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1、第三章 机械运动和机械波,弹簧振子和简谐振动运动方程及其图像简单的非理想振动简谐振动的合成与分解简谐波波的叠加原理、波的干涉声波和超声波,弹簧振子 弹簧振子由一个轻弹簧、一个质量为m的物体块组成理想模型.弹簧的一端被固定不动,另一端与物体相连.假设弹簧的质量很小,物体块与地面的摩擦力忽略不计.当弹簧偏离平衡位置时,弹簧的恢复力与物体的位移成反比.,3-1 弹簧振子和简谐振动,简谐振动(simple harmonic motion),简谐振动描述了弹簧振子的运动.将胡克定律 F=-kx 及牛顿第二定律 F=ma 联立，并将加速度 a 用微分形式表达有,该微分方程的解为,令,上述微分方程称为简谐振
2、动方程,其数学解描述了弹簧振子的位移与时间之间的关系,称为简谐运动方程.,许多物体的运动类似弹簧振子的运动,凡是可以用简谐振动方程描述的运动其位移与时间的关系均可以用运动方程来描述.如单摆、复摆在理想条件下的运动都可以用简谐运动方程描述.它们也统称谐振子.,简谐运动方程中A、分别被称为振幅、圆频率和初相位.它们描述了振动的最大位移、单位时间内的往返次数和振动点的初始位置.从简谐运动方程中可以看到：简谐振动的振幅为一与时间和频率无关的常数;而位移是按周期在有限区域内的往复变化,并且和初始位置有关.,振幅、圆频率和初相位是决定振动具体位移大小和速度大小的决定性参数,所以称为振动三要素.,简谐运动的
3、速度与加速度,简谐运动方程指出了位移与时间的关系.对位移进行一次微分可以得到在该位移处的速度,进行两次微分可以得到在该点的加速度.,单摆与复摆,单摆与复摆的结构如图所示.它们的受力都可以用简谐振动方程描述.其运动都可以用简谐运动方程表示,都是谐振子的一种.,复摆的运动：装置如图,当刚体偏离平衡位置时,它受到一恢复力矩,其大小为M=rmgsin,由转动定律 M=I 有rmgsin=-I,将sin 小角度近似为,整理并将上式写成微分形式有,设,并将变量改变为x,则方程变化为,方程形式与弹簧振子振动方程一样,所以运动的数学描述也与弹簧振子相同.,简谐运动方程的求解,设弹簧振子如下图所示,用外力将物块
4、拉到距平衡位置 x=6cm 处,然后撤掉外力,以撤掉外力的时刻为计时起点,求该振动的运动方程.设物块质量 m=0.02kg,弹簧劲度系数k=0.022Nm-1.,解：以x轴向右为正方向建立坐标系,由题给定条件,系统的运动为一简谐运动,其运动方程为,解出简谐运动三个要素就可以得到该系统的运动方程.,由定义有,代入以上结果,求出该弹簧振子简谐运动方程为,从已给条件知道,系统在撤去外力后的最大位移为6cm,而在系统运动过程中不再有外力作用在系统,所以该简谐运动振幅为A=0.06m.从已知条件可知,在t=0时,x=6.0cm,即,代入A=0.06,有cos0=1,0=0,SI,求解简谐运动方程的一般过
5、程：根据题意确认振动过程为简谐运动.建立适合求解的坐标系.根据已给条件求出振幅与圆频率.根据初始位置和初始速度求出初相位.将得到的各参数带入运动方程通解得到适合题意的特解.,运动方程说明位移是时间的函数,以时间为横坐标,以位移为纵坐标绘出位移与时间的关系图,这种图称为时序图.该图可以清楚的表示时间与位移之间的关系.,3-2 简谐运动方程的图像表达,如果以位移为横坐标,以质点在该位移处的速度为纵坐标绘图,这种图称为相图.相图反映了速度与位移的关系.这两种图形都是振动研究中常用的图形.注意：曲线的闭合性说明了谐振子系统能量守恒.,简谐振动的能量,简谐振动是一种理想过程,它的总能量在运动过程没有损耗
6、,即在振动过程中总能量守恒.能量的形式在动能和势能之间相互转换.,其中势能为,动能为,总能量为两者之和,即,3-3 简单的非理想振动,真实物理世界的振动并非都接近理想情况.在自然状态下,振子在振动时一般会受到摩擦阻力的作用而使运动能量减小.在人为状态下,为了维持振动可以施加策动力.非理想情况的振动可归类为：阻尼振动和受迫振动.,振动在自然状态下自然减弱的过程称为阻尼振动.阻尼振动可分为：欠阻尼、过阻尼和临界阻尼.下图(左、中)显示了阻尼振动的振幅与时间关系.其中左图是欠阻尼振动状态,中图的两条曲线分别为过阻尼和临界阻尼状态下振动.,阻尼振动的时序图和相图 在时序图上可以看出阻尼不同,振子回归零
7、点的时间也不同.右图是一个欠阻尼的振动相图,它显示了一个在欠阻尼状态下的振子在经历一系列位移和速度的改变后,振子回归零点的过程.,欠阻尼和过阻尼的振动方程,阻尼振动是一种复杂振动,在不严格情况下做实际分析时有些问题可以简化.假设振动中的摩擦阻力与运动速度成正比,比例系数为,则振动方程可写为,方程的解在阻尼力不同时有不同的形式.,其中,为阻尼系数.,共振(resonance)：受迫振动中存在一种特殊状态共振,当策动力与振动系统的固有频率接近时产生共振.演示：小电机的轴上安装一个偏心轮,电机被固定在一个弹簧上.当电机转动时偏心轮的不平衡重力周期性的给弹簧一个作用力.当电机旋转的速度改变时,作用力的
8、周期随着转动速度而改变.当这个周期与弹簧电机组成的系统的固有频率相接近时共振产生了.,共振和临界阻尼在实际问题中应用比较多.例如各种乐器、电子仪器里的振荡器、振动培养器等都利用了共振现象.共振现象有时是有害的.在指针显示式仪表里大多数都有临界阻尼装置.自然界的振动是复杂的,也是我们所了解不多的.,3-4 简谐振动的合成与分解,在振动平面上建立坐标系可以把振动分为几类.假如振动只发生在一个方向上,即用一个坐标就可以描述振动过程(例如第一节的简谐振子方程描述的运动)称为一维振动.如果需要用2个或3个坐标描述振动过程,则称这种振动为二维振动或三维振动.所谓振动合成就是把不同参数的振动或不同维的振动叠
9、加在一起.所谓振动分解就是把一个复杂的振动分解为几个简单振动.,一维振动合成,(一)同频率同方向简谐振动的合成设两个振动方程分别为,合成结果可以用数学方程解得,其中A为合振动的振幅,其大小为,注意合振动振幅A的表达式含有两个分振动的相位之差 2-1.公式表明当相位差为0时或为2 倍时合振幅最大,是两个分振动振幅之和;当分振动相位差为 的奇数倍时,合振幅最小,为两个分振动振幅之差.特别的,若此时如果两个分振动振幅相等,合振动振幅为0,振动消失.以上分析说明：两个同频率、同方向简谐振动合成的结果仍然为简谐振动,其振幅由两个分振动的相位差决定.,(二)同方向不同频率振动合成,频率较大而频率之差很小的
10、两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.,讨论,的情况,拍及其应用,把以上叠加表达式分成两部分：相加部分和相减部分,其中相减的部分称为拍.拍的概念在两个频率相近时有很多应用.在现实生活中不同频率的叠加技术使用非常普遍.例如低频声振动由于能量和吸收原因不能转播很远,而高频电磁波又不能被人类直接感觉到.运用振动叠加原理,将声振动与高频电磁振动相叠加就得到了我们日常生活中的电视信号和广播信号.,二维振动合成,(一)同频率垂直振动合成两个振动分别用x和y表示.,其叠加结果用三角公式可以得到：,2-1=0时此方程可简化为,2-1=时,方程可简化为结果也为一直线方程,只是方向改
11、变了.,即两个相互垂直、相位差为振动叠加后为一平面上的椭圆振动.,此时方程简化为椭圆方程,当,需要指出的是,从方程的表达上看相位取正负结果都是一样的,但实际上振动过程是不一样的.一个顺时针,一个逆时针.,(二)不同频率垂直振动合成,如果两个简谐振动的频率相差比较大,但有简单的整数比时,则合振动又具有稳定的封闭轨迹.,图示的是频率比分别为2:1和3:1时合成振动的轨迹.这种频率成简单整数比时所得的稳定的轨迹图形叫做李萨如图形(Lissajous figures).,五 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成,测量振动频率和相位的方法,李 萨 如 图,振动的分解,物理学理论和实验都可以证明,一个复杂的
12、振动可以分解为若干个简谐振动.或者说,任何一个周期性振动都可以看成几个不同频率的简谐振动合成,而非周期的振动可以是无限多个不同频率简谐振动的合成.组成一个复杂振动的所有振动频率的集合称为频谱.,将复杂振动分解的数学原理可利用傅里叶级数,在工程技术上,利用傅里叶算法或原理对复杂振动进行分解或分析的技术被称为傅里叶分析.通过傅里叶分析,我们可以得到复杂振动的频谱,这对人类了解自然、了解自己开辟了一个窗口.频谱成分表达了振动的某些不能直接观察到或不易描述的特征.比如语言特征,只能从频谱成分上定量区别不同人的语言特征.通过噪音的频谱分析可以知道噪音来源.,根据傅里叶级数,任何复杂的周期函数都可以表示为
13、,式中b0,b1,b2,c1,c2,是一组常量.每一常量的大小代表相应简谐振动在合成振动x(t)中所占的相对大小.常量b0 表示x(t)在一周期内的平均值,它可以是零,也可以是不为零的某一值,视x(t)的实际情况而定.上式称作复杂振动x(t)的傅里叶级数.注意当n2时各项中的频率值均为n=1的频率的整数倍.n=1对应的频率称为基频,对应n 2的各频率值称为谐频.,下面图形分别是脉搏的时序图和相应的傅里叶频谱图.人类的脉搏是一种准周期振动,用傅里叶分解技术可以将它分解,不同人的脉搏其分解得到的成分也不相同,它比图形有更多的数字信息.,脉搏振动图形及其频谱 图中显示了一位学生在安静条件下的脉搏图形
14、及其频谱,频谱分析技术是现代科学与技术的结晶现代频谱分析技术是多种学科交叉的结果.数学上的傅里叶变换提供了理论基础,物理学实践证明了数学理论的可实现性,结合计算机应用的快速傅里叶变化算法提供了可以实时处理的方法,大规模集成电路技术将软件硬件化更是将频谱分析技术推到应用的高峰.几乎所有工程技术领域都在使用频谱分析技术,如电子信号处理、语音识别、图像识别都使用了频谱分析技术.,调制与解调,广义的振动包括了电磁振动.人类是通过语言进行交流的,但语言无法进行远距离传播.高频电磁信号可以传播很远的距离,于是人们将语言信号与高频电磁信号混合,然后通过发射天线将混合有语言信息的高频电磁信号发射出去.这个过程
15、在工程上称为调制.医学领域的血压、细胞电位等信号均为低频信号,这些信号在放大处理时会遇到所谓静态漂移问题,为解决这个问题,生物放大器中也广泛运用调制技术.调制的反过程称为解调.,3-5 简谐波,什么是简谐波？机械振动在弹性介质中的传播称为机械波.实验证明：当物体振动时(振源)相应的波动属性(周期、波形等)是相同的.所以,当波源做简谐振动时,其传播过程就称为简谐波.光波在本质上与机械波不相同,但其波动属性可以用简谐波描述.,波动中介质质点的位移y由时间t和距离原点的距离x及波动的初相位决定,是t和x的二维函数.注意：与振动图像不同,波动的图像一般以x为横轴坐标名称.,简谐波的传播,由弹性力联系着
16、的微粒所组成的介质,叫做弹性介质(elastic medium).振动物体在弹性介质中振动时,由于弹性力的联系,就把这种振动在介质中依次传播出去.机械振动在介质中的传播过程,叫做机械波(mechanical wave).例如,液体表面的波、声波以及在液态物质内部传播的弹性波都是机械波.,机械波的传播过程依赖弹性介质,弹性介质的性质决定了波传播时的特性.当介质密度(或切变模量)较大时,机械波以横波方式传播,即振动方向与传播方向垂直.当介质密度较小(或体变模量较大)时机械波以纵波方式传播,即质点振动方向与传播方向相同.机械波在自然状态下传播时质点的运动一般不是单一形态的,在理论讨论中根据其主要传播
17、方式一般简化为横波或纵波.,平面波与球面波,波线：表示波传播方向的线段.波阵面：波在传播方向上相位相同各点的连线.波前：在传播方向上第一个波阵面.简谐波根据传播方向可以分为平面波和球面波.波在传播时波线相互平行,这种波称为平面波,波线发散的波称为球面波.严格的平面波和球面波实际上不存在.一般情况下,可以把波近似为两种波的一种.,平面波与球面波的波线、波阵面,平面波,球面波,在不考虑波在传播时衰减的情况下,传播中途中任意点的振动与波源的振动相同.如果在原点振动表达为 y=Acost,简谐波的表达,波速、波长与频率的关系为,改变变量,上式也可写成,y=Acost 在空间其他位置只是在时间上比原点振
18、动晚了x/u,即,前面两个公式均可以称为波动方程.波动方程说明：距离原点为 x 处的位移是时间和空间的函数.随时间改变的频率为振动原点的圆频率,随空间改变的频率为2x/.如果以x为横坐标,以相应点的位移为纵坐标绘制波动图,其图像和振动时序图类似,所以2x/也称为空间频率.,波的能量,波动的能量与振动能量有着本质上的不同.简谐振动的能量是保守的,能量在动能与势能之间相互转换,转换过程能量守恒.波动的能量是开放的.随着波动的传播,能量向波动的传播方向转移.,振动过程中总能量守恒,波动的能量随波动过程变化.动能和势能在位移为零处同时达到最大,总能量也同时达到最大,并随波动向波的传播方向运动.,波的能
19、量表达式,机械波的能量可以用下列公式表达:动能表达式为,势能表达式为,该公式表明：在单位体积元内,波的能量与波的振幅、频率和体积元密度成正比,任一体积元内的能量随时间以正弦函数的平方方式变化.动能和势能同步变化,同时最大同时最小.总能量不守恒.能量公式充分表达了波与振动本质上的不同.振动能量是守恒的,波动能量是变化的.,总能量为二者相加,惠更斯于1690年解释波的传播时提出：介质中波前上每一点都可以作为独立的波源,发出球面子波,这些子波的包迹就是新的波前.这个理论虽然经历了数百年,但到目前为止,仍然可以很好地解释波的折射和衍射现象.,波在介质1中传播遇到介质2时,波前分别为A和B.根据惠更斯原
20、理,这两点作为新的子波波源发出子波.由于波在两种介质中传播速度不一样,经过一段时间后波前到达AB,波的传播方向改变为AA的方向.这就是波的折射.,3-6 波的叠加原理,两列或更多列波在同一介质中相遇时所产生的现象可以用波的叠加原理来描述.波的叠加原理：几个波源发出的波在同一介质中传播时,无论相遇与否,都保持自己原有的特性(波长、频率、振动方向等),按照自己原来的传播方向继续前进,不受其他波的影响.在相遇处任一质点的位移是各波在该点所引起的位移的矢量和.频率相同、振动方向相同、有固定相位差的波的叠加称为干涉.,波的干涉,考虑两列初相位分别为1,2的相干波,用三角公式推导,结果为,其中,当,在空间
21、任一指定点为一常量,所以振幅A也为一常量,其大小取决于初相位差和波程差.当,由叠加的条件可以知道,时,合振幅最大,称为相干加强.,时,合振幅最小,称为相干减小.特别的,如果原来两相干波振幅相等,相干叠加后振幅为0.,解：(1)R处的相位差,例 波的干涉,它们相距3/2,由P,Q发出振幅分别为A1和A2、频率为、波长为的两列相干波.R为PQ连线上的一点.求：(1)由P,Q发出的两列波在R处的相位差；(2)两列波在R处干涉时的合振幅.,如图所示,两平面简谐波源分别在P,Q两点处.初相位均为零,(2)根据合振动的振幅公式,R处的合振幅为,波的干涉和衍射、折射一样是波动的基本属性.光波虽然不是机械波,
22、但是也存在上述波动属性.波的干涉在自然界广泛存在：声音的加强和减弱不仅仅由距离决定;水波在传播过程中会激起浪花等现象都存在相干叠加现象.光波的相干叠加在现代应用很普遍,它的相关内容将在波动光学中讲述.还有一种特殊相干叠加就是驻波.,一 驻波的产生,1 现象,考虑两列波分别为方程中的正负号表示了传播方向上的不同.,驻波：一种特殊的干涉,当两列频率相同、振动方向相同、传播方向相反的波相遇时产生所谓驻波.,将上述公式看成两项 和其中第一项与时间无关,并且存在一些空间点使第一项为0.第二项与空间位置无关,位移是时间的余弦函数.两者的乘积表明：在某些位置有最大振幅,这些位置的位移随时间做余弦式改变.在另
23、一些位置,质点位移永远为零.,运用三角叠加公式,得到,波腹与波节,在上述讨论中我们看到：两列相对传播的波相遇时一些点可以有最大位移,这些可以出现最大位移的点称为波腹(loop),另一些点位移永远为零,这些点称为波节(node).当传播波动的介质满足某些条件时,波节和波腹的位置不随时间改变,形成一种特殊的振动驻波(standing wave).,驻波的形成、波节()和波腹(+),形成驻波的边界条件,驻波一般都是由进入介质的入射波和通过介质后在介质边界产生的反射波叠加而成.,形成驻波时介质需满足的边界条件：(1)当反射发生在波疏介质(u小)到波密介质(u大)时,反射点必须是波节.,(2)当反射发生
24、在波密介质到波疏介质时,反射点必须是波腹.,例如水中的声波在水面反射回水中在界面形成波腹,从空气射向水面返回则在界面形成波节.,从上述结论可以推出：给定的介质或物体中只能形成确定频率的驻波.,驻波的能量,从以前的讨论可以知道,驻波是两列相向传播的波叠加而成.由于能量是随着波动的传播而传送,驻波没有波动的定向传播,波动只是在一定区域内反复,所以驻波的能量也不存在定向传播.驻波的能量只在波节与波腹之间转换或着说流动,不存在周期以外的定向传送.一般的波动能量是运动的,所以也叫行波(travelling wave).驻波的能量没有定向传送,这就是驻波名称的来源.,声源与固有频率,从前面驻波的讨论可以得
25、知形成驻波必须满足某些边界条件.自然界的声源一般都伴随着驻波现象.以琴弦为例：琴弦的长度一定是声波半波长的整数倍.即,人类了解振动可以说是从驻波开始的.古希腊的学者从琴弦的声音摸索出驻波形成的规律.中国在春秋战国时代就利用了驻波形成的原理制作了各种乐器.众所周知的古乐器编钟就是利用了在不同大小物体上形成驻波的频率不一样而制作的.,3-7 声波与超声波,声波与超声波：在弹性介质中传播的振动,一般频率在2020000Hz之间能引起听觉,叫做声振动,声振动的传播过程叫做声波(sound wave).频率低于20Hz的机械波叫做次声波(infra-sonic wave).频率高于20000Hz的机械波
26、叫做超声波(supersonic wave).次声波和超声波都不能引起人的听觉.但是,从物理学的观点看来,这些范围内的振动与可闻声振动之间,并没有什么本质上的差别.,声强和声强级,声强就是声波的能流密度,即单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声波能量.,引起听觉的声波,不仅在频率上有一个范围,而且在声强上也有上、下两个限值,低于下限的声强不能引起听觉,高于上限的声强只能引起痛觉,也不能引起听觉.声强的上、下限值随频率而异.,在1000Hz频率时,一般正常人听觉的最高声强(痛阈)为1W/m2,最低声强(闻阈)为10-12W/m2.通常把这一最低声强作为测定声强的标准,用I0表示.,在声学
27、中普遍使用对数标度来量度声强,叫做声强级(intensity level),以 LI 表示,对于声强为I 的声波的声强级为,单位:B(贝尔),多普勒效应,由于波源或观测者的运动,造成观测频率与波源频率不同的现象,叫做多普勒效应(Doppler effect)或多普勒频移,这是多普勒(Doppler)在1842年发现的.例如,在铁路旁听列车汽笛声时能够发现,列车迎面而来时音调比静止时高,而列车离去时音调比静止时低,这就是由多普勒现象引起的.,多普勒效应的不同形式,多普勒效应从形成的方式可以分为波源静止观测者运动、波源运动观测者静止和波源与观测者均运动三种方式.1.波源静止观测者运动 在这种情况下
28、,vs=0,v00.若观测者向着波源运动,相当于波以速率u+v0 通过观测者.因此单位时间内通过观测者的完整波长数,即频率为,当观测者离开波源运动时,实际观测频率将低于波源的频率,即以上两式说明：当接收者向着声源运动时接收到的频率增加,当接收者背离声源运动时接收到的频率降低.,2.观测者静止波源运动 在这种情况下,v0=0,vs0.当波源静止时,波长=uT;然而当波源以速度vs 向着观测者运动时,由于一个周期T内波源已逼近观测者vsT 的距离,所以在观测者看来,波在一个周期内走过的距离 又由于波在介质中传播速度不变,所以观测者实际测得的频率同理可以得到波源远离观测者时频率为,3.波源与观测者均
29、运动 综合以上两种情况,当观测者与波源同时相对于介质运动时,观测者实际观测的频率为 式中,观测者向着波源运动时,v0前取正号,离开时取负号;波源向着观测者运动时,vs前取负号,离开时取正号.,运用多普勒效应测速的基本原理,运用多普勒效应测量物体速度广泛应用在现代生活中.用超声多普勒效应探测血液流动速度：将超声波探头对准被探测的位置,向被测位置发射超声波,同时接收反射波.此时血液中物体接收并反射超声波,所以血液既是接收者又是发射者.反射的超声波频率改变量与血液流动的速度相关.超声探头将得到的反射波进行分析就可以得到血液流动的速度.,古老和现代的声学,声学是一门古老的学科,它的起源几乎可以追溯到人类文明的起源.早在公元前古希腊的毕达哥拉斯就阐述过琴弦音调与弦长度的关系.中国古代从春秋战国时代开始也出现过不少有关对声音与音调之间的专门论著.特别是明朝王族后裔朱载育(15361611)放弃王位潜心研究所发明的十二平均率几乎可以与四大发明相提并论,在世界上产生重要影响.声学在现代技术帮助下得到了进一步的发展.人类的声音对每一个人都是独一无二的,人在健康和非健康状态声音也会有区别,显然,对声音的研究可以帮助人类了解自己.次声波、超声波是人类听不到的声波,人类现在可以借助现代技术了解那些一直围绕在我们身边我们却无法感觉到的世界.,本章结束,谢谢！,
