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1、第二讲向量运算与复数运算、算法、合情推理,一、主干知识1.共线向量定理:向量a(a0)与b共线,当且仅当存在唯一一个实数,使b=a.2.复数的有关概念:复数z=a+bi(a,bR),(1)z是实数_.(2)z是虚数_.(3)z是纯虚数_且_.(4)z的共轭复数为:_(实数的共轭复数是它本身).,b=0,b0,a=0,b0,a-bi,3.两种合情推理的思维过程:(1)归纳推理的思维过程.(2)类比推理的思维过程.,二、必记公式1.两个非零向量平行、垂直的充要条件:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)aba=b(b0)_.(2)abab=0_.提醒:(1)若a与b不共线,且a+b=0
2、,则=0.(2)已知(,为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是+=1.,x1y2-x2y1=0,x1x2+y1y2=0,2.向量的夹角公式:设为a与b(a0,b0)的夹角,且a=(x1,y1),b=(x2,y2),则3.复数的运算公式:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则(1)z1+z2=_.(2)z1-z2=_.(3)z1z2=_.(4)(c+di0).,(a+c)+(b+d)i,(a-c)+(b-d)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,1.(2013江苏高考)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为.【解析】z=(2-i)2=3-4i,所以|z|=5.答
3、案:52.(2013惠州模拟)已知四边形ABCD为平行四边形,若向量 则向量=.【解析】因为 所以答案:b-a,3.(2013常州模拟)已知|a|=3,|b|=2,若ab=-3,则a与b夹角的大小为.【解析】因为 且0180,所以=120.答案:120,4.(2013太原模拟)在ABC中,G是ABC的重心,AB,AC的边长分别为2,1,BAC=60,则=.【解析】由AB=2,AC=1,BAC=60,所以BC=ACB=90,将直角三角形放入直角坐标系中,如图则A(0,1),B(0),所以重心G 所以所以答案:,5.(2012江苏高考)如图是一个算法流程图,则输出的k的值是.,【解析】将k=1代入
4、k2-5k+4不满足k2-5k+40,将k=2代入k2-5k+4不满足k2-5k+40,将k=3代入k2-5k+4不满足k2-5k+40,将k=4代入k2-5k+4不满足k2-5k+40,将k=5代入k2-5k+4满足k2-5k+40,所以k=5.答案:5,热点考向 1 向量的运算及应用【典例1】(1)(2013江苏高考)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,若(1,2为实数),则1+2的值为.(2)已知P是边长为2的正方形ABCD及其内部一动点,若PAB,PBC面积均不大于1,则 的取值范围是.(3)已知a=(1,2),b=(1,1),a与a+b的夹角为锐角,则实数的取值范围为.,【解题
5、探究】(1)求1+2的两个关键点:用 表示 由可求得 求1,2,比较系数可求得(2)以点A为坐标原点,为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系.设P(x,y),则=_.(3)由a与a+b的夹角为锐角可知a与a+b的数量积大于0且排除a与a+b同向的情况,由此可列式子为:_,x2+y2-2x,【解析】(1)由 则1+2的值为答案：,(2)建立如图所示的平面直角坐标系,由于PAB,PBC面积均不大于1,故点P在图中的区域EFGB的边界及其内部,设P(x,y),则=(x,y)(x-2,y)=x2+y2-2x=(x-1)2+y2-1,其中(x-1)2+y2表示阴影区域内的点到点(1,0)距离的平方,显然范
6、围是0,2,故 的取值范围是-1,1.答案:-1,1,(3)由题意可得即即答案：,【方法总结】求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出等式，依据等式求最值.(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值.,【变式训练】1已知e1，e2是两夹角为120的单位向量，a3e12e2，则|a|=_.【解析】|a|答案：,2.(2013新课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=_.【解析】以点为原点，以 为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则(,)，(,)，(,)，(,)，所以 所以=2.答案：,热点考向 2 复数的概念及运算【典例2】(
7、1)(2013济宁模拟)复数 则复数z+1在复平面上对应的点位于第_象限.(2)(2013北京模拟)i为虚数单位，复数 的虚部是_.,【解题探究】(1)如何判定复数所对应的点所在的象限？提示：关键是看该复数的实部与虚部的取值范围.(2)求复数 的实部与虚部的关键是什么？提示：关键是将复数化为a+bi(a，bR)的形式.,【解析】(1)所以 对应点 位于第四象限.答案：四(2)所以虚部是答案：,【互动探究】题(2)中条件不变，则复数 在复平面内对应的点到原点的距离是_.【解析】因为所以，该复数所对应的点为所以(O为原点).答案：,【方法总结】复数的概念及运算问题的解题技巧(1)与复数有关的代数式
8、为纯虚数，可设为mi(mR且m0)，利用复数相等求解.(2)与复数模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设z=a+bi(a,bR),利用待定系数法求解.,【变式备选】已知aR,i为虚数单位，若 R,则a等于_.【解析】令 得答案：,热点考向 3 流程图【典例3】(1)如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是_.,(2)(2013北京模拟)执行如图所示的流程图，输出的结果S_.,【解题探究】(1)算法何时结束？提示：当a20时结束.(2)该流程图满足什么条件时循环？循环了几次？提示：该流程图在i6时循环；因为i的初始值为0，每次增加2，且是先执行循环体，所以循环了4次.,【解析】(1)n=1,a=
9、2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4.答案：4(2)第1次循环，i0，S1；第2次循环，i2，S1+2212；第3次循环，i4，S2+2419；第4次循环，i6，S9+26120；此时满足条件，输出S20.答案：20,【方法总结】1.解答流程图问题的关注点(1)弄清流程图的三种基本结构，按指向执行直至结束.(2)关注输出的是哪个量，何时结束.(3)解答循环结构问题时，要写出每一次的结果，防止运行程序不彻底，造成失误.2.循环结构的两点注意(1)注意区分计数变量与循环变量.(2)注意哪一步结束循环.,【变式训练】(2013新课标全国卷改编)执行如图所示的流程图，如果输入的t-1
10、，3，则输出的s的范围为_.【解析】由流程图可知，s与t可用分段函数表示为 则-3s4.答案：-3s4,【备选例题】【典例】(2013台州模拟)流程图如图所示，若f(x)=x,g(x)=lg x,输入 则输出结果为_.,【解析】因为当 时，f(x)g(x),可知h(x)=g(x)=lg x，答案：-1,【方法总结】流程图读图问题的两个关注点(1)理清所要实现的算法的结构特点和流程规则，分析其功能.(2)结合框图判断所要填入的内容或计算所要输出或输入的值.,热点考向 4 合情推理【典例4】(1)把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，
11、再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列an，若an2 011，则n_.,(2)(2013济宁模拟)对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：221+3 321+3+5 421+3+5+7 233+5 337+9+11 247+9 此规律，54的分解式中的第三个数为_.,【解题探究】(1)每行的最后一个数有什么特点？2 011是第几行第几列的数值？提示：每一行最后一个数是第n行的平方；2 011是位于第45行第38个数.(2)每一列各个数的分解式有何特点？每一行各个数的分解式有何特点？提示：每一列各个数的分解式是连续的奇数，且都不相同；每一行各个数的分解式依次是两个奇数、三个奇数
12、、四个奇数的和.,【解析】(1)每一行最后一个数是第n行的平方，所以4522 025，4421 936，所以2 011在第45行，又因为所以an2 011是第45行的第38个数，所以n12344381 028答案：1 028,(2)由题意观察得知，n的m次方正好是n个连续奇数的和，右边中间数(或中间两数的平均数)的n倍恰好等于左边的数.54就是5个连续奇数的和且其中间数的5倍等于54.由题意可知，3425+27+29，54121+123+125+127+129,所以54的分解式中的第三个数为125.答案：125,【方法总结】合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它
13、们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论.(2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后通过类比，推导出类比对象的性质.(3)归纳推理关键是找规律,类比推理关键是看共性.,【变式训练】在平面内，设半径分别为r1,r2的两个圆相离且圆心距为d,若点M，N分别在两个圆的圆周上运动，则MN的最大、最小值分别为d+r1+r2和d-r1-r2.在空间中，设半径分别为R1,R2的两个球相离且球心距为d,若点M，N分别在两个球面上运动，则MN的最大、最小值分别为_.,【解析】因为在由平面图形到空间图形的类比推理中，圆对应球，“在平面内，设半径分别为r1,r2的两个圆相离且圆心距为d
14、,若点M，N分别在两个圆的圆周上运动，则MN的最大、最小值分别为d+r1+r2和d-r1-r2”可类比推理出：“在空间中，设半径分别为R1,R2的两个球相离且球心距为d,若点M，N分别在两个球面上运动，则MN的最大、最小值分别为d+R1+R2和d-R1-R2”.答案：d+R1+R2和d-R1-R2,转化与化归思想解决向量中的平行及夹角问题【思想诠释】1.主要类型：(1)向量的平行、垂直转化为向量坐标间的关系.(2)向量的夹角问题转化为代数式求解.(3)向量数量积的最值问题转化为函数的最值问题.(4)线段的长度问题转化为向量的数量积问题.,2.解题思路：常常利用向量与代数的关系将几何问题转化为代
15、数问题求解.3.注意事项：(1)两个向量的数量积大(小)于零是两个向量夹角为锐(钝)角的必要不充分条件.(2)向量平行与向量共线是一回事.,【典例】(1)已知在ABC中，AB3，BAC60，BAC的平分线AD交边BC于点D，且(R)，则AD的长为_.(2)在平面直角坐标系xOy中，设A,B,C是圆x2y21上相异三点，若存在正实数，使得 则2(3)2的取值范围是_.,【审题】分析信息，形成思路(1)切入点：作辅助线，把 用其他向量表示出来，再利用长度与数量积的关系求解;关注点：中所含参数的确定，可依据B，D，C三点共线得出.(2)切入点：2(3)2的几何意义是点(，)到点(0,3)距离的平方；
16、关注点：及A,B,C是圆x2y21上相异三点得出关于与的约束条件.,【解题】规范步骤，水到渠成(1)如图，过D作AB，AC的平行线，分别交AC，AB于E，F，则由 及B，D，C三点共线知AC3AE，.又AB3，所以AF AB2.由AD是BAC的平分线知，四边形AEDF是菱形，所以AE2，所以答案：,(2)设 的夹角为(01，且|1，作出如图所示的可行域，则,2(3)2表示区域内任一点到点(0,3)的距离的平方，而当点(0,3)到直线10的距离d为最小值时，d22，所以2(3)2的取值范围为2，)答案：2，),【点题】规避误区，易错警示,【变题】变式训练，能力迁移1.设e1,e2为单位向量，非零向量b=xe1+ye2，x,yR.若e1,e2的夹角为 则 的最大值等于_.【解析】当x=0时，,当x0时，令=t，则所以 的最大值为2.答案：2,2.如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴,y轴正半轴上(含原点)滑动，则 的最大值是_.,【解析】设OAD，则OAADcos cos，点B的坐标为(cos cos(90)，sin(90)，即B(cos sin，cos)，同理可求得C(sin，sin cos)，所以(cos sin，cos)(sin，sin cos)1sin 2.所以()max2.答案：2,
