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1、第三讲导数的简单应用,一、主干知识1.导数的几何意义:(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率,即_.(2)曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程为_.,k=f(x0),y-f(x0)=,f(x0)(x-x0),2.复合函数的导数:复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的积.即设y=f(u),u=g(x),则yx=yuux.,3.函数的单调性与导数的关系:若函数y=f(x)在某区间内可导,则(1)f(x)0f(x)为_.(2)f(x)0f(x)为_.(3)f(x)=0f(x)为常
2、数函数.4.函数的导数与极值:若函数的导数存在,某点的导数等于零是函数在该点取得极值的_条件.,增函数,减函数,必要,二、必记公式1.基本初等函数的八个导数公式:(1)若f(x)=c(c为常数),则f(x)=0.(2)若f(x)=xn(n为常数),则f(x)=nxn-1.(3)若f(x)=sinx,则f(x)=_.(4)若f(x)=cosx,则f(x)=_.(5)若f(x)=ax,则f(x)=_(a0且a1).,cosx,-sinx,axlna,(6)若f(x)=ex,则f(x)=ex.(7)若f(x)=logax,则f(x)=_(a0且a1).(8)若f(x)=lnx,则f(x)=_.,2.
3、导数的四则运算法则：(1)f(x)g(x)=_.(2)f(x)g(x)=_.(3)=_.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),1.(2013武威模拟)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a=_.【解析】设y=f(x)=ln(x+a)，切点为(x0,y0),则f(x)=则f(x0)=1,y0=x0+1,y0=ln(x0+a),得x0=-1,y0=0,a=2.答案：2,2.(2013新课标全国卷改编)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论x0R,f(x0)=0;函数y=f(x)的图象是中心对称图形;若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-,x0)
4、单调递减;若x0是f(x)的极值点,则f(x0)=0.其中正确的为.,【解析】结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.对于,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x0R，使f(x0)=0,正确.对于,假设函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为(m,n)，按向量a=(-m,-n)将函数的图象平移，则所得函数y=f(x+m)-n是奇函数，所以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0，化简得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0.上式对xR恒成立，故3m+a=0,得m=n=m3+am2+bm+c=所以函数f(x)=x3+ax2+bx+c的对称中心为 故y=f(x)的图象是中心对称图
5、形，正确.对于,由于f(x)=3x2+2ax+b是二次函数，f(x)有极小值,点x0,必定有一个极大值点x1,且x1x0，则f(x)在区间(-,x0)上不单调递减,错误.对于,若x0是极值点，则一定有f(x0)=0.答案：,3.(2013广东高考)若曲线y=ax2ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a=_【解析】设y=f(x)=ax2lnx求导得f(x)=2ax 而平行于x轴的直线斜率为0，所以在点(1,a)处切线的斜率为f(1)=2a1=0，解得答案：,4.已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(a,bR)，若函数f(x)仅在x=0处有极值，则a的取值范围是_.【解析】因为f(x
6、)=x4+ax3+2x2+b，所以f(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4)，又因为函数f(x)仅在x=0处有极值，所以(3a)2-4440，即-a.答案:-a,热点考向 1 导数的几何意义【典例1】(1)(2013郑州模拟)直线y=x+b是曲线y=ln x(x0)的一条切线，则实数b=_.(2)(2013广东高考)若曲线y=kx+ln x在点(1,k)处的切线平行于x轴，则k=_.,【解题探究】(1)解答本题如何求切点坐标？提示：切点未知，根据切线斜率和切点在曲线上求解.(2)本题切点坐标是_,切线斜率是_.,(1，k),0,【解析】(1)设切点坐标为(x0,y0)，则f(x
7、0)=所以x0=2，y0=ln 2，又切点也在直线y=x+b上，则b=ln 2-1.答案：ln 2-1(2)对y=kx+ln x求导得y=因为x轴的斜率为0，所以在点(1，k)处切线的斜率解得k=-1.答案：-1,【互动探究】若题(1)条件不变，求过切点且与切线y=x+b垂直的直线.【解析】由题(1)解析可知切点为(2，ln 2)，又因为直线与切线垂直，所以斜率k=-2，所以直线方程为y-ln 2=-2(x-2),即2x+y-ln 2-4=0.,【方法总结】利用导数几何意义解题的转化关系及求参思路(1)转化关系：利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化.(2)求
8、参思路：以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则根据平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.,【变式备选】1.(2013天津模拟)已知点P在曲线 上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是_.,【解析】y=即切线的斜率为所以因为所以-1k0，即-1tan 0，所以135180，即的取值范围是135180.答案：135180,2.(2013南京模拟)已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程是_.【解析】方法一：在等式f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8中将x全部换成2-x得：f(2-x)=2
9、f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8，联立两式解得：f(x)=x2,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.,方法二：在等式f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8中，令x=1得：f(1)=1，对等式f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8两端求导得：f(x)=-2f(2-x)-2x+8，令x=1得：f(1)=2,所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程是y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0.答案：2x-y-1=0,热点考向 2 利用导数研究函数的单调性【典例2】已知函数f(x)=x3+ax2+x+1，aR(1)讨论函数f
10、(x)的单调区间.(2)设函数f(x)在区间 上单调递减，求a的取值范围,【解题探究】(1)求单调区间的三个步骤：求导：f(x)=_.求根：求f(x)=0的根，表达式中含有参数a,此时正确的处理方式为：_.判断：要确定单调区间，主要是判断区间内的_.(2)第(1)题所求出的单调递减区间和区间 应满足什么关系？提示：区间 是第(1)题所求出的单调递减区间的子集.,3x2+2ax+1,分类讨论,导数符号,【解析】(1)f(x)=x3+ax2+x+1求导得：f(x)=3x2+2ax+1，令3x2+2ax+1=0,=4a2-12=4(a2-3),当a23时，0，f(x)0，且不恒为零，所以f(x)在R
11、上单调递增，当a23，求得两根为即f(x)在 上递增，在 上递减，在 上递增.,(2)由题知，解得：a2.,【方法总结】1.导数与单调性之间的关系(1)导数大(小)于0的区间是函数的单调递增(减)区间.(2)函数f(x)在D上单调递增xD,f(x)0，且f(x)在区间D的任何子区间内都不恒为零；函数f(x)在D上单调递减xD,f(x)0，且f(x)在区间D的任何子区间内都不恒为零.,2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求f(x).(2)将单调性转化为导数f(x)在该区间上满足的不等式恒成立问题求解.,【变式训练】(2013玉溪模拟)已知函数f(x)=ax+ln x(aR)，(1)若a
12、=-1，求曲线y=f(x)在点x=处的切线的斜率.(2)求f(x)的单调区间.,【解析】因为f(x)=ax+ln x(aR)，所以x(0，+)，(1)若a=-1，则切线的斜率k=f()=1.(2)当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，+)上单调递增.当a0时，令f(x)0，解得：0 x令f(x)0，解得：x所以f(x)在 上单调递增，在 上单调递减.,综上：当a0时,f(x)的单调递增区间为(0，+)；当a0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为,热点考向 3 利用导数研究函数的极值(最值)问题【典例3】(2012广东高考)设0a1，集合A=xR|x0，B=xR|2x2-3(1
13、+a)x+6a0，D=AB.(1)求集合D(用区间表示).(2)求函数f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D内的极值点.,【解题探究】(1)集合B的求解思路：方程2x2-3(1+a)x+6a=0的判别式=_.集合B的不等式中含参数a，应分类讨论，如何确定分类标准？提示：根据判别式化简后的结果确定分类标准.,3(a-3)(3a-1),(2)求函数极值的两个关键：求导：f(x)=_.判断：判断f(x)在某点取得极大值或极小值.,6(x-1)(x-a),【解析】(1)对于方程2x2-3(1+a)x+6a=0，判别式=9(1+a)2-48a=3(a-3)(3a-1).因为00，,设方程2x2-
14、3(1+a)x+6a=0的两根为x1,x2且x1x2,x1+x2=(1+a)0，x1x2=3a0，所以x10,x20，此时，D=(0,x1)(x2,+)=,综上可知，当0a 时，当 a1时，D=(0,+).,(2)f(x)=6x2-6(1+a)x+6a=6(x-1)(x-a)(00 x1,所以函数f(x)在区间(-,a)和(1,+)上单调递增，在区间(a,1)上单调递减.当 a1时，因为D=(0,+)，所以f(x)在D内有极大值点x=a和极小值点x=1；当a=时，D=(0,1)(1,+)，所以f(x)在D内有极大值点x=；,当0a 时，因为所以f(x)在D内有极大值点x=a.综上可知：当0a
15、时，f(x)在D内有一个极大值点x=a,没有极小值点；当 a1时，f(x)在D内有一个极大值点x=a和一个极小值点x=1.,【方法总结】1.函数f(x)在x=x0处取得极值的判断方法求得导数f(x)后，检验f(x)在x=x0左右的符号：(1)左正右负f(x)在x=x0处取极大值.(2)左负右正f(x)在x=x0处取极小值.2.求函数y=f(x)在区间a,b上的最大值与最小值的步骤第一步：求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值(极大值或极小值)；第二步：将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,【变式训练】已知函数f(x)=eln x，
16、g(x)=ln x-x-1，h(x)=x2.(1)求函数g(x)的极大值.(2)求证：存在x0(1,+)，使g(x0)=(3)对于函数f(x)与h(x)定义域内的任意实数x，若存在常数k,b,使得f(x)kx+b和h(x)kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f(x)与h(x)的分界线.试探究函数f(x)与h(x)是否存在“分界线”.若存在，请给予证明，并求出k,b的值；若不存在，请说明理由.,【解析】(1)g(x)=令g(x)0，解得0 x1；令g(x)0，解得x1.所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减.所以g(x)的极大值为g(1)=-2.,(2)由(1)知g
17、(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，令(x)=g(x)-g(),所以(1)=g(1)-g()0，取x1=e1,则(e)=g(e)-g()=ln e-(e+1)-ln+(+1)=-e+ln 2+0,故存在x0(1,e)使(x0)=0，即存在x0(1,+)使g(x0)=g().(说明：x1的取法不唯一，只要满足x11，且(x1)0即可),(3)设F(x)=h(x)-f(x)=x2-eln x(x0),则F(x)=则当0 x 时，F(x)0，函数F(x)单调递减；当x 时，F(x)0，函数F(x)单调递增.所以x=是函数F(x)的极小值点，也是最小值点,所以F(x)min=F()=
18、0.所以函数f(x)与h(x)的图象在x=处有公共点设f(x)与h(x)存在“分界线”且方程为y-e=k(x-)，令函数u(x)=kx+e-k.,由h(x)u(x)，得 x2kx+e-k 在xR上恒成立，即x2-2kx-e+2k 0在xR上恒成立，所以=4k2-4(-e+2k)0，即4(k-)20，所以k=，故u(x)=x-e.下面说明：f(x)u(x)，即eln x x-e(x0)恒成立.设V(x)=eln x-x+e，则V(x)=因为当0 x 时，V(x)0,函数V(x)单调递增，,当x 时，V(x)0,函数V(x)单调递减，所以当x=时，V(x)取得最大值0，V(x)V(x)max=0.
19、所以eln x x-e(x0)成立.综合知h(x)x-e，且f(x)x-e，故函数f(x)与h(x)存在“分界线”y=x-e，此时k=，b=-e.,【典例】已知某厂生产x件产品的成本为c25 000200 x(元)(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？,导数在实际问题中的应用,【解题探究】(1)平均成本指的是什么？提示：平均成本=总成本产品件数.(2)利润和销售件数有什么关系？提示：利润=每件产品的利润销售件数.利润、收入、成本三者之间有什么关系？提示：利润收入-成本,【解析】(1)设平均成本为y元，则yy令y0，得x11 0
20、00，x21 000(舍去)当01 000时，y0；故当x1 000时，y取得极小值由于函数只有一个极小值点，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品,(2)利润函数为L所以L300令L0，得x6 000.当x0；当x6 000时，L0，故当x6 000时，L取得极大值由于函数只有一个使L0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值因此，要使利润最大，应生产6 000件产品,【方法总结】经济生活中优化问题的解题思路经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.,【变式
21、备选】某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产量x(xN*)件之间的关系为 每生产一件正品盈利4 000元，每出现一件次品亏损2 000元(注：正品率产品中的正品件数产品总件数100%)(1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数.(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值,【解析】(1)由题意得y所以所求的函数关系式是,(2)显然y3 6004x2.令y0，解得x30.所以当1x0；当30 x40时，y0.所以函数y x33 600 x(xN*,1x40)在1,30)上单调递增，在(30,40上单调递减所以当x30时，函数y
22、x33 600 x(xN*,1x40)取得最大值，最大值为 3033 6003072 000(元)所以该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元,分类讨论思想解决导数中的参数问题【思想诠释】1.主要类型：(1)含有参数的方程的求解，如求导后对二次不等式运算中根的大小的讨论.(2)含有参数的不等式的求解.(3)含有参数的函数的单调性、极值(最值)问题，如对导数正负的讨论.,2.解题思路：常常结合参数的意义及对结果的影响，全面分析参数变化引起结论的变化情况进行分类讨论求解.3.注意事项：(1)准确确定分类对象及分类标准，要不重不漏，符合最简原则.(2)最后要将各类情况进行总结、整
23、合.,【典例】(14分)(2013天津模拟)已知函数f(x)=ln x-a2x2+ax(aR).(1)求f(x)的单调区间与极值.(2)若函数在区间(1，+)上单调递减，求实数a的取值范围.,【审题】分析信息，形成思路(1)切入点：求f(x),根据求单调区间与极值的步骤求解；关注点：f(x)中含参数a，需对a分类讨论.(2)切入点：根据(1)题的单调递减区间列不等式组求解；关注点：根据(1)题的情况分类讨论.,【解题】规范步骤，水到渠成(1)函数f(x)=ln x-a2x2+ax的定义域为(0,+)，2分()当a=0时，f(x)=0，所以f(x)的单调增区间为(0,+)，此时f(x)无极值.3
24、分,()当a0时，令f(x)=0，得x=或x=-(舍去).f(x)的单调增区间为 单调减区间为所以f(x)有极大值为f()=-ln a，无极小值.6分()当a0时，令f(x)=0，得x=(舍去)或x=-,所以f(x)的单调增区间为 单调减区间为所以f(x)有极大值为无极小值.9分,(2)由(1)可知：()当a=0时，f(x)在区间(1,+)上单调递增，不合题意.10分()当a0时，f(x)的单调减区间为依题意，得 得a1.11分()当a0时，f(x)的单调减区间为依题意，得，得a 13分综上，实数a的取值范围是 1,+).14分,【点题】规避误区，失分警示,【变题】变式训练，能力迁移(2013
25、北京模拟)已知f(x)=x3+ax2-a2x+2(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)若a0，求函数f(x)的单调区间.,【解析】(1)因为a=1,所以f(x)=x3+x2-x+2,所以f(x)=3x2+2x-1.所以k=f(1)=4.又f(1)=3，所以切点坐标为(1,3),所以所求切线方程为y-3=4(x-1)，即4x-y-1=0.,(2)f(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a),由f(x)=0,得x=-a或x=.当a0时，由f(x)0，得x,此时f(x)的单调减区间为 单调增区间为(-,-a)和当a0，得x-a.,当a0，得x-a.此时f(x)的单调减区间为 单调增区间为 和(-a,+).综上：当a0时，f(x)的单调减区间为 单调增区间为(-,-a)和 当a0时，f(x)的单调减区间为 单调增区间为 和(-a,+).,
