈密顿力学2009.10,拉格朗日方程的降阶,拉格朗日函数是以广义坐标和广义速度描述系统的。通过拉格朗日方程，可以得到二阶微分方程组。这与牛顿力学通过力的各个分量的分析，得到运动的加速度满足的方程具有类似的形式。可以用广义速度为中间变量vi，把二阶微分方程变为一阶微分方程，代价是变量个数加倍。,广义动量作为中间变量,这2s个方程中，计算 qi 的时间微商太简单，而计算 vi 的时间微商太复杂。中间变量取 vi 并不合适。从拉格朗日方程看，直接可以计算广义动量 pi，因而把它取为中间变量是合适的。但是，拉格朗日函数中，自变量含有广义速度，而不含有广义动量。需要反解出广义速度用广义
2、动量来表达。哈密顿力学的理论研究了如何取自变量和系统函数来描述力学体系，使所得方程更加简单易解：,勒让德变换,系统函数以谁为自变量，则它的全微分就写成这些变量的微分之线性组合，系数就是该自变量的共轭变量，也即系统函数对该自变量的偏微分。勒让德变换可以将系统函数的某个自变量（如下例的x）换为它的共轭变量（u），同时，系统函数也有相应变化。例如：,拉格朗日函数变换为哈密顿函数,拉格朗日函数为系统函数时，广义速度和广义动量是共轭坐标。如果想以 pi 为自变量，则进行勒让德变换：,哈密顿函数,定义哈密顿函数H(p,q,t)，数值上等于广义能量积分，但必须以广义动量为自变量。则对应有：,哈密顿正则方程,
3、得到哈密顿正则方程（共2s个）：方程给出了2s个变量随时间的变化率，可一步步积分求出以后各个时刻的值。其中前s个给出广义速度和广义动量之间的关系，后s个等价于原来的s个拉格朗日方程。p 和 q 称为正则共轭变量，正则方程具有对称形式。,哈密顿正则方程中的循环坐标,从对应关系 得知，如果拉格朗日函数不显含某个广义坐标，即存在某循环坐标，则哈密顿函数也不显含它，对应的广义动量守恒，因而可以将系统的自由度减少一维（可遗坐标）2s个正则变量只要其中一个在哈密顿函数中不显含，它对应的正则共轭变量就是常数，系统的自由度就可以减少一维（可遗）。如果拉格朗日函数不显含时间，则哈密顿函数也不显含时间，广义能量积
4、分或哈密顿量守恒。,哈密顿正则方程与拉格朗日方程比较,拉格朗日函数及方程可以直接得到。而哈密顿函数需要通过广义动量代替广义速度之后，从拉格朗日函数经过变换得到。拉格朗日方程是二阶的微分方程，而哈密顿方程是一阶的。但哈密顿方程的变量个数增大了一倍。对于循环坐标，哈密顿正则方程处理起来方便很多，无论哈密顿函数缺少任意一个q，p，t，都可以找到它相应的守恒量。拉格朗日方程和哈密顿方程本质上是等价的。,劳斯函数,经过对比得知，哈密顿正则方程擅长对循环坐标处理，而拉格朗日方程对普通坐标处理较为简便。若只对循环坐标采用勒让德变换，使其处理用哈密顿正则方程，而对其余则不做变换，所得的为劳斯函数。设q1qm是
5、循环坐标，其余不是，则劳斯函数为,劳斯方程,同时，对应可得,由哈密顿原理推导哈密顿正则方程,由哈密顿原理出发，将p，q都看成是独立变量，变分之后能得到哈密顿正则方程。,第15次课,哈密顿正则方程解题步骤,用哈密顿正则方程解题的步骤大致有确定系统的自由度，选取广义坐标。写出系统的拉格朗日函数。计算广义动量，并用广义动量来表示广义速度。通过勒让德变换计算哈密顿函数H。得到的H表达式中的广义速度用广义动量替换。列出哈密顿正则方程。求解方程，得到广义坐标随时间的变化关系。并结合初始条件确定积分常数。,哈密顿正则方程举例一,一维弹簧振子,哈密顿正则方程举例二,平方反比有心力场中的运动不能因为pq是恒量而
6、直接替去L中的，而是应该用劳斯函数，其中pq才能当常数处理。,哈密顿正则方程举例三,带电粒子在电磁场中运动,哈密顿正则方程举例四,相对论粒子在电磁场中运动,正则变换,通过对拉格朗日函数做勒让德变换，以广义动量为自变量替换了广义速度，得到哈密顿正则方程。进一步，考虑用一组新的自变量 Qi(q,p,t)，Pi(q,p,t)和新的系统函数 K(Q,P,t)和方程来描述力学体系的演化，有可能使得方程求解更加简便。如果新的变量和函数之间仍然满足正则方程，则从q，p，H到Q，P，K的变换为正则变换。,正则变换的等价条件,如果到Q，P，K的变换为正则变换，则有 反之，将Q，P视为独立变量，也可以得到正则方程
7、，因而是正则变换。进一步，如果有（其中 f 是任意函数），则显然也能满足积分的变分为0的条件，也即能判断是正则变换。这是因为真实运动过程的作用量最小，无论用新旧变量描述，只相差一个全微分。,正则变换的生成函数,虽然 f 任意，按照其全微分应该写为各个变量微分的线性组合的原则，这里 f 称为生成函数，它的自变量应该是 f1=f(q,Q,t)。因此对应各项系数，有,正则变换的第2种类型,还可以通过勒让德变换，用 p 或 P 作为 f 的自变量，能得到其他3种类型的正则变换。对应各项系数有,正则变换的3、4种类型,第3种类型的正则变换的生成函数和系数对应关系为：第4种类型的关系为：,第16次课,几个
8、简单的正则变换,广义坐标和广义动量互换，生成函数为相空间平移,正则变换实例,给定P，Q表达式，求证为正则变换的问题，通过化 为全微分即可（若没给 K 则取 K=H）。例：证明 Q=ln(sin(p)/q)，P=q cot(p)为正则变换。,正则变换实例,证明给定P=P(p,q)，Q=Q(p,q)是正则变换的充分必要条件为雅克比行列式 证：,正则变换实例,给出变换求生成函数。已知有一变换Q=qncos(mp)，P=qnsin(mp)，其中m,n是常数。求该变换为正则变换时m,n的值。(2)正则变换时的第3类生成函数。证：,正则变换实例,给出生成函数求变换并求解。对于谐振子哈密顿函数 进行正则变换
9、，求解系统的运动。解：,正则变换实例,给出生成函数求变换并求解。已知生成函数 给出相应的正则变换，并求解抛体的运动问题。解：,泊松括号,泊松括号定义为对于只含单个p,q的情况是雅克比行列式。利用正则方程，任意函数的全微分可表示为：用以判断该物理量是否守恒。,第17次课,泊松括号基本性质,反对称性是否配对 正则变换时微分分配律结合律泊松恒等式正则不变性,泊松定理,如果f(q,p,t)和g(q,p,t)是守恒量，则由他们组成的泊松括号也是守恒量。利用全微分算符和偏微分算符可交换的性质，有即可得证。由泊松定理，可以从两个已知的守恒量推导出更多的守恒量，但大多得到的是常数或原来运动积分的线性组合。,泊
10、松括号的正则不变性,进行了正则变换之后，用新的P，Q作为泊松括号表达式中作偏导数的自变量，其泊松括号不变，即柏松括号的正则不变性。对于自由度为1的情况，有即可得证。多维的情况证明从略。,泊松括号例题,Jx，Jy，Jz和J分别是相对原点的角动量的三个分量和总角动量。求Jx，Jy，Jx，J，说明Jx，Jy不能同时成为广义动量，若他们两个都是运动积分，则Jz也是运动积分。证：两个广义动量的泊松括号必为0而Jx，Jy0。,哈密顿-雅可比方程的由来,取适当的生成函数，正则变换之后，有可能使得系统函数特别简单，从而方程的求解也很简单。最简单的情况是，系统函数变为0。这时，由P，Q满足的正则方程可得：因此，
11、P，Q均为常数。同时，若是第2类生成函数，则有,哈密顿-雅可比方程,这样，牛顿力学中求解方程的问题，转化为如何寻找适合的生成函数的问题。设生成函数（主函数）是S，则有这就是哈密顿-雅可比方程。通过求解此方程，可以得到包含s+1个积分常数（记为P0，P1，.，PS）的生成函数S。,哈密顿主函数中的积分常数,这s+1个积分常数，正是哈密顿-雅可比方程中s+1个自变量的偏微分经过积分得到的。其中，P0不起任何作用，也没有物理意义，可以舍去或取为0。其余s个，取作生成函数中的P，即正则变换的新广义动量。由正则变换，可以得到s个运动积分Q：,哈密顿主函数的物理意义,哈密顿主函数S其实正是作用量函数，这可
12、以从下式中看出：哈密顿主函数S也被称为哈密顿作用量函数。哈密顿函数如果不显含时间 t，则它为守恒量，从而主函数可以积分得到如：其中 W 不含时间，称为哈密顿特征函数。,哈密顿-雅可比方程的解法,求解偏微分的哈密顿-雅可比方程，一般常用分离变量法。如前面对哈密顿函数不含时间 t 的处理，即是分离变量 t。一般来说，如果哈密顿函数中只含有某个坐标 qk 和 pk 的组合 g(qk,pk)，则在哈密顿-雅可比方程中，可以令而在哈密顿-雅可比出现这个组合的地方用这个常数代替，使方程中减少了这个变量。,第18次课,哈密顿-雅可比方程实例,用哈密顿-雅可比方程求解一维简谐振荡。解：,哈密顿-雅可比方程实例
13、,用哈密顿-雅可比方程求解开普勒问题。解：,哈密顿-雅可比方程分离变量实例,用哈密顿-雅可比方程求解哈密顿函数为的问题。解：,分析力学的应用连续体系,连续体系：由无限多个相互关联的介质或场构成的、空间上连续变化的力学体系。如弹性固体，流体，甚至电磁场，都可以当作连续体系处理。以一维弹性体为例，将连续体系看作是各个离散的质点，单位体积的拉格朗日函数为：,连续体系的拉格朗日函数,连续体系的特点是具有以时间和空间为自变量的场量。在弹性力学中，E是杨氏模量，代表物体的弹性。l是物体的线密度。偏离平衡位置的位移量作为连续体系的场量。全空间的拉格朗日函数为：其中，广义速度在保留一阶小量时可以写为q对时间的
14、偏微分。,连续体系的拉格朗日方程,连续体系的特点是具有以时间和空间为自变量的场量。拉格朗日密度函数一般含有场量对时间的偏微分和对空间的偏微分。从而可以运用哈密顿最小作用量原理求出场量所遵循的拉格朗日方程。,连续体系的拉格朗日方程,通过对时间和空间分部积分得到：,第19次课,一维弹性体的拉格朗日方程,对于一维弹性体，可得：这是一个以速度 vs 传播震动的波动方程。,电磁场的拉格朗日函数,对于电磁场本身贡献的部分，必须是与坐标选取无关的标量（注意到dVdt是4维时空的“体积”，是与坐标选取无关的量）：,电磁场的拉格朗日方程,而带电粒子与场的相互作用部分为：从而：应用哈密顿原理得拉格朗日方程：,电磁
15、场的麦克斯韦方程,从而：,电磁场的麦克斯韦方程,加上本身具有的性质：构成了麦克斯韦方程组。并且，4维空间的方程具有简洁的形式，在相对论的洛仑兹变换下方程的形式不变。爱因斯坦的相对论论文题目就是“论运动物体的电动力学”。在电动力学中，光在不同坐标系中的速度不变是一个基本的事实。真空中电磁波满足波动方程与坐标系无关：,第20次课,量子力学的建立,经典物理学在描述微观世界时，遇到了很大的困难。在新的观念和假设下，量子力学得以建立，能成功地描述很多微观物理现象。量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起
16、构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学、半导体器件、激光等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。,旧量子论,量子力学在旧量子论的基础上发展起来，旧量子论包括：普朗克的量子假说爱因斯坦的光量子理论玻尔的原子理论1900年，普朗克提出辐射量子假说，假定电磁场和物质交换能量是以间断的形式(能量子)实现的，能量子的大小同辐射频率成正比，比例常数称为普朗克常数，从而得出黑体辐射能量分布公式，成功地解释了黑体辐射现象。,爱因斯坦的光量子理论,1905年，爱因斯坦引进光量子(光子)的概念，并给出了光子的能量、动量与辐射的频率和波长的关系，成功地解释了光电效应。其
17、后，他又提出固体的振动能量也是量子化的，从而解释了低温下固体比热问题。爱因斯坦获得诺贝尔奖是因为他的光电效应理论，而不是因为他的狭义相对论和广义相对论的工作。,玻尔的原子理论,1913年，玻尔在卢瑟福有核原子模型的基础上建立起原子的量子理论。按照这个理论，原子中的电子只能在分立的轨道上运动，原子具有确定的能量，它所处的这种状态叫“定态”，而且原子只有从一个定态到另一个定态，才能吸收或辐射能量。这个理论虽然有许多成功之处，但对于进一步解释实验现象还有许多困难。,量子力学与经典理论,从经典力学过渡到量子力学的过程中，需要对旧量子论涉及的物理现象有理论解释。量子理论在宏观世界中应该与经典力学的描述一
18、致。有关的工作有：德布罗意的波粒二象性的假说薛定谔方程海森伯的测不准关系狭义相对论量子理论,德布罗意的波粒二象性的假说,在人们认识到光具有波动和微粒的二象性之后，为了解释一些经典理论无法解释的现象，法国物理学家德布罗意于1923年提出微观粒子具有波粒二象性的假说。德布罗意认为：正如光具有波粒二象性一样，实体的微粒(如电子、原子等)也具有这种性质，即既具有粒子性也具有波动性。这一假说不久就为实验所证实。由于微观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。当粒子的大小由微观过渡到宏观时，它所遵循的规
19、律也由量子力学过渡到经典力学。,薛定谔方程,量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，粒子的状态用波函数描述，它是坐标和时间的复函数。为了描写微观粒子状态随时间变化的规律，就需要找出波函数所满足的运动方程。这个方程是薛定谔在1926年首先找到的，被称为薛定谔方程。这个方程，可以看作源自经典力学的哈密顿-雅可比方程，经过一些转换获得。,海森伯的测不准关系,当微观粒子处于某一状态时，它的力学量(如坐标、动量、角动量、能量等)一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。当粒子所处的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全
20、确定。这就是1927年，海森伯得出的测不准关系，同时玻尔提出了并协原理，对量子力学给出了进一步的阐释。,相对论量子力学,量子力学和狭义相对论的结合产生了相对论量子力学。经狄拉克、海森伯和泡利等人的工作发展了量子电动力学。20世纪30年代以后形成了描述各种粒子场的量子化理论量子场论，它构成了描述基本粒子现象的理论基础。,新量子论,1925年，海森堡基于物理理论只处理可观察量的认识，抛弃了不可观察的轨道概念，并从可观察的辐射频率及其强度出发，和玻恩、约尔丹一起建立起矩阵力学；1926年，薛定谔基于量子性是微观体系波动性的反映这一认识，找到了微观体系的运动方程，从而建立起波动力学，其后不久还证明了波
21、动力学和矩阵力学的数学等价性；狄拉克和约尔丹各自独立地发展了一种普遍的变换理论，给出量子力学简洁、完善的数学表达形式,量子力学的理论形式,量子力学的三种形式：海森伯，矩阵描述。狄拉克，费米，路径积分形式。薛定谔，波动方程。通过不同的假设和理论线路创建并完善量子力学理论，得到的结果在数学上是等价的。相当于经典力学中，正则变换将一种理论形式转变为另外一种理论形式。,薛定谔对作用量函数的代换,薛定谔的波动量子力学从哈密顿-雅可比方程入手，对经典的作用量函数（特征函数）作变量代换：这个代换，从数学上讲没有任何问题，但这里很自然地引入了普朗克常数作为作用量函数的单位，而这个常数与玻尔的氢原子理论中的量子
22、化常数是相同的。,对氢原子模型的处理,对于氢原子模型，实际上就是经典力学中的开普勒问题，用经典力学的结果解释不了实际的氢原子。以氢原子为例，可以让我们了解如何从经典力学过渡到量子力学的。哈密顿-雅可比方程变为：,薛定谔对方程的假设,事实上，薛定谔并不是直接求解此方程，而是认为该方程左端的空间积分的变分为0：利用对于连续体系积分的变分处理，可得到：,量子力学的物理量和算符,方程可改写为：与经典力学相比，哈密顿量成为算符，动量也成为算符：从经典力学的哈密顿-雅可比方程过渡到薛定谔方程，所产生的变化是：物理量成为算符，算符的次序不可交换性导致泊松括号的结果不为0，每个物理量都对波函数作用。,氢原子的
23、能量量子化,从氢原子方程求出的本征值E为：这个结果与玻尔的氢原子模型所得的完全相同。这说明当初预先假设氢原子的能量是量子化的是不必要的，而只是因为本征值是量子化的结果。如果对于另外一些方程的本征值可以取连续的值，则能量也是连续的。,一维谐振子的解,薛定谔方程示例：一维谐振子问题若有解,第21次课,刘维尔定理,相空间。由多个粒子构成的体系中，以广义坐标和广义动量为自变量构成的空间。又称为G空间，自变量(q1,.,q3n;p1,.,p3n)。代表点。系统处于某个初始坐标和动量，可用在相空间中一个代表点来表示。统计系综。对于相空间中的一群代表点作统计平均。刘维尔定理：相空间的代表点的统计系综的分布密
24、度在运动过程中保持不变。,相空间的连续性方程,考虑在相空间G的一个小的方体积元DV内，单位时间内流出这个侧面和进入体积的一个侧面相对的另一个侧面的粒子个数之差为：这些净流出的粒子使小体积元内密度减小，即得相空间的连续性方程,刘维尔定理的证明,由于相空间的内粒子满足正则方程，则：即在相空间的代表点的密度在运动过程中不改变。,刘维尔定理的应用,由于物理量 r 的变化可以表示为：在系统达到了平衡时，各处的密度将不再随时间变化，即因此有由此可推导各种平衡态的分布函数（即相空间的密度 r），特别是当分布函数是以H为自变量的函数时，显然满足条件 r,H=0，可作为平衡时的分布函数。,刘维尔定理的应用,例如
25、，平衡状态的气体的速度分布为：描述等离子体状态的动力论方程，即为刘维尔定理的又一个应用其中，f 是分布函数，也即相空间的粒子密度，F 是粒子受力，m是粒子质量，二者相除得到加速度，是速度变量（代替广义动量）的时间全导数。,位力定理,如果一个系统，其中所有粒子所处的区域和其动量都是有限的，可定义有限量：它随着时间的变化为：其中，右式的第二项称为系统的位力。对此式做长时间的平均，得：,位力定理,这样可以求出动能的平均值：当力为保守力时，特别地，当保守力是距离的n次方时，有：对于平方反比力 n=-2，有 这是对于椭圆轨道成立。对于双曲线和抛物线，由于位置不是有限的，结果不成立。对于谐振子 n=1，有
26、,理想气体状态方程,位力定理应用于理想气体，假设气体局限在有限体积内，其边界面S受到压力P由此得到理想气体的状态方程。其中，k 是波尔兹曼常数。N是系统的粒子个数。每个粒子的动能在三个自由度上均分。,第22次课,对一些周期运动的处理,在用哈密顿-雅可比方程解力学问题的过程中，我们常用分离变量法。若一个系统哈密顿函数不显含时间广义坐标具有周期的性质哈密顿特征函数中，能将各坐标分离变量 则可应用作用变量和角变量的方法进行求解。此时，取第二类正则变换的母函数为不含时的特征函数：,特征函数的方程解法,此时，要求经过正则变换之后，系统函数为常数：相应的有应用分离变量法，可以求出每个Wi，并产生相应的积分
27、常数ci(i=2,3,.,s)，且,作用变量,分离变量法之后，对于每个广义坐标qi可以求出相对应的特征函数 Wi(qi)以及积分常数ci，但我们不用这些积分常数 E,c2,cs 作为广义动量 P1,P2,Ps，而是重新定义 为新的广义动量P。该量又称为作用变量，原因是它具有作用量的量纲。这里的带圈积分符号的意义是做一个周期的积分。,作用变量和角变量,反解积分常数 E,c2,cs 可得他们作为新的广义动量 J1,J2,Js 的函数：另外，新广义坐标Qi 称为角变量，正则变换之后满足正则方程。,作用变量的意义,这说明新的广义动量（作用变量）Ji 是常数，是守恒量。而它的意义是，当广义坐标qi 变化
28、一周期时，若回到原来的值，Ji 就是相空间(qi,pi)所围成的面积；若增加到新的值，则是一个周期内相空间中的运动轨迹与 qi 坐标轴围成的面积。,角变量的意义,新的广义坐标（角变量）Qi 是随时间线性变化的量，比例系数 ni 是常数，其意义是频率：即每经过一个周期，角变量 Qi 增加1，因此比例系数 ni 是频率。,周期运动一维谐振子,一维谐振子的振动频率。这是周期的运动，仅是一维情况，不存在分离变量问题，满足条件。其哈密顿函数为相空间中，轨迹构成一个椭圆，其组成的面积为常量：其频率为,周期运动氢原子能级,氢原子的能级,第23次课,刚体的概念和性质,刚体是一种质点系，其中所有质点的相对位置一
29、直保持不变。刚体不发生任何形变。固体的物体受力时，如果形变较小，可以近似地视为刚体。刚体有形状，有大小，有质量分布。我们研究宏观世界的物体运动时，如果物体的大小不能忽略，用质点模型就不够全面，这时可以使用刚体模型。,刚体的自由度,在三维空间中运动的刚体，其自由度为6。平动自由度3。决定了刚体上的一点的位置。转动自由度3。其中，2个自由度决定刚体上的某根轴线的方向，剩下的1个自由度决定刚体绕此轴旋转的角度。决定刚体上的一点的坐标需要3个自由度。决定刚体上的另一点又需要2个自由度（3个自由度，减去这两点之间的距离固定的约束条件）。决定第三个点还需要1个自由度（3个自由度，减去它与前这两点之间的距离
30、固定的2个约束条件）。再增加点自由度不增。一共还是6个自由度。,刚体的本体坐标,本体坐标系是固定在刚体上的坐标系。它是随刚体一起运动的。刚体上的任意一点在本体坐标系中的坐标值恒定不变。空间坐标是我们所在的实验室惯性系的坐标（可视为“静止”坐标）。要表示一个刚体的状态，首先要用三个空间坐标表示本体坐标系的原点位置，此外还要能表征本体坐标的坐标轴方向。,刚体的运动方式,平动。刚体上任何一点都有相同的速度（和加速度）。本体坐标方向保持不变。可以用刚体上的一点的运动表征整个刚体的运动。自由度为3（3个平动自由度）。定轴转动。刚体围绕一个固定的轴作转动。自由度为1。平面运动。刚体每个质点的运动都限制在一
31、个平面内，限制不同质点的平面彼此平行。自由度为3（2个平动自由度，1个转动自由度）。定点转动。刚体转动时，其上某一点固定。（3个转动自由度）一般运动。自由度为6（3个平动，3个转动）,欧拉定理,定理：具有一个固定点的刚体的任意位移等效于绕该定点的某一轴线的转动。如果能寻找到轴线和旋转的角度，使原始位置的刚体经过一次旋转就能到达指定位置，则欧拉定理即获得证明。实际上，由于原点不动，只需要本体坐标的x轴单位向量和y轴单位向量到达目标位，刚体整个就到达目标位。,欧拉定理的证明,确定旋转轴是xx的垂直平分面与yy的垂直平分面的交线。轴上任意一点到x和x等距，同时到y和y也等距。图中黑的球面三角与红的球
32、面三角全等。因此当x转到x时，y也同时转到y。因此，刚体通过一次旋转，到达了指定位置。这样，描述原点固定的刚体的状态就等价于描述一次转动。,在绕轴旋转一定角度q之后，刚体上的任意一点的新位置为：其中e为转轴的方向向量。也可以用4元数来表示转动。4元数是具有3个虚数单位(i,j,k)的4元复数，表示为,转动的数学描述,4元数可以进行加减乘除。其中可见它的乘法不满足交换律。但结合律和分配律都是满足的，可进行一般的代数运算。将4元数q写为纯数n和矢量v两部分，运算结果为：,四元数的运算规则,转动可以用一个归一化的4元数来表示。对比可知得到的是角度为2q的旋转。,四元数表示旋转,两次旋转连续进行可以复
33、合为一次连续多次的旋转最后都能用一次旋转替代，这与欧拉定理是一致的。4元数用了4个分量表示一次旋转，而旋转的自由度为3，用矢量部分就能表示。冗余的1个量对应于模为1的归一化条件的约束。用4元数表示旋转的方法广泛应用于计算机的3维绘图等方面。,旋转的复合,第24次课,以z轴为转轴，进行一次转动，转动q之后刚体上任意一点的空间坐标变为变换矩阵为同样我们可以获得绕x轴或绕y轴旋转的变换矩阵。,刚体旋转的矩阵表示,欧拉定理的矩阵证明,本体坐标系从原始位置转动到当前位置，其3个轴的单位矢量为ex，ey，ez。把他们的空间坐标排为3列，构成矩阵R。刚体上任意一点（本体坐标为(x,y,z)）的空间位置为 r
34、=xex+yey+zez=Rr。矩阵R给出旋转的变换。此矩阵是正交归一的。找到转轴X，它在旋转变化下不变，即旋转变换可以通过一次旋转完成。,转动自由度为3，可以用3个角度来表示刚体的转动。首先，沿z轴旋转j角。然后沿x轴旋转q角。最后沿着z轴旋转y角。前两次旋转确定了z轴的指向，如同地球球面上的点用经纬度确定，这两个参量确定了z轴单位向量。,欧拉角,其中，角 j 称为进动角，角 q 称为章动角，角 j 称为自转角。欧拉角经过三次沿坐标轴的转动，转动之后刚体上任意一点的空间坐标变为（e右肩标是欧拉角旋转的顺序）或反过来从空间坐标求本体坐标：,欧拉角旋转的矩阵表示,旋转的次序是不可交换的，例如同样
35、是做以x为轴转90，再以y为轴转90，z轴的方向指向-y，但如果次序相反，则z轴最终指向x，可见结果不同。同样，如果旋转用4元数表示，这意味着4元数相乘不满足交换率。如果旋转用矩阵表示，这等价于矩阵相乘也不满足交换率。,有限角旋转的不可交换性,但无限小角度的旋转次序是可交换的。分析一下4元数相乘，不满足交换率的项是叉乘项当转动角是一阶无穷小的2dq时候，q=1+edq，两次连续进行时，叉乘项是二阶小量，可被忽略。因此，无穷小角度旋转是可交换的，且能表示为转轴方向的大小为dq的矢量，并满足合成法则。,无穷小角度旋转的可交换性,无限小角度的旋转可以用矢量edq表示，刚体上任意一点的位移为定义转动的
36、角速度矢量为因此，刚体上任意一点的速度为；,旋转的角速度及刚体点速度,无限小角度的旋转可以用矢量表示，因而角速度也是矢量。对于欧拉角随时间变化产生的角速度本体坐标为（e右肩标是欧拉角旋转的顺序）：,角速度的欧拉角表示,无限小角度的旋转可以用矢量表示，因而角速度也是矢量。对于欧拉角随时间变化产生的角速度为：,欧拉角角速度的矩阵变换,旋转的角加速度定义为刚体上任意一点的速度为因此，刚体上任意点的加速度由角加速度和向心（轴）加速度引起。,旋转的角加速度及刚体点加速度,本体坐标原点O移动时刚体上任意一点P的速度为：若以刚体上另一点O为本体坐标系原点则又有因为P点的任意性，可知 w=w，即角速度与本体坐
37、标的原点选择无关。,一般运动时刚体点的速度,第25次课,刚体做一般运动时，本体坐标中有一点C的速度为0：这一点我们叫它转动瞬心。若以这一点为本体坐标系的原点，刚体在这一瞬间围绕这点做纯转动。这时刚体上的任意一点P的速度为而过C点且沿着 w 方向轴线上，各点速度都为0，我们称这个轴线为转动瞬轴。,转动瞬心和瞬轴,转动瞬心可以直接求解：利用刚体上任意两点P、Q的速度方向均分别与CP、CQ垂直的性质，可以做垂线获得交点，即为瞬心C点。利用滚动接触点找转动瞬心。当刚体与空间静止的物体接触并在其上做纯滚动时，接触点即为转动瞬心。,转动瞬心的寻找,各个时刻的转动瞬心在空间坐标中留下的轨迹称为空间极迹。极迹
38、，类似南北极点留下的轨迹。由于不同时刻有不同的点成为转动瞬心，转动瞬心在本体坐标系中也留下了轨迹，称为本体极迹。刚体的转动可以看作是本体极迹在空间极迹轨道上做纯滚动的过程。,空间极迹和本体极迹,将刚体看成质点系，其动量为（带撇为质心系）：即刚体的总动量等价于全部质量集中在质心的质点的动量。而刚体的角动量为：刚体的角动量等效于质心的质点的角动量，以及围绕质心的角动量 L 两部分。,刚体的动量和角动量,质心系中围绕质心的角动量 L 可表示为：这里定义了惯量张量（其中I是单位张量）：惯量张量这里写为并矢形式，它也有矩阵形式。,刚体的角动量和惯量张量,角动量 L 写成矩阵的表达式可知惯量张量的矩阵表达
39、为（离散和连续情况）：,角动量和惯量张量的矩阵表示,刚体的动能为：也可表示为等效质心质点的动能和围绕质心旋转的动能两部分。,刚体的动能,惯量张量是对称的矩阵。在本体坐标系中计算惯量张量，其分量保持不变。惯量张量给出了刚体的力学性质，用于计算角动量和动能十分便利。惯量张量对角项总为正（0），称为相应的轴的转动惯量，非对角项称为惯量积，对于对称情况，惯量积为0。由于动能的非负性质，惯量张量也是非负的二次型矩阵。特别地，当惯量张量只有对角项不为0时，3个对角项都必须是非负的。,惯量张量的一些性质,一般情况下，角动量 L 的方向并不与角速度 w方向平行。只在特殊情况下两者平行：满足这种条件的轴的方向称
40、为主轴方向，这个条件也等价于求方程的非零解，因此，要求线性方程组的系数行列式为0：行列式为0的条件得到了关于 l 的一元三次方程，有3个解，都是非负的实数：,惯量张量的主轴,同时，l 也是惯量张量矩阵的本征值，非0解 w 的方向向量即为该本征值对应的本征向量。由于惯量张量是对称的，不同的本征值对应的本征向量彼此垂直：相同的本征值时（重根），它们的本征向量的线性组合也是本征向量，可在它们线性组合构成的平面内找到两个相垂直的本征向量。,惯量张量的本征值和本征向量,以3个相互垂直的本征向量方向为轴向建立本体直角坐标系，即本征向量坐标系，此时有同样处理另外两个方向，可得惯量张量为对角阵,本征向量坐标系
41、中的惯量张量,一般情况下，本体坐标系并非本征向量坐标系，但可以通过一次旋转，从本征向量坐标系（不带撇）变换到一般的本体坐标系（带撇）。旋转矩阵R为归一化的3个本征列向量并排排列得到。旋转矩阵R满足正交归一的条件，其逆矩阵即为自身的转置。,本体坐标系的旋转变换,第26次课,惯量张量的对角项是转动惯量，特别是取本征向量坐标系时，惯量张量只有对角项的转动惯量不为零。当质心不在转轴上时，有平行轴定理均匀对称简单几何体的转动惯量为这里 Lx Ly 是物体在x和y方向的尺度。N是与几何体形状有关的正整数（方3，圆4，球5）。,转动惯量,转动惯量的计算,定义任意方向的转动惯量 I 使得刚体绕该方向轴线转动时
42、，动能为转动惯量 I 与方向有关，当然与角速度大小无关。沿轴线方向截取长度为 的点，当方向变动时，该点的轨迹就是一个椭球面：这即为惯量椭球。,惯量椭球,利用主轴方向的3个主转动惯量，可方便地构建惯量椭球。对于任意方向，从惯量椭球面到中心的距离 d，可得到转动惯量 I=d-2 从而可计算动能T=I w2/2。角动量的方向就是椭球面的法线方向。事实上，沿着椭球面法线方向即为椭球方程左端的梯度方向：惯量椭球是较“圆”的椭球，因为每个主转动惯量都不大于其他两个主转动惯量之和（由定义可证），因而椭球的3个轴相差不大。,惯量椭球的应用,求均质圆锥体的惯量张量，原点在底面圆心。,举例,均质立方体顶点位于原点
43、且三个边分别位于三个坐标轴上，边长为a。求惯量张量并做对角化。,举例,第27次课,牛顿矢量力学对刚体定点旋转问题的处理。在本体坐标系中：,欧拉动力学方程,拉格朗日方程处理刚体定点旋转问题，结果不变。,拉格朗日法得到欧拉动力学方程,刚体除受定点转动的约束力外不受外力，称为自由刚体。由于所受力矩为0，因而角动量守恒。又由于约束力不做功，刚体的动能守恒。当刚体转动时，角动量的本体坐标分量会不断变化，但它的长度不会变化。因此有两个守恒量并解出：当然也可以直接积分得到这两个守恒量。力矩方程分别点乘w积分，或者点乘（I1wx，I2wy，I3wz）积分即可。,自由转动的刚体,从中解出以wz表示的wx，wy：
44、可以解析求解，得到关于第一类不完全椭圆积分的特殊函数，由于数学上繁琐就不再详解和讨论。,自由转动的刚体求解,以本体坐标系中的惯量椭球代表刚体，转动角速度w与惯量椭球交点Q处，有固定的切平面。这是因为切面的法线方向即为守恒的角动量的方向，因此切平面都是彼此平行的；同时，原点O到切平面的距离也固定：而Q点也是转动瞬心，因此，转动的空间极迹在此固定平面内，本体极迹在惯量椭球上。惯量椭球在平面上做（原点O固定的）纯滚动。,自由转动刚体的几何图示,可以看出，如果有两个主转动惯量相同，惯量椭球就是轴对称的，其空间极迹就是一个圆，转轴OQ绕着角动量L的方向匀速转动，可以解析求解。如果惯量椭球不是轴对称的，空
45、间极迹的曲线就会比较复杂，不易求解。,自由转动刚体的极迹,自由转动的刚体，如果主转动惯量中有两个相同，称为对称欧拉陀螺。它的惯量椭球是轴对称的，设 I1=I2，因此：在本体坐标系中，角速度矢量其大小不变，并围绕 z 轴做角频率为W的匀速转动。,对称欧拉陀螺,在空间坐标系中，也是常数，与 z 轴即L的夹角（欧拉角q）也是常数，为 cos-1(wz/w)。通过计算本体坐标系z轴上的点的速度，可以计算该轴的回旋角频率。,对称欧拉陀螺的极迹,进一步求解对称欧拉陀螺的欧拉角结果无章动，有进动。地球可看作对称欧拉陀螺，其南北轴线半径短于赤道面的半径，因而南北轴的转动惯量较大，比例为(I3-I1)/I1=1
46、/306，而wz为1天对应的角频率。故进动周期约300天。但实际为420天。这是由于地球非刚体、非轴对称和非自由不受外力矩等所致。,对称欧拉陀螺的运动,设想一个沿主轴做定点旋转的刚体，不妨设沿x轴，即 w=wex，受到微小扰动而变化。此时：由于wy，wz 都是小量，乘积为二阶小量可忽略。可得wx为常量，而wy，wz 是以角频率做简谐振荡或增长和衰减，决定于 n2 的正负。,欧拉陀螺转动的稳定性,设想一个沿主轴做定点旋转的刚体，不妨设沿x轴，即 w=wex，受到微小扰动而变化。此时：由于wy，wz 都是小量，乘积为二阶小量可忽略。可得wx为常量，而 n2 的值决定wy，wz 是以角频率做简谐振荡（正）或产生不稳定性（负）。,欧拉陀螺转动的稳定性,若欧拉陀螺是对称的，设 I1=I2，此时对于z轴的转动显然都是稳定的。而对于开始是x轴的转动，可得wy 将是现行增加的，因而也是不稳定的。,对称欧拉陀螺转动的稳定性,
